Une conjecture sur la torsion des classes de Chern des fibrés de

Une conjecture sur la torsion des classes de
Chern des fibr´es de Gauss-Manin ∗
Vincent MAILLOT †et Damian R ¨ OSSLER ‡
2010 Mathematics Subject Classification(s) : 14D06, 14D07
Keywords : Adams-Riemann-Roch theorem, variation of Hodge structures,
semi-stable, Abel-Jacobi map, Merkurjev-Suslin theorem
R´esum´e
Pour tout t∈Nnous d´efinissons un certain entier positif Ntet nous
conjecturons que si Hest un fibr´e de Gauss-Manin d’une fibration semi-
stable, alors sa t-i`eme classe de Chern est annul´ee par Nt. Nous d´emontrons
diverses cons´equences de cette conjecture.
1 Introduction
Soit f:X→Yun morphisme projectif de sch´emas lisses et quasi-projectifs
sur un corps alg´ebriquement clos Kde caract´eristique nulle. On suppose que Y
est connexe. Soit D →Xet E →Ydes diviseurs `a croisements normaux. On
suppose que fest semi-stable relativement `a Det E. Voir [28, Par. 1, Def. 1.1]
∗This article was originally submitted as an invited contribution to the special issue ”Arith-
metic Algebraic Geometry” (issue 45.1). Communicated by A. Tamagawa. Received February
17, 2009. Revised December 10, 2009, April 6, 2010, April 24, 2010.
†Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Paris 7 Denis Diderot, C.N.R.S., Case
Postale 7012, 2 place Jussieu, F-75251 Paris Cedex 05, France, E-mail : [email protected]
‡´
Equipe d’Arithm´etique et G´eom´etrie Alg´ebrique, D´epartement de Math´ematiques,
Bˆatiment 425, Facult´e des Sciences d’Orsay, Universit´e Paris-Sud 11, F-91405 Orsay Cedex,
France, E-mail : [email protected]
1

Une conjecture sur la torsion 2
ou infra sous-section 2.1 pour la d´efinition d’un diviseur `a croisements normaux
et d’un morphisme semi-stable.
On notera Ω•
X/Y (log) le complexe de de Rham logarithmique relatif de Xau-
dessus de Yrelativement `a Det E. Voir [28, Par. 1, Def. 1.3] ou infra sous-section
2.1 pour la d´efinition de cette notion.
Pour tout j>0, on ´ecrira
Hj
dR(X/Y )(log) := Rjf∗(Ω•
X/Y (log))
pour le j-`eme fibr´e de Gauss-Manin logarithmique relativement `a f,Det E. On
peut montrer que Hj
dR(X/Y )(log) est un faisceau localement libre de rang fini.
Enfin, pour tout t∈N, on d´efinit :
Nt:= 
0 si t= 0,
2·Qp−1|tpordp(t)+1 si test pair et strictement positif,
2 si test impair,
o`u sur la deuxi`eme ligne, pparcourt l’ensemble des nombres premiers et ordp(t)
d´esigne la valuation p-adique de l’entier t. Le th´eor`eme de von Staudt montre
que si test pair et strictement positif, alors Nt/2 est le d´enominateur du nombre
rationnel positif (−1)t+2
2Bt/t, o`u Btest le t-i`eme nombre de Bernoulli (cf. [37,
Appendix B]). On rappelle que les nombres de Bernoulli Btsont d´efinis par
l’identit´e de s´eries formelles :
X
t>0
Bt
ut
t!:= u exp(u)−1.
L’objet du pr´esent article est de proposer la conjecture suivante :
Conjecture 1.1. Pour tout entiers jet tpositifs, l’´egalit´e
Nt·ct(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0
est v´erifi´ee dans CHt(Y).
Ici, CHt(Y) est le t-i`eme groupe de Chow de Y(cf. [15]) et ct(•) d´esigne la t-i`eme
classe de Chern `a valeurs dans CHt(Y).
Les cons´equences de la Conjecture 1.1 d´ej`a d´emontr´ees dans la litt´erature math´e-
matique sont les suivantes. Dans la situation o`u fest lisse, il est d´emontr´e par

Une conjecture sur la torsion 3
Grothendieck dans [19] (voir les calculs faits dans [14]) que l’image de la Conjec-
ture 1.1 par l’application ” classe de cycle” est v´erifi´ee (pour une g´en´eralisation au
cas non-lisse, voir le point (a) du Th´eor`eme 1.2 infra). Encore dans la situation o`u
fest lisse, le fait que ct(H1
dR(X/Y )) est de torsion pour tout t>0 est d´emontr´e
dans [47]. Dans [13], il est d´emontr´e que ct(H1
dR(X/Y )(log)) est de torsion pour
tout t>0 et que l’image par l’application classe de cycle de ct(Hj
dR(X/Y )(log))
est de torsion pour tout j, t >0. Lorsque fest lisse, il est d´emontr´e dans [5, Ap-
pendix] que les classes de Cheeger-Simons de Hj
dR(X/Y ) sont de torsion pour
tout j>0 ; si l’on suppose de plus que Yest projectif sur K, ceci implique que
les classes de Chern en cohomologie de Deligne de Hj
dR(X/Y ) sont de torsion
pour tout j>0 ; ce dernier ´enonc´e est aussi une cons´equence d’un th´eor`eme de
Reznikov (cf. [41]). Lorsque le morphisme fest ´etale, les travaux de Fulton et
MacPherson dans [16, Cor. 19.3] d´emontrent la Conjecture 1.1. Dans [38], Pap-
pas d´emontre un th´eor`eme de Grothendieck-Riemann-Roch sans d´enominateurs
pour les morphismes projectifs et lisses. Si l’on applique ce th´eor`eme au com-
plexe de de Rham de f, on obtient des ´enonc´es d’annulation pour les classes de
Chern des fibr´es de Gauss-Manin. Cependant, ces ´enonc´es d´ependent a priori de
la dimension relative de f.
On notera que l’´enonc´e que ct(Hj
dR(X/Y )(log)) est de torsion pour tout j, t >0
est d´ej`a conjectural. Cette forme faible de la conjecture est implicite dans les
travaux de Bloch, Esnault et Viehweg (par ex. [13] et [7]). Elle est formellement
propos´ee dans [36, Par. 4.2, Conj. 3] dans le cas o`u fest lisse.
Du point de vue des auteurs, la forme faible de la conjecture est motiv´ee par une
conjecture en th´eorie d’Arakelov [35, Conjecture 3.1] dont elle est une cons´equence.
Enfin la d´efinition des nombres Ntest motiv´ee par le th´eor`eme de Grothendieck
mentionn´e ci-dessus.
Remarquons ´egalement que la Conjecture 1.1 n’est pas optimale d´ej`a pour j= 0
et j= 1 :
Cas j= 0 : dans [16, Cor. 19.3] il est d´emontr´e que lorsque fest un morphisme
´etale et que test pair, on a
1
2Nt·ct(H0
dR(X/Y )) = 0.
En particulier, il vient que 12 ·c2(H0
dR(X/Y )) = 0.
Cas j= 1 : si f:X→Yfait de Xun sch´ema ab´elien sur Y, la Conjecture 1.1

Une conjecture sur la torsion 4
combin´ee `a [36, Th. 1] implique que
(Y
p6t
pordp(Nt))(Y
p>t
pordp[pgcd(Num((2t−1)Bt),Nt)])·ct(H1
dR(X/Y )) = 0 ; (1)
o`u les produits sont pris pour pparcourant l’ensemble des nombres premiers et
o`u Num(r) d´esigne le num´erateur du nombre rationnel r. Un cas particulier de
l’´equation (1) est alors l’´egalit´e
8·c2(H1
dR(X/Y )) = 0.(2)
Cependant N2= 24 >12 >8, d’o`u la non-optimalit´e lorsque j= 0,1.
Cela sugg`ere qu’une conjecture optimale raffinant la Conjecture 1.1 devrait tenir
compte du poids jdu fibr´e de Gauss-Manin.
Au sujet de la Conjecture 1.1, nous d´emontrerons les r´esultats partiels suivants.
Si K=C, nous noterons
cl : CH•(Y)→H2•(Y(C),Z)
l’application qui associe `a un cycle alg´ebrique sa classe dans la cohomologie sin-
guli`ere de Y(C).
Si Yest projectif sur K, nous noterons
alb : CHdim(Y)(Y)0→Alb(Y)(K)
l’application qui associe `a un 0-cycle alg´ebrique de degr´e nul son image dans la
vari´et´e d’Albanese de Y.
Soit lun nombre premier. Si Yest projectif sur K, nous noterons
λt
l: CHt(Y)[l∞]→H2t−1
´et (Y, Ql/Zl(t))
l’application d’Abel-Jacobi de Bloch (voir [6] pour sa d´efinition). Elle donne lieu
`a une application
λt: Tor(CHt(Y)) →M
lpremier
H2t−1
´et (Y, Ql/Zl(t)).
Soit dY:= dim(Y).

Une conjecture sur la torsion 5
Th´eor`eme 1.2. (a) Supposons que K=C. Pour tout entiers jet tpositifs,
l’´egalit´e
clNt·ct(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0
est v´erifi´ee dans H2t(Y(C),Z).
(b) Supposons que Yest projectif sur K; l’´egalit´e
albNdY·cdY(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0
est alors v´erifi´ee dans Alb(Y)(K)pour tout entier j>0.
(c) Supposons que cdY(Hj
dR(X/Y )(log)) est de torsion et que Yest projectif sur
K; alors
NdY·cdY(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0.
(d) Supposons que les composantes irr´eductibles de Det Esont lisses sur K.
Pour tout entier t>0, l’´egalit´e
Nt·ctX
j>0
(−1)jHj
dR(X/Y )(log)= 0
est v´erifi´ee dans CHt(Y).
(e) L’´egalit´e
Nt·ct(H0
dR(X/Y )(log)) = 0
est v´erifi´ee pour tout entier t>0. Si l’on suppose que les composantes
irr´eductibles de Det Esont lisses sur Ket que les fibres de fsont de
dimension 1, alors
Nt·ct(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0
pour tout entiers jet tpositifs.
(f)Supposons que fest lisse, que K=Cet que l’image de la repr´esentation
du groupe fondamental de Y(C)associ´ee au syst`eme localement constant
Rjf(C)∗Qest finie ; alors
Nt·ct(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0
pour tout entier t>0.
(g)Supposons que Yest projectif sur K. Supposons ´egalement que la classe
ct(Hj
dR(X/Y )(log)) est de torsion ; alors
λtNt·ct(Hj
dR(X/Y )(log)) = 0.