I. Droites parallèles Exemple 1

Chapitre 6 : position relative de droites
Etudier la position relative de deux droites, c’est se demander :
• si elles sont parallèles
• si elles sont sécantes, et dans ce cas là déterminer les coordonnées du point d’intersection
Voici un tableau récapitulatif des positions relatives de deux droites à partir de leur équation réduite.
équation de D
x=k
équation de D ′
x = k′
Positions
relatives de
D et D ′
x = k′
y = m′ x + p ′
m = m′
m 6= m′
D et D ′ sont
parallèles
D et D ′ sont
sécantes
D et D’ sont
parallèles
D et D’ sont
sécantes
y
y
y
y
p D
p D
p′
p
J
D
Représentation
y = mx + p
J
O
k
I
D′
J
k′
x
1
O
k′
I
D′
D′
J
x
2
O
p′
D
x
I
3
O
D′
x
I
4
I. Droites parallèles
Propriété
1
deux droites parallèles à l’axe des ordonnées D : x = k et D ′ : x = k′ sont parallèles.
2
deux droites sécantes à l’axe des ordonnées D : y = mx + p et D ′ : y = m′ x + p′ sont parallèles si et
seulement si elles ont le même coefficient directeur, autrement dit : m = m′
Exemple 1 :
Voici les équations réduites de plusieurs droites. Sans tracer ces droites, indiquer les droites
parallèles.
• (d1 ) : y = −5x + 2
• (d2 ) : y = 1, 5
• (d3 ) : y = x + 6
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀
• (d4 ) : x = −4
• (d5 ) : y = −5x − 5
• (d6 ) : y = 7
• (d7 ) : x = 11
• (d8 ) : y = 5x + 2
• (d9 ) : y = x
Méthode 1 : Prouver que deux droites sont parallèles
1
si on connaît déjà les équations, il suffit d’utiliser la propriété ci-dessus
2
si on demande si deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées (AB) et (CD) sont parallèles, on calcule
les coefficients directeurs m(AB) et m(CD) puis on conclut.
Remarque : pour prouver que deux droites sont sécantes, on montre que les droites ne sont pas parallèles,
c’est-à-dire que les coefficients directeurs sont différents.
Chapitre 6 : position relative de droites
2
Exemple 2 :
1
Soient A(2 ; 3), B(−1 ; 2), C(4 ; 1) et D(−2 ; 5). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
2
Même question avec : A(1 ; 2), B(2 ; −4), C(0 ; 3) et D(1 ; −3).
II. Droites sécantes et système d’équation
Propriété
Si deux droites (D) et (D ′ ) sont sécantes , le point d’intersection de ces deux droites est le point M (x; y) dont
le couple de coordonnées (x; y) est solution du système d’équations formé avec les deux équations de ces deux
droites .
On a deux situations :
• une droite parallèle à l’axe des ordonnées D1 : x = k et une droite sécante à l’axe des ordonnées D2 : y =
mx + p.
Les droites sont sécantes et le point d’intersection M (x; y) est tel que le couple (x; y) est la seule solution du
x = k
système (S) suivant : (S) :
y = mx + p
• deux droites sécantes à l’axe des ordonnées D1 : y = mx + p et D2 : y = m′ x + p′ telles que m 6= m′ sont
sécantes.
le point
d’intersection M (x; y) est tel que le couple (x; y) est la seule solution du système (S) suivant :
y = mx + p
(S) :
y = m′ x + p ′
≀≀
≀≀
≀≀
Méthode 2 : Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes
1
on justifie que les droites sont sécantes (sans quoi le système a une infinité de solution ou aucune solution)
2
on résout le système d’équations formé avec les deux équations de droite par identification ou substitution.
Exemple 3 :
1
les droites d’équations x = 3 et y = 2x + 1 sont sécantes (car la première est parallèle à l’axe des ordonnées
et la seconde est sécante à cet axe ).
Le point d’intersection M (x; y) a des coordonnées qui vérifient le système
x = 3
(S) :
y = 2x + 1
Chapitre 6 : position relative de droites
3
Ce système est particulièrement simple à résoudre par substitution :
on "substitue" (c’est à dire on
remplace) x dans la seconde équation :
x = 3
x = 3
donc :
y = 2×3+1
y = 7
Le point d’intersection des deux droites est donc P (3; 7)
Conseil : faire le dessin pour vérifier
2
les droites d’équations y = −5x + 2 et y = 2x + 1 sont sécantes (car elles n’ont pas le même coefficient
directeur).
Le point d’intersection a des coordonnées qui vérifient le système :
y = −5x + 2
(S) :
y = 2x + 1
On résout ce système par identification :
1
• on a −5x + 2 = 2x + 1 donc 2 = 2x + 5x + 1 donc 1 = 7x donc x =
7
1
• on remplace ensuite x par dans la plus sympathique des deux équations de droites , ici y = 2x + 1 , on
7
1
9
a alors y = 2 × + 1 =
7
7
1 9
Le point d’intersection a donc pour coordonnées
;
7 7
Conseil : faire le dessin pour vérifier
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
≀≀
Méthode 3 : interpréter un système de deux équations linéaires
Lors de la résolution d’un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues avec des
coefficients non nuls, chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite.
Résoudre un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues revient à la recherche des
points d’intersection de deux droites à partir de leurs équations réduites. Ces deux droites peuvent être :
• sécantes(coefficients directeurs différents). Le système a une unique solution.
• confondues strictement (même équation réduite). Le système a une infinité de solution.
• parallèles strictes. Le système n’a aucune solution.
III. Exercices
Exercice 1 :
1
2
Déterminer l’équation réduite de (D) sachant que (D) est parallèle à la droite d’équation y = 3x − 1 et passe
par le point A(2 ; 1).
(a) Soient A(2 ; 3), B(−1 ; 2), C(4 ; 1) et D(−2 ; 5). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
(b) Même question avec : A(1 ; 2), B(2 ; −4), C(0 ; 3) et D(1 ; −3).
Exercice 2 :
Trouver l’équation de la droite ∆ passant par A et parallèle à d.
1
d : y = 2x − 5 et A(−3 ; 2)
2
d : y = 3x et A(1 ; −2)
3
d:y=
x
3
+ 5 et A(−3 ; 1)
Exercice 3 :
Déterminer le nombre de solutions des systèmes suivants :
Chapitre 6 : position relative de droites
1
x = 2
x = −4
4
2
2x − 3 = y
4x − 2y = 6
3
y = 3x + 5
y = 2x − 1
4
3x − 5y = 9
6x − 9y = 18
Exercice 4 :
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
−2
À l’aide du graphique ci-contre, donner les solutions
des systèmes suivants.
y = 2x + 4
1
y = −x + 1
y = −x + 1
2
y = −x − 2
y = 2x + 4
3
y = −x − 2
Exercice 5 :
1
Soient A(0 ; 2), B(5 ; 7), C(−3 ; 7) et D(9 ; 3). Après avoir montrer que (AB) et (CD) sont sécantes,
calculer les coordonnées de leur point d’intersection.
2
Soient d et d′ d’équations respectives y = −2x + 1 et y = x + 5, calculer les coordonnées de leur point
d’intersection.
Exercice 6 :
1
Dans un repère (O; I, J) du plan, placer : A(−1; 2), B(1; 6), C(−2; −1), D(−2; 0), E(1; 3), F (1; 1), G(2; 5).
2
Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.
Indication : on peut calculer l’équation de la droite (AB), puis vérifier si le point C appartient à la droite
(AB) ou non.
3
Les points suivants sont-ils alignés ? Justifier.
(a) B, E et F
(b) B, E et G
Exercice 7 :
1
2
Dans un repère (O; I, J), tracer les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ) d’équations
(a) (d1 ) : y = 3x − 4
(b) (d2 ) : y = −2x + 6
(c) (d3 ) : x = 4
(a) Justifier pourquoi les droites (d1 ) et (d2 ) sont sécantes.
(b) Calculer les coordonnées du point M d’intersection des droites (d1 ) et (d2 ).
3
Mêmes consignes que 2(a) et 2(b) pour les droites (d1 ) et (d3 ) qui se coupent en N .
Exercice 8 :
1
Dans un repère (O; I, J), tracer les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ) d’équations
(a) (d1 ) : y = 1, 5x − 3
(b) (d2 ) : x = 3
(c) (d3 ) : y = −0, 5x + 6
2
Calculer les coordonnées du point M d’intersection des droites (d1 ) et (d2 ).
3
Calculer les coordonnées du point N d’intersection des droites (d1 ) et (d3 ).
Chapitre 6 : position relative de droites
5
Exercice 9 :
3
D4
D3
2
D1
−2
1
−1
−1
À partir du graphique ci-contre, déterminer les
équations des droites proposées.
2
Déterminer, par le calcul puis vérifier la cohérence
de vos résultats graphiquement, les coordonnées
des points d’intersection de :
D2
1
−3
1
2
3
(a) D1 et D3
(c) D4 et D2
(b) D1 et D2
(d) D3 et D5
D5
−2
Exercice 10 :
Au bar de la poste, 5 amis profitent de la terrasse au soleil. Ils ont commandé 2 cafés et 3 thés. Le serveur leur
demande 10,10(.
Ils sont rejoints par 4 amis qui commandent 3 cafés et 1 thé. Cette fois-ci, le serveur leur demande 7,10 (. Afin
que les amis puissent payer chacun leur part, dé-terminer le prix d’un thé et d’un café.
Exercice 11 :
Trouver deux nombres dont la différence est 7 et dont la différence de leur carré est 21.
Exercice 12 :
Amira va faire les boutiques. Elle achète dans un même magasin deux T.shirts et une jupe pour 119,70 (. La
semaine suivante, elle reçoit un texto du magasin pour des ventes privées : réduction de 50% pour les T.shirts et
de 30% sur les jupes. Elle décide de faire des cadeaux à sa mère et ses sœurs et achète six T.shirts et 2 jupes. Elle
paye 173,56 (.
Quelle somme ces ventes privées lui ont-elles fait économiser ?
Exercice 13 :
Pour son anniversaire, Emma a reçu, de la part de ses grand-parents un bon de 400 ( utilisable au Pagnol, une
salle de spectacle.
La programmation pour l’année 2012-2013 propose 20 pièces de théâtre à 14( par pièce et 40 films à 8( par films.
Passionnée par les deux types de spectacle, elle voudrait voir autant des deux.
Elle appelle x le nombre de pièces et y le nombre de films qu’elle pourra voir.
1
Déterminer la relation qui lie x et y si Emma dépense la totalité de son bon.
2
Expliquer pourquoi x ne peut pas être égal à y.
3
Dans un repère orthonormal, construire la représentation graphique de cette équation.
4
Déterminer les points de la représentation qui ont des coordonnées entières.
5
Choisir pour Emma la combinaison qui lui permettra de voir presque autant de films que de pièces de théâtre.