Groupe des nombres complexes de module 1

Université Claude Bernard–Lyon I
Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie
Année 2008–2009
Groupe des nombres
complexes de module 1
A ne pas rater
• Exponentielle complexe et (mesure des) angles.
• Sous-groupes : finis ou denses. Un sous-groupe fini de cardinal n pour tout n ≥ 1.
• Recommandé : tout groupe de Lie compact connexe abélien est “une puissance” de U.
• Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, applications.
• Dual d’un groupe abélien fini. Recommandé : sommes de Gauss, réciprocité quadratique.
• En rapport avec le point précédent : morphismes continus U → U et séries de Fourier.
I Le groupe U
1◦ Définition, premières propriétés
On note U le noyau du morphisme | · | : C× → R×
+ . C’est un groupe compact, connexe, abélien.
2◦ La suite exacte 1 → 2πZ −→ R −→ U → 1
Proposition L’application ϕ : R −→ U, t 7−→ eit est un morphisme de groupes. Il est surjectif,
et son noyau est un sous-groupe discret de R.
Définition On appelle π le réel positif tel que Ker ϕ = 2πZ. (Sens : un sous-groupe discret de
R est monogène.)
Première approche : Par restriction de l’exponentielle exp : C → C× , comme suggéré par B.
Bautheney. Réf. : P. Tauvel, Analyse complexe pour la licence 3, §3.7 (Dunod, 2006).
Deuxième approche (moins élégante mais plus élémentaire) : On définit deux fonctions
cos, sin : R → R, soit par leur développement en série entière, soit comme les solutions de
l’équation différentielle y 00 +y = 0 avec les “bonnes” conditions en 0. On en déduit que sin0 = cos
et que cos0 = − sin. Partant : (1) on montre que cos s’annule au moins une fois sur R+ ; on
note π le double du plus petit zéro ; (2) on montre que les deux fonctions sont 2π-périodiques ;
(3) on retrouve leur tableau de variations ; (4) on en déduit :
Lemme Soit (x, y) ∈ R2 . Il existe un réel θ, unique à 2π près, tel que x = cos θ et y = sin θ.
(Dans la première approche, il faudra citer ce lemme quand même pour la suite.)
3◦
Nombres complexes de module 1, rotations et angles
On considère C comme un espace vectoriel de dimension 2, qu’on munit de la norme euclidienne
dont le carré est le carré du module. On définit une rotation comme une isométrie vectorielle
directe. Fixons une base orthonormée, disons (1, i). Alors les rotations sont les applications
linéaires dont la matrice est orthogonale et de déterminant 1. Notons le groupe SO(2) de ces
matrices. On vérifie sans peine qu’il est abélien. On prouve alors avec ce qui précède :
cos θ − sin θ
Lemme L’application ψ : R −→ SO(2), t 7→
est un morphisme de groupes.
sin θ cos θ
Il est surjectif, et son noyau est 2πZ.
Corollaire Les groupes U et SO(2) sont isomorphes à R/2πZ.
1
Intérêt géométrique : mesure des angles
En effet, sachant que les rotations s’identifient canoniquement aux angles en dimension 2, on
peut définir la mesure d’un angle α comme tout réel θ ∈ R tel que eiθ soit le complexe de module
1 associé à la rotation d’angle α.
Remarque Est-ce que la mesure d’un angle est canonique ? Non, car l’identification entre
rotations et matrices orthogonales dépend a priori du choix d’une base. En fait, la commutativité
de U et de SO(2) permet de montrer qu’il ne dépend que du choix d’une orientation.
4◦ Sous-groupes de U
Proposition (i) Les sous-groupes de U sont finis ou denses.
(ii) Pour tout n ∈ N∗ , U possède un unique sous-groupe d’ordre n.
Proposition Un sous-groupe dense monogène de U est “uniformément réparti” au sens suivant : si on note ξ un générateur, alors, pour tout intervalle [a, b] ⊂ [0, 2π[, on a :
# k ∈ [−n, n], ξ k ∈ [a, b]
b−a
lim
=
.
n→+∞
2n
2π
Réf. : Chambert-Loir, Fermigier, Gianella.
5◦
Un zeste de géométrie
Ce paragraphe enrichit le plan, mais serait un développement un peu trop élémentaire.
(a) Interprétation géométrique de la loi de groupe
Soit z1 , z2 ∈ U et w = z1 z2 . On peut construire géométriquement w comme intersection du
cercle et de la droite parallèle à la droite contenant z1 et z2 (ou la tangente au cercle si z1 = z2 )
qui passe par le point 1, autre que 1. En effet, si θi est un argument de zi (i = 1, 2), on a :
cos θ2 − cos θ1 cos(θ1 + θ2 ) − 1 = 0.
sin θ2 − sin θ1
sin(θ1 + θ2 ) Ceci règle le cas générique –pourquoi ? Il faut par ailleurs vérifier que les cas “dégénérés”
marchent aussi : si θ1 = θ2 [2π] ou si θ1 + θ2 = 0 [2π].
z1
z12
z1 = z2
z1
z2
1
z1 z2
z2 = z1−1
(b) Paramétrage rationnel de U
Notons J le point de coordonnées (−1, 0), et, pour t ∈ R, Tt le point de coordonnées (1, t). On
note Mt l’intersection de la droite (JTt ) et du cercle U = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1}. Grâce
au théorème de l’angle inscrit et à l’expression
θ et sin θ en fonction de t = tan(θ/2), on
2 de cos
1−t
2t
montre que les coordonnées de Mt sont 1+t2 , 1+t2 . La correspondance t 7→ Mt établit une
bijection bicontinue R → U \ {J}, qu’on peut prolonger à R ∪ {∞} → U par ∞ 7→ J.
Remarque Ceci permet d’identifier U à la droite projective réelle ou au compactifié d’Alexandrov
de R. (Si on remplace R par R2 , les deux ne coı̈ncident pas.)
Lemme Soit t ∈ R. Alors t ∈ Q ⇐⇒
1−t1
, 2t
1+t2 1+t2
∈ Q.
Application : Résolution de l’équation x2 + y 2 = z 2 dans Z.
2
II Groupes de Lie compacts abéliens connexes
Dans ce paragraphe, on appelle groupe de Lie un sous-groupe fermé de GLn (R) ou GLn (C). Les
numéros entre crochets se réfèrent à Mneimné–Testard, Groupes de Lie classiques.
Théorème Un groupe de Lie connexe abélien compact est isomorphe à Un (n = dimension).
Démonstration : Soit G un groupe de Lie connexe abélien compact et g son algèbre de Lie
[§3.4] : c’est une sous-algèbre de Lie d’une algèbre de matrices. Comme G est abélien, g l’est aussi
[Formule 3.4.1.2 après réinsertion de exp(−X/n)], si bien que la restriction de l’exponentielle
des matrices à exp : g → G est un morphisme de groupe.
De plus, on sait que G est engendré par un voisinage de l’unité [Propriété 2.4.2], et que
l’exponentielle est un homéomorphisme local de g sur G [Théorème 3.4.3], si bien que G est
engendré par l’image d’un voisinage de 0 ∈ g [voir aussi 3.4.2.1]. Avec le premier fait, cela
entraı̂ne que l’exponentielle exp : g → G est surjective.
Le fait que l’exponentielle soit un homéomorphisme local entraı̂ne aussi que son noyau est
un sous-groupe discret de g [vérifier]. Or, comme groupe de Lie, g est isomorphe à Rn pour
n = dimR g [évident !]. Et on sait que les sous-groupes discrets de Rn sont de type fini (ce sont
des réseaux de l’espace vectoriel qu’ils engendrent). Ainsi, il existe e1 , . . . , ed ∈ g tels que
Ker exp = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zed .
Ceci montre que, comme groupes topologiques,
G ' g/ Ker exp ' (R/Z)d × Rn−d ,
d’où l’on déduit par l’hypothèse de compacité que n = d.2
Proposition Pour tout groupe de Lie compact connexe G, exp : Lie G → G est une surjection.
En effet, l’exponentielle est surjective est sur les groupes connexes compacts abéliens, et un
groupe compact est la réunion de ses tores maximaux (lesquels sont tous conjugués). [Réf. ?]
III Racines de l’unité et cyclotomie
1◦ Polynômes cyclotomiques : propriétés de base
Définition, ils sont à coefficients entiers, irréductibles.
Réf. : Lang, Algebra, Chap. VIII, §3 ou Arnaudiès–Bertin, Groupes, algèbres et géométrie,
Tome 1, Chap. III, Ex. 20, p. 118 et Chap. IV, §IV.1.
2◦ Polynômes cyclotomiques : trois applications
Théorème (Wedderburn) Tout corps fini est commutatif.
Réf. : [Arnaudiès–Bertin], Chap. IV, §IV.2.
Théorème (Kronecker) Un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module ≤ 1 est
une racine de l’unité.
Réf. : [Arnaudiès–Bertin], Chap. IV, §IV.3 ou Gourdon, Algèbre, II.§5, Problème 7, p. 90.
Théorème (Dirichlet faible) Pour tout n ≥ 2, il existe une infinité de nombres premiers p
tels que p ≡ 1 mod n.
Réf. : [Arnaudiès–Bertin], Chap. IV, Ex. 8.
3
3◦ Un résultat de Lang (?)
Soit f (z) une fraction rationnelle à coefficients dans une extension finie de Q. On suppose qu’il
existe une infinité de racines de l’unité ζ telles que f (ζ) est une racine de l’unité. Alors il existe
n ∈ Z et c ∈ C (de module 1) tels que f (z) = cz n .
Réf : [Lang], Chap. VIII, Ex. 39 (3e édition en anglais).
IV Représentations de U
1◦ Réduction aux caractères linéaires
Proposition Soit n ∈ N∗ et ϕ : U → GLn (C) un morphisme de groupes continu. Alors, il
existe une matrice A diagonalisable, dont les valeurs propres sont entières, telle que pour tout
t ∈ R, ϕ(eit ) = exp(tA). En d’autres termes, il existe P ∈ GLn (C) et k1 , . . . , kn ∈ Z tels que
 ik t

e 1

 −1
..
∀t ∈ R,
ϕ eit = P 
P .
.
eikn t
Démonstration.L’idée est de considérer le relèvement à ϕ : R → GLn (C), t 7→ ϕ(eit ). C’est
une application continue qui satisfait
∀s, t ∈ R,
ϕ(s + t) = ϕ(s)ϕ(t).
En particulier, on remarque que ϕ(0) = Id. Fixons t ∈ R, α > 0 et intégrons :
Z α
Z α
ϕ(s + t) ds =
ϕ(s) ds ϕ(t).
0
0
On montre qu’en choisissant α assez petit, l’intégrale du membre de droite est inversible. Fixons
une norme || · || sur l’espace des matrices n × n et ε > 0. Il existe α > 0 tel que
∀s ∈ [0, α],
||Id − ϕ(s)|| ≤ ε.
Mais alors, il vient en intégrant :
Z α
Z α
Z
1
1 α
Id − 1
ϕ(s) ds = (Id − ϕ(s)) ds =
||Id − ϕ(s)|| ds ≤ ε.
α 0
α 0
α 0
Puisque l’ensemble des matrices inversibles est ouvert et contient Id, le choix de ε assez petit et
d’un α correspondant permet d’assurer l’inversibilité souhaitée.
On obtient alors :
Z α
−1 Z α
Z α
−1 Z α−t
∀t ∈ R, ϕ(t) =
ϕ(s) ds
ϕ(s + t) ds =
ϕ(s) ds
ϕ(s) ds.
0
0
0
−t
Le membre de droite est la différence de deux valeurs d’une primitive, donc c’est une fonction
dérivable de t, donc ϕ est dérivable. On dérive alors (∗),
∀s, t ∈ R,
ϕ0 (s + t) = ϕ0 (s)ϕ(t),
puis on applique en s = 0 :
∀t ∈ R,
ϕ0 (t) = ϕ0 (0)ϕ(t).
On reconnaı̂t l’équation différentielle satisfaite par t 7→ exp tϕ0 (0). Comme ϕ(0) = Id, on a bien :
ϕ(t) = exp(tA), avec A = ϕ0 (0).
Reste à montrer que A = ϕ0 (0) est diagonalisable et à valeurs propres dans iZ. Le point-clé,
c’est que l’image de ϕ est un compact. Pour l’exploiter, on jordanise A : il existe des complexes
4
λ1 , . . . , λr et des entiers d1 , . . . , dr tels que A est semblable à la matrice diagonale par blocs
diag(J(λ1 , d1 ), . . . , J(λ1 , d1 )), où J(λ, d) est le bloc de Jordan d × d de valeur propre λ.
L’exponentielle se calcule bloc par bloc. Les coefficients diagonaux sont exp(λk t), et du fait que
les coefficients de exp(tA) sont bornés lorsque t parcourt R, on en tire que les λk sont bien dans
iR. Du fait que ϕ(2π) = ϕ(0), on a même : λk ∈ iZ. De plus, si A n’est pas diagonalisable,
disons si d1 ≥ 2, on voit aisément que le coefficient d’indice (1, 2) de exp(tA) est teλ1 t : pas
borné ! La proposition en résulte.
2◦ Caractères continus de U : séries de Fourier !
Référence : J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage et Mounet, p. 117.
La proposition précédente motive l’intérêt pour les fonctions χk : U → U, eit 7→ eikt : elles
b des morphismes continus de U dans C∗ .
constituent l’ensemble U
A présent, la théorie des séries de Fourier peut s’exprimer de la façon suivante :
b = (χk )k∈Z de U est une base (hilbertienne) orthonormée de l’espace
Proposition Le dual U
2
des fonctions L sur U.
3◦ Deux améliorations
(a) Amélioration de la convergence Référence : J. Faraut, Analyse sur les groupes de
Lie, Calvage et Mounet, p. 163.
(b) Équation de la chaleur Référence : J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage
et Mounet, p. 176.
V Caractères des groupes finis abéliens
Pour G un groupe fini, on s’intéresse aux caractères linéaires, i.e. représentations de dimension
1 de G, i.e. aux morphismes G → C× . Le premier paragraphe montre qu’on ne perd rien à
supposer le groupe abélien, et qu’on est dans le cadre de la leçon.
1◦ Caractères linéaires d’un groupe quelconque
Lemme Soit G un groupe et χ : G → C× un morphisme. Alors χ se factorise à travers
l’abélianisé de G. Si G est fini, l’image de χ est contenue dans U.
Sens : Le groupe dérivé [G, G] de G, qui est le groupe engendré par les commutateurs [g, h] =
ghg −1 h−1 (g, h ∈ G), est contenu dans le noyau de χ, si bien que χ peut s’écrire comme composée
de la projection canonique G → G/[G, G] et d’un caractère linéaire G/[G, G] → C× .
Remarque (Artin) Soit G un groupe et χ1 , . . . , χn : G → C× des morphismes de groupes.
Alors ils sont linéairement indépendants en tant que fonctions de G dans C. C’est utile en
théorie de Galois. Réf. : [Lang], Chap. VIII, §4.
2◦ Dual d’un groupe abélien fini
Jusqu’à la fin de ce paragraphe, G désigne un groupe abélien fini.
b l’ensemble des morphismes de G dans U. C’est naturellement un groupe pour
(a) On note G
la multiplication point par point. Le neutre est le caractère constant égal à 1, l’inverse de χ est
χ.
Exemple : Soit G = Z/nZ ' hξi, où ξ ∈ U est une racine primitive nème de l’unité. L’image
de ξ par un caractère χ : G → U est nécessairement une racine nème de l’unité. Inversement,
pour k = 0, . . . , n − 1 et ξ ` ∈ G, on pose χk (ξ ` ) = ξ k` , ce qui définit un caractère. Noter que
b ' Z/nZ.
χk χk0 = χk+k0 , si bien que G
`
Remarquons que (χk (ξ ))k,`=0,...,n−1 est une matrice de Vandermonde. Quelle est son inverse ?
b est isomorphe à G (pas naturellement). En particulier, |G|
b = |G|.
Proposition Le groupe G
5
Démonstration Il est facile d’identifier le dual d’un produit au produit du dual : si G1 et G2
c c
sont deux groupes finis abéliens, G\
1 × G2 ' G1 × G2 . Or, tout groupe abélien fini est un produit
1
de groupes cycliques. Il suffit donc de démontrer la proposition pour les groupes cycliques, ce
qu’on a déjà fait dans l’exemple.2
(b) On munit l’espace des fonctions de G dans C du produit scalaire hermitien usuel, i.e. :
∀ϕ, ψ : G → C,
hϕ, ψi =
1 X
ϕ(g) ψ(g).
|G|
g∈G
b est une base orthonormée de l’espace
Proposition (Relations d’orthogonalité) L’ensemble G
0
b on a :
des fonctions de G dans C. En d’autres termes, pour χ, χ ∈ G,
1 X
χ(g) χ0 (g) = δχ,χ0 .
|G|
g∈G
Remarque : Pour G = Z/nZ, ceci équivaut à dire que la matrice inverse de la matrice de
Vandermonde (ξ k` )k,`=0,...,n est (ξ −k` )k,`=0,...,n .
Démonstration : On remarque que χ0 (g) = χ0 (g)−1 = (χ0 )−1 (g), donc, quitte à remplacer χ
par χχ0 −1 , on peut supposer que χ0 est le caractère trivial. Pour χ le caractère constant égal à
1, la formule est vraie. On écarte désormais ce cas. Fixons h ∈ G tel que χ(h) 6= 1, en utilisant
le fait que g 7→ hg est une bijection de G, on conclut après avoir écrit :
X
X
X
χ(g) =
χ(hg) = χ(h)
χ(g).2
g∈G
g∈G
g∈G
3◦ Sommes de Gauss et réciprocité quadratique
(a) Définition
Définition Soit n ∈ N∗ . On fixe un caractère additif du groupe Z/nZ, de la forme ψ(g) = ζ g où
g décrit Z/nZ et ζ est une racine primitive nème de l’unité fixée. Pour un caractère multiplicatif
χ : (Z/nZ)× → U, on pose χ(g) = 0 pour g ∈ Z/nZ non inversible et on définit la somme de
b et la somme de Jacobi de χ, χ0 ∈ G
b par :
Gauss de χ ∈ G
X
X
Γ(χ) =
χ(g) ψ(g),
J(χ, χ0 ) =
χ(g)χ0 (−g).
g∈Z/nZ
g∈Z/nZ
Analogie Remplaçons Z/nZ par R, qui est un groupe additif et contient le groupe multiplicatif
R× . Un analogue de ψ serait par exemple ψ : R → R, t 7→ exp(−t) ; un caractère réel de R×
+
×
x
est de la forme χ : R×
+ → R , t 7→ t pour x fixé (dépendant de χ).
On veut définir une “somme de Gauss” sur R×
+ , mais il y a un nombre infini de points : il
faut donc une mesure, si possible invariante par translations dans R×
+ : c’est dt/t. Sens de
×
0
“invariant” : si on pose t = αt avec α ∈ R+ fixé (une translation), on a : dt0 /t0 = dt/t.
La “somme de Gauss” s’écrit alors –ça vous dit quelque chose à présent ?– :
Z +∞
Z +∞
x −t dt
Γ(x) =
t e
=
tx−1 e−t dt..
t
0
0
A propos de la somme de Jacobi, on notera que c’est la valeur en 0 de la convolée χ ∗ χ0 . Dans
le contexte réel, on fera le lien avec la fonction β.
1
Rappel : tout groupe abélien fini est de la forme Z/d1 Z × · · · × Z/ds Z, où d1 | · · · |ds , di ≥ 2 uniques.
6
(b)
Propriétés formelles
Proposition Soit G = (Z/nZ)× , pour n ∈ N, n ≥ 2. On a :
b non constant, J(χ, 1) =???, J(1, χ) =???.
(i) Pour χ ∈ G
b
(ii) Pour χ ∈ G non constant, J(χ, χ) =???
b distincts, Γ(χ)Γ(χ0 ) = J(χ, χ0 ) Γ(χ χ0 )
(iii) Pour χ, χ0 ∈ G
b non constant, Γ(χ)Γ(χ) = n χ(−e) et |Γ(χ)| = √n.
(iv) Pour χ ∈ G
Réf. : http://perso.orange.fr/rombaldi/EnoncesPbRevisionAgreg.pdf
Même si on n’a pas traité l’exercice de M. Rombaldi, on peut faire appel aux références pour
obtenir directement les applications suivantes :
Théorème Toute extension quadratique est contenue dans une extension cyclotomique.
Réf. : [Lang], Chap. VIII Th. 3.3.
Théorème Le discriminant de l’anneau des entiers de Q(e2iπ/n ) est (−1)
p−1
2
pp−1 .
Réf. : Duverney, Théorie des nombres, §10.5 (Dunod).
(c) Réciprocité quadratique
On fixe deux nombres premiers impairs p et `, et on établit un lien entre l’équation x2 = `
dans Z/pZ et l’équation x2 = p dans Z/`Z. Les sommes de Gauss permettent d’établir un lien
entre un problème en caractéristique p et un problème en caractéristique `, en passant par des
considérations de caractéristique zéro ! Sidérant, non ? Plus précisément :
p ` (p−1)(`−1)
4
.
= (−1)
`
p
Voir le sens de cette formule et sa preuve dans le Cours d’arithmétique de Serre.
4◦ Dualité de Pontrjagin
Ce qui précède se généralise aux groupes abéliens localement compacts, mais c’est une toute
autre histoire. Réf. : Dieudonné, Eléments d’analyse, Tome VI, Chap. XXII, em Analyse
harmonique.
7