Mouvement des planètes et des satellites :

Mouvement des planètes et des satellites
Mouvement des satellites en mouvement circulaire
1. Vitesse du satellite
a. Faire le bilan des forces sur le satellite en mouvement circulaire. Faire un schéma de la situation.
b. En utilisant la 2ème loi de Newton, établir les coordonnées du vecteur accélération en fonction de G,
MT et r
Bilan des forces sur le satellite :
La seule force s’exerçant sur le satellite est la force d’interaction gravitationnelle
F
Coordonnées de
F
dans le repère mobile de Frénet :
2
0
rMm
GF
FT
où m est la masse du satellite et MT la masse de la Terre (plus généralement de l’astre attracteur)
D’après la deuxième loi de Newton
amF 
D’où
m
F
a
D’où les coordonnées de
a
dans le repère de Frénet :
2
0
r
M
Ga
a
aT
n
t
c. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de
la Terre.
Montrer que, seule, l'une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
t
n
a
F

Pour qu’un mouvement soit circulaire il faut que le vecteur accélération soit radial (suivant le rayon
de la trajectoire ; perpendiculaire au vecteur vitesse) et centripète (dirigé vers le centre de la
trajectoire) :
Dans la figure 2, le vecteur accélération donnée par la deuxième loi de Newton n’est ni centripète, ni
radial à la trajectoire. Cette trajectoire est donc incompatible avec les lois de la mécanique.
d. En utilisant l’expression de l’accélération dans le repère de Frénet, montrer que la valeur v de la
vitesse d’un satellite en mouvement circulaire est constante (mouvement uniforme).
les coordonnées générales de l’accélération dans le repère de Frénet sont :
r
v
a
dt
dv
a
a
n
t
2
On a donc :
suivant
t
:
0
dt
dv
ce qui implique que la valeur de la vitesse est bien constante.
e. Exprimer cette vitesse v en fonction de r, G, MT, puis en fonction de v, RT et h, l’altitude de ce
satellite.
suivant
n
:
2
2
r
M
G
r
vT
soit
r
M
Gv T
En remplaçant r par RT+h, on arrive à
hRM
Gv
T
T
f. Pourquoi cette expression permet d’expliquer les phénomènes d’impesanteur observables dans la
station internationale en orbite autour de la Terre ?
On constate que la vitesse du satellite sur son orbite ne dépend pas de sa masse !
D’où les phénomènes d’impesanteur… (l’astronaute dans la station en orbite autour de la Terre est
satellisé de la même façon que la station ; les deux satellites tournent indépendamment l’un de l’autre à
la même vitesse).
2. Période d’un satellite
a. Exprimer la période T du satellite en fonction de G, MT, r.
Définition de la période du satellite : durée d’un tour
vr vitesse etrajectoirladepérimètre
T
2
3
2
2r
GM
r
GM
r
T
TT
b. Vérifier la troisième loi de Kepler : le carré de la période des objets en orbite est proportionnel au
cube du demi grand axe de leur trajectoire.
Troisième loi de Kepler : le carré de la période des objets en orbite est proportionnel au cube du demi

grand axe de leur trajectoire.
D’après l’expression établie précédemment :
3
2
24r
GM
T
T
Ceci traduit bien la troisième loi de Képler car
T
GM
2
4
est une constante pour un astre attracteur
donné.
3. Cas des satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire est toujours à la verticale d’un même point de la surface de la Terre. On
rappelle que le rayon de la Terre est RT=6380km.
a. Parmi les trajectoires possibles en 1.c, quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au
satellite géostationnaire ?
La trajectoire du satellite doit être inscrite dans le plan équatoriale de la Terre.
b. Déterminer l’altitude h (à partir du niveau de la mer) à laquelle évolue ce satellite.
3
2
24gT
T
ThR
GM
T
D’où
2
2
3
4T
T
gT T
GM
hR 
A.N.
22
2
4
2
2411
310.54,710.64,8
410.98,510.67,6 
gT hR
mhR gT 7 10.23,4
soit 4,23.104km
Et donc hg=4,23.104-6,28.103=3,60.104km
Les satellites géostationnaires gravitent à une altitude de 36000km de la Terre.
c. Quels genres de satellites sont géostationnaires ?
I. Masse de Jupiter
Autour de la planète Jupiter gravitent des satellites naturels. Les quatre plus gros sont Io, Europe, Ganymède
et Callisto.
Dans un référentiel centré sur Jupiter supposé galiléen, on considère que le centre de chacun des satellites
est animé d'un mouvement circulaire uniforme autour du Centre J de Jupiter. Sur la figure 1 (ci-dessous), on
a représenté uniquement la trajectoire du centre d'inertie E d'Europe. Les trajectoires des autres satellites
appartiennent sensiblement à ce même plan qui contient aussi le centre T de la Terre.
Une revue d'astronomie a publié les courbes donnant les variations, en fonction du temps, de l'ordonnée y
de chacun des quatre satellites dans le repère orthonormé
jiJ ;;
lié au référentiel choisi. Les courbes ou
éphémérides obtenues entre le 21 avril 1997 à OO h OO et le 2 mai 1997 sont données en annexe 1
(document 1).

1. Sur la figure 1 ci-dessus, on a noté K, L, M et N les positions particulières d’Europe quand sa trajectoire
coupe les axes jx et jy. Sur le document 1 fourni en annexe 1 à rendre avec la copie, on a placé un point
K' qui correspond à un passage du satellite Europe au point K de sa trajectoire. Placer sur le document 1,
les points L', M' et N' qui correspondent respectivement aux passages successifs du satellite Europe par
les points L, M et N.
2. Sur cette courbe YE = f(t), quel couple de points permet de déterminer la demi-période de révolution du
satellite Europe. Donner sa période de révolution en jours.
c. De même, quel couple de points permet de déterminer le diamètre de la trajectoire du satellite
Europe. Donner ce diamètre en km.
d. Identifier le satellite le plus proche de Jupiter puis le satellite ayant la plus grande période de
révolution.
A partir du document 1, remplir le tableau ci-dessous :
Nom
Rayon de la
trajectoire R (milliers
de m)
R3
Période T
T2
(m3)
(jours)
(s2)
Calisto
18×108
5.83E+27
15
1.67962E+12
Ganymède
11×108
1.33E+27
7
3.65783E+11
Europe
7×108
3.43E+26
3,5
91445760000
Io
4×108
6.40E+25
1,8
24186470400
e. A partir des données ci-dessus, proposer une méthode graphique qui permet de calculer la passe de
Jupiter.

La relation établie annonce : T2 = 3×10-16 × R3
Or
3
2
24r
GM
T
T
donc
16
2100,3
4
T
GM
soit
16
2
100,34
G MT
A.N. MT = 2,0×1027 kg (1,97×1027 kg)
Valeur attendue : 1,90×1027 kg