Courbes algébriques 1 Anneaux de Dedekind 2 Différentielles

2016-2017
Université Lille 1
M512
Arithmétique des courbes elliptiques
Courbes algébriques
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Anneaux de Dedekind
Exercice 1.
Soient A un anneau intègre, K = frac(A), L/K une extension algébrique, et
B la fermeture intégrale de A dans L. Montrer que L = frac(B).
Exercice 2.
Montrer qu’un anneau factoriel est intégralement clos.
Exercice 3.
Soit A un anneau de Dedekind.
1. Pour chaque i = 1, · · · N , soient pi des idéaux premiers distincts, xi
des éléments de K = frac(A), et ni des entiers relatifs. Montrer qu’il
existe x ∈ K tel que vpi (x − xi ) > ni pour tout i et vq (x) > 0 pour q
distinct de p1 , · · · , pN . On pourra d’abord
(a) montrer que l’on peut se ramener à x2 = · · · = xN = 0, et ni > 0
pour i = 1, · · · N ,
(b) supposer les xi dans A et chercher une solution x dans A en considérant les valuations de l’idéal pn1 1 + pn2 2 pn3 3 · · · pnNN .
2. On suppose que A a un nombre fini d’idéaux premiers p1 , · · · , pN
distincts. Montrer qu’il est principal (à l’aide du théorème des restes
chinois, montrer qu’il existe xj ∈ A tel que vpi (xj ) = δi,j ).
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Différentielles
Exercice 4.
Soit A un anneau commutatif. On pose R = A[X1 , · · · , Xn ]. Montrer que
Ω1R/A est le R-module libre engendré par d X1 , · · · , d Xn .
Exercice 5. Soit R un anneau commutatif, M1 → M2 → M3 une suite de
R-modules.
1. Montrer que si pour tout R-module N , la suite exacte induite de
groupes abéliens :
HomR (M3 , N ) → HomR (M2 , N ) → HomR (M1 , N )
est exacte, alors la suite de R-modules initiale est exacte.
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2. Est-ce que la réciproque est vraie ?
Exercice 6.
1. Soit L/K une extension algébrique de corps de caractéristique p > 0, montrer l’équivalence entre :
(a) L/K est purement inséparable (tout élément de L\K n’est pas
séparable sur K),
n
(b) pour tout x ∈ L, il existe n ∈ N tel que xp ∈ K,
n
(c) tout x ∈ L admet un polynôme minimal sur K de la forme X p −a.
2. Montrer que si on a une tour d’extensions algébriques M/L/K, M/K
est purement inséparable si et seulement si M/L et L/K le sont.
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Riemann-Roch
Exercice 7.
Soit C/k une courbe. On dit qu’un diviseur effectif réduit D ∈ Divk (C) est
irréductible s’il ne s’écrit pas comme une somme non triviale de deux tels
diviseurs.
1. Montrer qu’il y a une bijection naturelle entre diviseurs effectifs irréductibles réduits et idéaux maximaux de k[C].
2. Comment s’interprète le degré du diviseur en termes de l’idéal associé ?
Exercice 8.
Démontrer le théorème de Riemann-Roch pour C = P1 .
Exercice 9.
Démontrer la formule de Hurwitz.
Exercice 10.
Soit C ⊂ P2 une courbe projective lisse définie par l’équation homogène
F (X, Y, Z) = 0 de degré d. Montrer que le genre de C est donné par :
gC =
(d − 1)(d − 2)
.
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Exercice 11.
Sans admettre le théorème de Riemann-Roch, montrer que l(D) 6 deg D +1.
Exercice 12.
Soit C une courbe projective lisse, montrer l’équivalence entre :
1. C ' P1 ,
2. gC = 0,
3. il existe x 6= y ∈ C tels que le diviseur (x) − (y) est principal.
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