Structure des groupes abéliens finis

Probl` emes de Math´ ematiques
Structure des groupes ab´ eliens finis
´
Enonc´e
Structure des groupes ab´eliens finis
Notations :
– Pour tout n≥1, on d´esigne par Unle groupe cyclique des racines n-i`emes de l’unit´e.
– On note Ule groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
– Dans ce probl`eme, Gd´esigne un groupe ab´elien fini d’ordre ≥2.
La loi de Gest not´ee par juxtaposition : (a, b)7→ ab. On note ele neutre de G.
– On appelle caract`ere de Gtout morphisme de Gdans U.
On note c Gl’ensemble des caract`eres de G.
L’objet de ce probl`eme est de prouver le th´eor`eme de structure des groupes ab´eliens finis :
Th´eor`eme
Soit Gun groupe ab´elien d’ordre ≥2.
Il existe une unique suite d1, d2, . . . , drd’entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2, tels que :
– Pour tout kde {1, . . . , r−1}, l’entier dkdivise l’entier dk+1.
– Le groupe Gest isomorphe au groupe produit Ud1× Ud2× · · · × Udr.
I. Prolongement d’un caract`ere d’un groupe ab´elien fini
Soit Hun sous-groupe strict de G. On se donne un ´el´ement ϕde c H.
On se propose de montrer que ϕse prolonge en un caract`ere φde G.
Pour cela, on se donne un ´el´ement xde G\H, et on note Lle sous-groupe de Gengendr´e par
Het x, c’est-`a-dire le plus petit sous-groupe de G(pour l’inclusion) contenant `a la fois Het x.
1. Justifier l’existence de n= min{m≥2, xm∈H}et de ωdans Utel que ωn=ϕ(xn). [S]
2. Montrer que tout yde Ls’´ecrit de fa¸con unique y=xkz, avec 0 ≤k < n et z∈H.[S]
3. Avec les notations pr´ec´edentes, on pose ψ(y) = ωkϕ(z).
Montrer que ψest un caract`ere de L, qui prolonge ϕ.[S]
4. Montrer finalement l’existence d’un caract`ere φde G, qui prolonge ϕ.[S]
II. Exposant d’un groupe ab´elien fini
On rappelle que l’ordre d’un ´el´ement xde Gest le plus petit entier m≥1 tel que xm=e.
On note ici qle ppcm des ordres des diff´erents ´el´ements de G.
On dit que l’entier qest l’exposant du groupe G.
On se propose ici de montrer qu’il existe dans Gun ´el´ement d’ordre q.
Pour cela, on note q=
r
Q
i=1
pαi
i(les pisont premiers distincts deux `a deux, les αisont dans N∗.)
1. On se donne un entier jdans {1, . . . , r}.
Montrer qu’il existe xjdans Gdont l’ordre s’´ecrive mjpαj
j, avec mj∧pj= 1. [S]
2. Avec les notations pr´ec´edentes, quel est l’ordre de yj=xmj
j?[S]
3. Conclure en consid´erant l’´el´ement x=y1y2· · · yr.[S]
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Enonc´e
III. Existence de la d´ecomposition d’un groupe ab´elien fini
Avec les notations de II, on se donne un ´el´ement xde Gd’ordre q.
1. Pour 0 ≤k < q, on pose ϕ(xk) = ωk, avec ω= exp 2iπ
q.
Montrer que ϕest un caract`ere de (x). [S]
2. On prolonge ϕen un caract`ere φde G(cf I.)
Montrer que tout yde Gs’´ecrit de fa¸con unique y=xkz, o`u 0 ≤k < q et z∈ker φ.[S]
3. En d´eduire que le groupe Gest isomorphe `a Uq×ker φ.[S]
4. En raisonnant par r´ecurrence sur l’ordre de G, montrer l’existence de l’isomorphisme
´evoqu´e en pr´eambule de l’´enonc´e. [S]
IV. Unicit´e de la d´ecomposition d’un groupe ab´elien fini
On se propose ici de prouver l’unicit´e de la d´ecomposition ´evoqu´ee dans le th´eor`eme de l’´enonc´e.
Pour cela, on se donne les groupes H=Ud1× Ud2× · · · × Udr
K=Uδ1× Uδ2× · · · × Uδs
avec 2≤d1|d2| · · · | dr
2≤δ1|δ2| · · · | δs
.
On notera indiff´eremment el’´el´ement neutre de Het celui de K.
On suppose que Het Ksont isomorphes. Sans perdre de g´en´eralit´e, on peut supposer r≤s.
Pour conclure, il faut donc ´etablir r=s, et dj=δjpour tout jde {1, . . . , r}.
1. On se donne met ndans N∗. On note m∧nle pgcd de met de n.
Montrer que dans Unl’´equation xm= 1 poss`ede m∧nsolutions distinctes. [S]
2. Pour tout m≥1, combien l’´equation xm=eposs`ede-t-elle de solutions distinctes dans
Het dans Krespectivement ? Pourquoi ces deux nombres sont-ils ´egaux ? [S]
3. En appliquant ce qui pr´ec`ede `a l’entier m=δ1, prouver que r=set que d1=δ1.[S]
4. Conclure en appliquant ce qui pr´ec`ede aux entiers m=δ2,m=δ3, etc [S]
V. Applications
1. Donner (`a un isomorphisme pr`es) le nombre de groupes ab´eliens d’ordre 72. [S]
2. Dans cette question, on montre que les groupes Get c Gsont isomorphes.
(a) Pour n≥1, montrer que c Unest cyclique d’ordre n(donc isomorphe `a Un.) [S]
(b) Soient H1, H2, . . . , Hrdes groupes ab´eliens, et H=H1×H2. . . ×Hr.
Montrer que le groupe c Hest isomorphe `a d H1×d H2. . . ×d Hr.
Indication : Pour tous ϕj∈d Hj, d´efinir ϕsur Hpar ϕ(x1, . . . , xn) =
r
Q
j=1
ϕj(xj). [S]
(c) Conclure. [S]
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Corrig´e
Corrig´e du probl`eme
I. Prolongement d’un caract`ere d’un groupe ab´elien fini
1. Dans le groupe fini G, l’´el´ement xengendre un groupe cyclique d’ordre q.
On a donc xq=e(et q≥2 car xn’est pas dans Hdonc est distinct de e.)
Ainsi l’ensemble {m≥2, xm∈H}est non vide puisqu’il contient l’entier q.
Cette partie de Nposs`ede donc un plus petit ´el´ement n≥2.
Puisque xnest dans H, on peut parler de z=ϕ(xn) qui est dans U.
Cet ´el´ement de Uposs`ede nracines n-i`emes distinctes, toutes dans U´egalement.
Si ωest l’une d’elles, on a bien ωn=ϕ(xn). [Q]
2. Le sous-groupe Lest ´egal `a {y=xmh, m ∈Z, h ∈H}(on v´erifie facilement que ce
dernier ensemble est un sous-groupe de Gcontenant xet H, et ´evidemment inclus dans
tout sous-groupe de Gqui contiendrait lui-mˆeme xet H.)
Avec ces notations, notons m=qn +rla division euclidienne de mpar n.
On a y=xmh=xrh0, o`u h0= (xn)qhest dans Hcar xnet hsont dans ce sous-groupe.
Ainsi tout ´el´ement de Lpeut s’´ecrire y=xkz, avec 0 ≤k < n et zdans H.
Pour montrer l’unicit´e, supposons y=xkz=xk0z0, avec 0 ≤k0≤k < n et (z, z0)∈H2.
On a alors xk−k0=z0z−1, qui est ´el´ement de H.
Puisque 0 ≤k−k0< n, la d´efinition de nimplique k=k0, et il en d´ecoule z=z0.
Conclusion : tout yde Ls’´ecrit de fa¸con unique y=xkz, avec 0 ≤k < n et z∈H.[Q]
3. Tout d’abord il est clair que ψprolonge ϕ, car y∈H⇔(k= 0 et z=y).
Il est clair ´egalement que ψest `a valeurs dans U, car ωest lui-mˆeme dans U.
Soient y=xkzet y0=xk0z0dans L, avec 0 ≤k, k0< n, et (z, z0)∈H2.
Soit k+k0=qn +rla division euclidienne de k+k0par n(en fait q∈ {0,1}.)
On a yy0=xrz00 avec z00 = (xn)qzz0, donc ψ(yy0) = ωrϕ(z00).
Mais ϕest un caract`ere de Hdonc ϕ(z00) = ϕ(xn)qϕ(zz0) = (ωn)qϕ(z)ϕ(z0).
Ainsi ψ(yy0) = ωnq+rϕ(z)ϕ(z0) = ωk+k0ϕ(z)ϕ(z0) = ωkϕ(z)ωk0ϕ(z0) = ψ(y)ψ(y0).
Conclusion : ψest un caract`ere de Lqui prolonge le caract`ere ϕde G.[Q]
4. Le sous-groupe Lde Gcontient strictement H.
Si L=Gc’est termin´e, sinon on peut se donner x0dans G\L.
Soit L0le sous-groupe de Gengendr´e par x0et L.
On construit comme pr´ec´edemment un caract`ere ψ0de L0qui ´etend ψdonc ϕ.
Si L0=Gc’est fini, sinon on continue avec un ´el´ement x00 de G\L0.
Au bout d’un nombre fini d’´etapes (car Gest lui-mˆeme fini) on parvient ainsi au groupe
Glui-mˆeme, et on dispose alors d’un caract`ere φdu Gqui est une extension du caract`ere
ϕd´efini sur le sous-groupe H.[Q]
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Corrig´e
II. Exposant d’un groupe ab´elien fini
1. On raisonne par l’absurde. Cela revient `a supposer que si xest quelconque dans Galors
son ordre m(x) est au plus divisible par pαj−1
j.
Mais dans ces conditions l’exposant de G, c’est-`a-dire le ppcm des ordres m(x), serait
lui-mˆeme au plus divisible par pαj−1
j, ce qui est absurde.
Il existe donc un ´el´ement xjde Gdont l’ordre m(xj), est divisible au moins par pαj
j(et
donc exactement par pαj
jsinon cela contredirait la factorisation de q.)
On peut alors ´ecrire m(xj) = mjpαj
j, avec mj∧pj= 1. [Q]
2. Avec les notations pr´ec´edentes, on a xk=e⇔mjpαj
j|k.
Ainsi yk
j=e⇔xmjk
j=e⇔mjpαj j|mjk⇔pαj j|k.
Cela prouve que l’´el´ement yjest d’ordre pαj
j.[Q]
3. L’ordre m(x) de l’´el´ement xest de toutes fa¸cons un diviseur de q.
Autrement dit, on peut ´ecrire m(x) =
r
Q
j=1
pβj
j, avec 0 ≤βj≤αjpour tout jde {1, . . . , r}.
Supposons par l’absurde qu’on ait (par exemple) l’in´egalit´e stricte β1< α1.
Posons q1=pβ1
1et qj=pαj
jpour tout jde {2, . . . , r}.
L’entier q0=pβ1
1
r
Q
j=2
pαj
j=q1
r
Q
j=2
qjest alors un multiple de m(x) donc xq0=e.
Du fait que yqj
j=epour tout jde {2, . . . , r}, on peut alors ´ecrire xq0=yq1
1
r
Q
j=2
yqj
j=yq1
1.
Ainsi yq1
1=eavec 1 ≤q1< pα1 1, ce qui est absurde.
On en d´eduit β1=α1, et bien sˆur βj=αjpour tout jde {1, . . . , r}.
Ainsi l’´el´ement xde Gest bien d’ordre q(le pccm des ordres des ´el´ements de G.) [Q]
III. Existence de la d´ecomposition d’un groupe ab´elien fini
1. Tout d’abord ϕest bien une application de (x) dans U.
On se donne k, k0dans {0, . . . , q−1}. Posons k+k0=sq +r, avec s∈ {0,1}et 0 ≤r < q.
On a xkxk0=xk+k0= (xq)sxr=xr(car xq=e) donc ϕ(xkxk0) = ωr.
Dans le mˆeme temps, ϕ(xk)ϕ(xk0) = ωkωk0=ωsq+r= (ωq)sωr=ωrcar ωq= 1.
On a donc ϕ(xkxk0) = ϕ(xk)ϕ(xk0), ce qui ´etablit que ϕest un caract`ere de (x). [Q]
2. Soit yun ´el´ement de G. On sait que yq=e. Il en r´esulte 1 = φ(yq) = φ(y)q.
Ainsi φ(y) est un ´el´ement de Uq, sous-groupe de Uengendr´e par ω.
Il existe donc kdans {0,1, . . . , q−1}tel que φ(y) = ωk=φ(xk).
Si on pose z=yx−k, on alors φ(z) = φ(y)φ(xk)−1=ec’est-`a-dire z∈ker φ.
On donc trouv´e kdans {0,1, . . . , q−1}et zdans ker φtels que y=xkz.
Supposons maintenant y=xkz=xk0z0, avec 0 ≤k0< n et z0∈ker φ.
On a φ(y) = φ(x)k=φ(x)k0donc ωk=ωk0c’est-`a-dire k0≡k(q), donc k0=kpuis z0=z.
Ainsi le couple (k, z) de {0, . . . , q−1} × ker φtel que y=xkzest unique. [Q]
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Corrig´e
3. L’application fde Uq×ker φdans Gd´efinie par f(ωk, z) = xkzest bijective.
En effet l’application ωk7→ kest bijective de Uqdans {0, . . . , q −1}et l’application
(k, z)7→ xkzest (on vient de le voir) bijective de {0, . . . , q−1} × ker φdans G.
Soient k, k0dans {0, . . . , q−1}et z, z0dans ker φ. Posons k+k0≡r(q), avec 0 ≤r < n.
f((ωk, z)(ωk0, z0)) = f(ωk+k0, zz0) = f(ωr, zz0) = xrzz0=xkz xk0z0=f(ωk, z)f(ωk0, z0).
(On a ´evidemment utilis´e xk+k0=xrcar xq=e, et ωk+k0=ωrcar ωq= 1.)
Cela montre que fest un morphisme (donc un isomorphisme) de Uq×ker φdans G.[Q]
4. Si Gest un groupe d’ordre n= 2, alors il est isomorphe `a U2(plus g´en´eralement, tout
groupe d’ordre premier pest isomorphe `a Up.) Cela ´etablit la propri´et´e au rang n= 2.
On se donne maintenant un groupe commutatif d’ordre n≥3 et on suppose que la
propri´et´e est ´etablie `a tout ordre strictement inf´erieur `a n.
Comme dans les questions pr´ec´edentes, soit d≥2 l’exposant de G.
On a vu qu’il existe un isomorphisme entre G0× Ud, o`u G0est un sous-groupe de G
(G0= ker φavec les notations utilis´ees.)
Si G0se r´eduit `a {e}alors c’est termin´e.
Sinon les ´el´ements de G0sont des ´el´ements particuliers de Get leur ordre divise donc
l’entier d. Il en d´ecoule que l’exposant d0de G0(c`ad le ppcm des ordres des ´el´ements de
G0) est lui-mˆeme un diviseur de d.
L’hypoth`ese de r´ecurrence affirme l’existence d’un isomorphisme entre G0et un produit
H0=Ud1× Ud2× · · · × Udr, avec d1|d2| · · · | dr. Cet isomorphisme fait se correspondre
les ordres des ´el´ements de G0et ceux de H0.
En particulier les groupes H0et G0ont le mˆeme exposant.
Or pour tout z= (z1, z2, . . . , zr) de H0, on a zdr= (zdr
1, zdr 2, . . . , zdr
r) = (1,1,...,1), car dr
est multiple des ordres d1, d2, . . . , drdes groupes cycliques Ud1,Ud2,...,Udr. Ainsi l’ordre
de tout ´el´ement de H0(donc l’exposant de H0) est un diviseur de dr.
En fait l’exposant de H0(donc celui de G0) est exactement ´egal `a dr: il y a en effet des
´el´ements d’ordre drdans H0, comme z= (1,...,1, ω), o`u ωest un g´en´erateur de Udr.
R´esumons-nous : il y a un isomorphisme entre Get G0× Udet un isomorphisme entre G0
et H0=Ud1× Ud2× · · · × Udr. Il en r´esulte donc un isomophisme entre le groupe Get le
groupe H0× Ud=Ud1× Ud2× · · · × Udr× Ud. D’autre part d1|d2| · · · | dr. Enfin on a
constat´e que l’entier dr(l’exposant de G0) divise l’entier d(l’exposant de G.)
Ceci ´etablit la propri´et´e au rang n=d1· · · drdet ach`eve la r´ecurrence. [Q]
IV. Unicit´e de la d´ecomposition d’un groupe ab´elien fini
1. Posons d=m∧n,m=dm0et n=dn0, avec m0∧n0= 1.
On a Un={ωk,0≤k < n}, avec ω= exp 2iπ
n. Posons x=ωk, avec 0 ≤k < n.
On a xm= 1 ⇔ωkm = 1 ⇔n|km ⇔dn0|kdm0⇔n0|km0⇔n0|k(Gauss.)
Les solutions de xm= 1 dans Unsont donc les xqn0, o`u q0∈ {0,1, . . . , d−1}.
Ainsi l’´equation xm= 1 poss`ede d=m∧nsolutions distinctes dans Un.[Q]
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