Révisions : calculs d`aire

Révisions : calculs d’aire
Pondichéry 2011
La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur IR. On note
'f
la fonction dérivée de f .
− La tangente T à la courbe Cf au point A(0 ; 3) passe par le point B(1 ; 5).
1. En utilisant les données et le graphique, préciser la valeur du réel f (0) et la valeur du réel
'(0)f
.
2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A .
3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire, en unités
d’aire, de la partie du plan située entre la courbe Cf , l’axe des abscisses,
l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.
A
B
Cf
D
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme
( ) 1 ex
ax b
fx 
, où a et b sont des nombres réels.
a. Déterminer l’expression de
'( )fx
en fonction de a, de b et de x.
b. À l’aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l’on a, pour tout réel x
42
( ) 1 ex
x
fx 
5. Soit F la fonction définie et dérivable sur IRpar
46
() ex
x
F x x 
. On admet que F est une primitive de f sur
IR.
Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près de l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan
située entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.
Ce résultat est-il cohérent avec l’encadrement obtenu à la question 3 ?

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Amérique du Nord 2009
Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même
s’il ne les a pas établis.
Préliminaires
On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous.
x
0
1
+∞
Signe de
2
66x
x
+
|
|
0
−
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
3
( ) 6ln 2 3g x x x  
. On désigne par
'g
la fonction dérivée de g.
1. Calculer
'gx
.
2. En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
3. En déduire que g (x) < 0 pour tout
0;x 
.

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Partie a
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
2
3ln
() 2x f x x x
.
1. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout
0;x 
,
3
()
'( ) 2
gx
fx x
2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

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Partie b
1. On définit la fonction F sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
2
1 3 1 ln
() 22 x F x x x
.
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2. On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f notée Cf .
On a colorié le domaine limité par Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 1 et x= e.
Donner la valeur exacte, exprimée en unités d’aire, de l’aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie
au centième.