ESPACES VECTORIELS C-MINIMAUX §1. Introduction. Dans [2

The Journal of Symbolic Logic
Volume 75, Number 2, June 2010
ESPACES VECTORIELS C-MINIMAUX
FARES MAALOUF
§1. Introduction. Dans [2], Salma et Franz Viktor Kuhlmann d´ efinissent plu-
sieurs notions d’espace vectoriel valu´ e et d´ emontrent un principe d’Ax-Kochen
pour celles de ces structures dans lesquelles la multiplication par un scalaire du
corps pr´ eserve la valuation. Nous travaillons ici avec des conditions plus faibles.
On va d´ efinir en premier lieu la notion d’espace vectoriel valu´ e sur un corps K, et
associer canoniquement ` a un tel espace une valuation sur K, not´ ee w, compatible en
un sens ` a pr´ eciser avec celle de l’espace vectoriel. Ceci va nous permettre de parler
de (K, w)-espaces vectoriels valu´ es pour tout corps valu´ e (K, w) (definition 24). Le
cas o` u (K, w) est trivialement valu´ e correspond exactement ` a la condition de [2] de
pr´ eservation de la valuation par la multiplication par un scalaire. On fixe un corps
K. Les espaces vectoriels valu´ es sur le corps Kvont ˆ etre trait´ es comme des struc-
tures ` a deux sortes : la sorte de l’espace vectoriel et celle de l’espace des valuations.
Le langage LEde la sorte de l’espace vectoriel contient le symbole de la somme,
celui de l’´ el´ ement neutre, et un symbole de fonction unaire pour chaque scalaire de
K. Le langage LVde l’espace des valuations contient une relation d’ordre total,
un symbole de fonction unaire pour la multiplication par chaque scalaire de K, et
pour tout n∈N∗, un symbole de pr´ edicat Rncontrˆ olant la cardinalit´ e r´ esiduelle.
LVcontient aussi un symbole de fonction unaire squi sera la fonction successeur
quand elle est d´ efinie et l’identit´ e sinon. Le langage contient aussi un symbole vde
fonction unaire, la valuation, qui va de la sorte de l’espace vectoriel dans la sorte
de l’espace des valuations. Dans la section 2, on va ´ etudier les diff´ erentes th´ eories
possibles de l’espace des valuations d’un espace vectoriel valu´ eC-minimal sur un
corps non trivialement valu´ e. Les th´ eor` emes 13 et 15 axiomatisent ces th´ eories.
Dans la section 3, on va d´ efinir les notions de “K-espace vectoriel valu´ e” o` uK
est un corps(d´ efinition 21), et de “(K, w)-espace vectoriel valu´ e” o` u (K, w) est un
corps valu´ e(d´ efinition 24). On montre que la th´ eorie d’un (K, w)-espace vectoriel
valu´ e (E, v) est cod´ ee dans celle de son espace des valuations v(E) dans le langage
LV, au sens suivant :
Th´ eor` eme 1. Soient (E, v)et (E′, v′)deux (K, w)-espaces vectoriels valu´es. Alors
(E, v)≡(E′, v′)si et seulement si leurs espaces des valuations respectifs, v(E)et
v′(E′), sont ´el´ementairement ´equivalents. De plus, (E, v)est C-minimal si et seulement
si son espace de valuations est o-minimal.
Received January 26, 2009.
c
2010, Association for Symbolic Logic
0022-4812/10/7502-0015/$2.80
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742 FARES MAALOUF
Le th´ eor` eme 1, la proposition 36 et les r´ esultats de la section 2 vont nous permettre
de classifier ` a´ equivalence ´ el´ ementaire pr` es les (K, w)-espaces vectoriels valu´ es C-
minimaux, o` u (K, w) est un corps non trivialement valu´ e.
Avant d’´ enoncer cette caract´ erisation, on va par la prochaine d´ efinition fixer une
certaine notation.
Definition 2.Soit (K, w) un corps non trivialement valu´ e fix´ e, alors :
1. On note EKle corps Kvu comme K-espace vectoriel valu´ e.
2. Si (E, v) est un (K, w)-espace vectoriel valu´ e au sens de la d´ efinition 24 et
n∈NS{ℵ0}, on note E(n)le (K, w)-espace vectoriel valu´ e dont l’univers est
la somme directe de ncopies de Eet dont la valuation v′est d´ efinie de la fac¸on
suivante : pour tout (xi)i∈n∈E(n), v′((xi)i∈n) = min{v(xi); i∈n}. Noter
que E(1) =E.
3. Si (E, v) est un (K, w)-espace vectoriel valu´ e et Iun ensemble ordonn´ e (ty-
piquement Z,Qou [0, n −1] = n∈N∗), on note E[I]l’espace vectoriel
valu´ e dont l’univers est la somme directe E(I)et dont la valuation v′prend
ses valeurs dans l’ensemble lexicographiquement ordonn´ e avec ∞le plus
grand ´ el´ ement (v(E)\ {∞})×IS{∞}, et est d´ efinie par : v′(0) = ∞et
v′((xi)i∈I) = min{(v(xi), i); i∈I}sinon. Noter que E[1] =E.
La d´ efinition pr´ ec´ edente n´ ecessite une justification, il faut que les structures
d´ efinies soient effectivement des espaces vectoriels valu´ es. Ceci va ˆ etre prouv´ e dans
les propositions 41 et 42. On a alors le th´ eor` eme suivant sur les espaces vectoriels
valu´ es C-minimaux :
Th´ eor` eme 3. Soit (K, w)un corps non trivialement valu´e, et notons par w(K)son
espace des valuations et par kwson corps r´esiduel. Alors :
1. Si w(K)est dense et kwinfini, alors tout (K, w)-espace vectoriel valu´e est
´el´ementairement ´equivalent soit `a EK, soit `a E[Z]
K.
2. Si w(K)est dense et kwfini, alors tout (K, w)-espace vectoriel valu´e C-minimal
est ´el´ementairement ´equivalent `a E(n)
Kou `a (E(n) K)[Z], pour un n∈N∗S{ℵ0}.
3. Si w(K)est discret et kwinfini, alors tout (K, w)-espace vectoriel valu´e C-
minimal est ´el´ementairement ´equivalent `a l’un des (K, w)-espaces vectoriels
valu´es suivants : E[n]
K, n ∈N∗,E[Z] K,E[Q] K.
4. Si w(K)est discret et kwest fini, alors tout (K, w)-espace vectoriel valu´e C-
minimal est ´el´ementairement ´equivalent `a l’un des (K, w)-espaces vectoriels
valu´es suivants : (E(m)
K)[n], m ∈N∗S{ℵ0}, n ∈N∗;(E(m) K)[Z], m ∈N∗S{ℵ0};
(E(m)
K)[Q], m ∈N∗S{ℵ0}.
On d´ emontre ´ egalement le r´ esultat suivant qui, sauf la partie concernant la C-
minimalit´ e, se trouve d´ ej` a dans [2] :
Proposition 4. Supposons que la valuation sur Kest triviale, et soit (I, ≤,
(Pn)n∈N∗)une structure totalement ordonn´ee, o`u les Pninterpr`etent des pr´edicats
disjoints, et pour tout i, soit niest l’unique entier n, s’il en existe, tel que Pni(i), et ∞
sinon. Soit E=⊕i∈I(Kni). Alors on peut munir Ed’une structure de (K, w)-espace
vectoriel valu´e en posant, pour tout x= (xi)i∈I∈E,v(x) = min{i;xi6= 0, i ∈I}.
De plus, Eest C-minimal si et seulement si (I, ≤,(Pn)n∈N∗)est o-minimal, et tout

ESPACES VECTORIELS C-MINIMAUX 743
(K, w)-espace vectoriel valu´e est ´el´ementairement ´equivalent `a un qui soit construit de
cette fac¸on.
Dans les propositions 44 et 45, on d´ emontre la propri´ et´ e de l’´ echange et la
modularit´ e pour les espaces vectoriels valu´ es.
Dans [6], Lou van den Dries a d´ ej` a d´ emontr´ e quelques r´ esultats qu’on red´ emontre
ici.
§2. Corps op´ erant sur une chaˆ ıne. Soit Kun corps fix´ e, K∗=K\ {0}, et Lle
langage compos´ e d’un symbole de relation binaire ≤, de deux symboles de constante
not´ es ∞et c, et pour tout ë∈K, d’un symbole de fonction unaire, not´ e aussi ë.
Definition 5.1. Soit M= (M, ≤, c, ∞,(ë)ë∈K,...) une expansion d’une L-
structure totalement ordonn´ ee par ≤. On dit que le groupe multiplicatif du
corps Kop` ere sur la chaˆ ıne Msi et seulement si Mest mod` ele du syst` eme
d’axiomes T−
0suivant :
–≤est un ordre lin´ eaire sur M, et ∞est l’´ el´ ement maximal,
–c6=∞,
–∀x, 0(x) = ∞,
–∀x, 1(x) = x,
– pour tout ë∈K∗, l’axiome : ∀x∀y, x > y →ë(x)> ë(y),
– pout tout ë∈K∗, l’axiome : ∀x∀y6=∞, ë(x)> x −→ ë(y)> y,
– pour tous ë, ä dans K, l’axiome ∀x, (ëä)(x) = ë(ä(x)).
2. On dit que le groupe multiplicatif du corps Kop` ere trivialement sur Msi
pour tout ë∈K∗et pour tout x∈M, ë(x) = x, et on dit qu’il op` ere non
trivialement dans le cas contraire.
Notations. On note T0la th´ eorie T−
0augment´
ee de l’axiome qui dit que M\{∞}
est un ordre sans extr´ emit´ es.
Exemple. Si on munit le corps Kd’une valuation w, des mod` eles canoniques
de T0et T−
0sont donn´
es par l’action du groupe multiplicatif de Ksur w(K) d´ efinie
par ë(w(x)) := w(ë) + w(x).
On a quelques cons´ equences faciles de T−
0: d’abord, comme ë(∞) = ë(0(x))
pour un xquelconque, on a par le dernier sch´ ema d’axiomes que ë(∞) = ∞pour
tout ë∈K. On a aussi que, pour tout ë6= 0, la fonction sur Mcorrespondant ` a
l’´ el´ ement ë−1est l’inverse de celle correspondant ` aë, donc toutes les fonctions ë
sauf 0 sont des automorphismes de Mdans le langage {≤,∞}. Il en d´ ecoule que
pour tout ë6= 0, pour tout xdans M, si x6=∞alors ë(x)6=∞, et que, si le groupe
multiplicatif de Kop` ere non trivialement sur M, alors (M\ {∞},≤) est un ordre
sans extr´ emit´ es, et donc que Mest un mod` ele de T0, et que s’il op` ere trivialement
sur M, alors la L-structure Mest un ordre pur. On va ´ etudier dans cette section
les compl´ etions possibles de T0.
Th´ eor` eme 6. La th´eorie T0,dense , form´ee des axiomes de T0et de l’axiome qui dit
que “≤est un ordre dense” ´elimine les quantificateurs dans L.
Preuve. On va appliquer un crit` ere g´ en´ eral pour l’´ elimination des quantifi-
cateurs, voir 3.1.6 de [5]. Soient M= (M, ≤, c, ∞,(ë)ë∈K) et M′= (M′,≤,
c, ∞,(ë)ë∈K) deux mod` eles de cette th´ eorie, et soit Aune L-sous-structure com-
mune. On va v´ erifier que toute formule de la forme ∃xϕ(x, a1, . . . , an), o` u les ai

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sont dans Aet ϕest sans quantificateurs, est vraie dans Msi et seulement si elle est
vraie dans M′.
Supposons que ∃xϕ(x, a1,...,an) est vraie dans M;ϕ(x, a1,...,an) est une
combinaison bool´ eenne de formules atomiques de la forme Q < P ou Q=P, o ` u
Pet Qsont des termes du langage, form´ es ` a partir des ajet de x, c’est-` a-dire de la
forme ë(aj), ou ä(x), ou ∞, pour certains ë, ä dans K,jentre 1 et n. On met ϕsous
forme normale disjonctive, et on pourra supposer alors, sans perte de g´ en´ eralit´ e,
que ϕest une conjonction de formules atomiques de la forme d´ ecrite.
– Si dans la formule conjonctive ϕ, il y a une formule de la forme ä(x) = ë(ai)
pour ä6= 0, alors, moyennant les axiomes, ä−1ë(ai) v´ erifie dans Mla formule
ϕ(x, a1,...,an), qui est une formule sans quantificateurs ` a param` etres dans A,
ä−1ë(ai)∈Aet Aest une sous-structure commune de Met M′, donc ä−1ë(ai)
v´ erifie la formule ϕdans M′, donc ∃xϕ(x, a1,...,an) est vraie dans M′.
– Si toutes les sous-formules sont des in´ egalit´ es strictes, alors la formule ϕ(x, a1,
...,an) d´ efinit dans Mune r´ eunion d’intervalles non vides d’extr´ emit´ es dans A
ou de la forme {x;x≤a}ou {x;x < a}, avec a∈A. Dans tous les cas,
cet intervalle est non vide aussi dans M′par densit´ e et l’axiome qui dit que
(M′\ {∞},≤) est un ordre sans extr´ emit´ es.
– Ce n’est pas la peine de s’occuper des clauses de la forme ë(x)< ä(x), ou
de la forme ë(x) = ä(x), car si une clause de cette forme est vraie dans M
pour x=∞, elle le sera aussi dans M′(la v´ erit´ e d’une telle formule est une
cons´ equence des axiomes), et si une clause de cette forme est vraie dans M
pour un ´ el´ ement x06=∞, moyennant les axiomes, elle sera vraie pour tous les
´
el´ ements de M\ {∞}, donc en particulier pour les ´ el´ ements de A\ {∞} ⊂ M′,
donc pour tous les ´ el´ ements de M′\{∞} (noter que c∈Adonc A6={∞}). ⊣
Notation. On note par L′le language LS{s}o` usest un symbole de fonction
unaire, et par T′
0la th´
eorie du language L′form´ ee des axiomes de T0et des axiomes
suivants :
– l’ordre ≤, priv´ e de ∞, est un ordre lin´ eaire discret,
–sest la fonction successeur sauf pour ∞, et s(∞) = ∞,
–∀x∃y, s(y) = x,
– pour tout ë∈K∗et pour tout entier n, l’axiome ∀x, ∀y6=∞,
{[(∃≥nz, x < z < ë(x)) →(∃≥nz, y < z < ë(y))].
Ce dernier sch´ ema va ˆ etre not´ e par (∗) pour la suite.
Lemme 7. T′
0d´emontre que les fonctions set ëcommutent pour tout ë∈K∗.
Preuve. Si x∈M, x 6=∞, et si ë∈K∗, supposons que s(ë(x)) 6=ë(s(x)),
alors, on a par les axiomes que ë(s(x)) > s(ë(x)) > ë(x), alors, en composant
avec ë−1, on obtient que s(x)> ë−1s(ë(x)) > x, ce qui est impossible. ⊣
Th´ eor` eme 8. La th´eorie T′
0´elimine les quantificateurs dans le langage L′.
Preuve. La preuve suit celle du th´ eor` eme 6, avec de petits changements dans les
d´ etails.
Soient M= (M, ≤, c, ∞,(ë)ë∈K, s) et M′= (M′,≤, c, ∞,(ë)ë∈K, s) deux
mod` eles de T′
0, et soit Aune L′-sous-structure commune. On va v´
erifier que toute
formule de la forme ∃xϕ(x, a1,...,an), o` u les aisont dans Aet ϕest sans quanti-
ficateurs, est vraie dans Msi et seulement si elle est vraie dans M′. Supposons que

ESPACES VECTORIELS C-MINIMAUX 745
∃xϕ(x, a1,...,an) est vraie dans M;ϕ(x, a1,...,ar) peut ˆ etre suppos´ ee, comme
auparavant, une conjonction de formules atomiques de la forme : Q < P ou Q=P,
o` uPet Qsont des termes du langage form´ es ` a partir des aiet de x, ou un peu
plus g´ en´ eralement, de la forme spë(aj), ou sqä(x), ou ∞, pour certains ë, ä dans
K,p, q ∈Z.
Si dans la formule conjonctive ϕ, il y a une clause de la forme sqä(x) =
spë(ai), avec ä6= 0,alors, moyennant les axiomes, sp−qä−1ë(ai) v´ erifie dans M
la formule ϕ(x, a1,...,an), qui est une formule sans quantificateurs ` a param` etres
dans A,sp−qä−1ë(ai)∈Aet Aest une L′-sous-structure commune de Met M′,
donc sp−qä−1ë(ai) v´ erifie la formule ϕdans M′, donc ∃xϕ(x, a1, . . . , an) est vraie
dans M′.
Si toutes les sous-formules sont des in´ egalit´ es, alors la formule ϕ(x, a1,...,an)
d´ efinit dans Mun ensemble non vide qui est une r´ eunion d’intervalles d’extr´ emit´ es
dans Asou de la forme {x;x≤a}ou {x;x < a}, avec a∈As, o` uAsd´ enote la L′-
sous-structure de Mobtenue en clˆ oturant Apar l’inverse de la fonction successeur.
Dans tous les cas, l’ensemble d´ efini par cette formule dans M′est aussi non vide,
soit par le fait que (M′\ {∞},≤) est un ordre sans extr´ emit´ es soit pour la raison
suivante : si a < b ∈Aset nun entier tel que sn(a) et sn(b) sont dans A, le
fait qu’il existe xentre aet bse dit par : “sn(b)> sn+1(a)”, qui est une formule
sans quantificateurs ` a param` etres dans A. On remarque que ce n’est pas la peine de
s’occuper des clauses de la forme spë(x)< sqä(x), ou de la forme spë(x) = sqä(x),
car si ∃xϕ(x, a1,...,an) est vraie dans M, le sch´ ema d’axiomes (∗) permettra de
conclure que toutes les sous-formules de cette forme apparaissant dans ϕseront
vraies pour tous les ´ el´ ements de M, donc pour les ´ el´ ements de A, et les ´ el´ ements
de M′. A remarquer pour cela aussi que c∈A, donc A6={∞}.⊣
Notation. On note T−(respectivement T,T′) la th´ eorie de L(respectivement
L,L′) form´ ee des axiomes de T−
0(respectivement T0,T′
0) et des axiomes suivants :
– pour ë, ä ∈K, l’axiome (ë+ä)(x)≥min(ë(x), ä(x)),
– pour tout ë∈Kl’axiome : ∀x, ë(x) = (−ë)(x).
Definition 9.On dit que le corps Kop` ere sur la chaˆ ıne M= (M, ≤,∞, c, (ë)ë∈K)
si et seulement si Mest mod` ele de T−.
Proposition 10. Soit M= (M, ≤,∞, c, (ë)ë∈K)un mod`ele de T−, soit O=
{ë∈K;∀x∈M\ {∞}, ë(x)≥x}et I={ë∈K;∀x∈M\ {∞}, ë(x)> x}.
Alors Oest un anneau de valuation et Iest son id´eal maximal.
Preuve. Oest un anneau de valuation :
– 0 ∈Ocar 0.x =∞ ≥ x.
– Si ë∈O, alors (−ë)(x) = ë(x)≥x; donc −ë∈O.
– Si ë, ä ∈O, (ë+ä)(x)≥min(ë(x), ä(x)) ≥x, donc ë+ä∈O.
– Si ë, ä ∈O, (ë.ä)(x) = ë(ä(x)) ≥ä(x)≥x; donc ë.ä ∈O.
– Si ë∈K\O, il y a un x∈Mtel que ë(x)< x donc x < ë−1(x) donc ë−1∈O.
Donc Oest un anneau de valuation.
– Si ë, ä ∈I, donc (ë−ä)(x)≥min(ë(x), ä(x)) > x. Donc ë−ä∈I.
– Si ë∈I, ä ∈O, (ä.ë)(x)≥ë(x)> x ; donc ä.ë ∈I.
Donc Iest un id´ eal. Et si ë∈O, ë /∈I, alors ë(x) = x, donc ë−1x=xalors
ë−1∈O. Donc Iest l’id´ eal maximal de O.⊣