Révisions : calculs d`aire

Révisions : calculs d’aire
Pondichéry 2011
La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur IR. On note
f ' la fonction dérivée de f .
− La tangente T à la courbe Cf au point A(0 ; 3) passe par le point B(1 ; 5).
6
B
5
4
A
3
2
Cf
1
D
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
1. En utilisant les données et le graphique, préciser la valeur du réel f (0) et la valeur du réel f '(0) .
2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A .
3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire, en unités
d’aire, de la partie du plan située entre la courbe Cf , l’axe des abscisses,
l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.
4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme
ax  b
, où a et b sont des nombres réels.
f ( x)  1 
ex
a. Déterminer l’expression de f '( x ) en fonction de a, de b et de x.
b. À l’aide des résultats de la question 1. a., démontrer que l’on a, pour tout réel x f ( x )  1 
5. Soit F la fonction définie et dérivable sur IRpar F ( x )  x 
4x  2
ex
4 x  6
. On admet que F est une primitive de f sur
ex
IR.
Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près de l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan
située entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.
Ce résultat est-il cohérent avec l’encadrement obtenu à la question 3 ?
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Amérique du Nord 2009
Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même
s’il ne les a pas établis.
Préliminaires
On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous.
x
0
1
+∞
|
6
Signe de  6x 2
+
−
0
|
x
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g ( x)  6ln x  2 x3  3 . On désigne par g ' la fonction dérivée de g.
1.
Calculer g '  x  .
2.
En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
3.
En déduire que g (x) < 0 pour tout x  0;  .
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Partie a
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f ( x)  x 
3ln x
.
2 x2
1.
On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f.
g ( x)
Montrer que, pour tout x  0;  , f '( x)   3
2x
2.
En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
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Partie b
1 2 3 1  ln x
.
x  
2
2
x
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
1.
On définit la fonction F sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F ( x) 
2.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f notée Cf .
On a colorié le domaine limité par Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 1 et x= e.
Donner la valeur exacte, exprimée en unités d’aire, de l’aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie
au centième.
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Nouvelle Calédonie Nov 2007
exercice4
PARTIE A
On considère la fonction h définie et dérivable sur IR par h  x   e2 x  7e x  6 . On note h′ sa fonction
dérivée.
  7 
1. Calculer h  ln    , h(0) puis h(ln6).
  2 
2. Déterminer par le calcul l’image h′(x) d’un réel x par la fonction h′ et étudier les variations de la
fonction h.
Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes
dans ce tableau.
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3. En déduire le tableau des signes de la fonction h.
PARTIE B
On considère les fonctions f et g définies sur IR par f  x   6  6e x et g  x   e x  1 .
On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d’unités
graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
Les courbes Cf et Cg sont données en annexe ci-dessous.
1. Démontrer que le point de coordonnées (ln6 ; 5) est un point d’intersection des courbes Cf et Cg.
2. a) Démontrer que, pour tout réel x, f  x   g  x   
h  x
ex
.
b) Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes Cf et Cg.
3. On note D le domaine du plan limité par les courbes Cf ,Cg et les droites d’équations respectives x = 0
et x = ln6.
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a) Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annexe.
b) Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine D en cm2 puis en donner une valeur approchée
arrondie au centième.
Liban 2008
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; 6]. On note f ' sa fonction dérivée.
La courbe Γ représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite Δ
d’équation y = x. La courbe Γ et la droite Δ se coupent au point E d’abscisse 2.
On sait par ailleurs que :
− la courbe Γ admet des tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points B (−2 ; 6,5) et C (1 ; 1,75),
− la droite (EF) est la tangente à la courbe Γ au point E ; F est le point de coordonnées (4 ; 3).
B
y


F
C
E
1
O
A
1
x
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1. Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification
a) les valeurs de f '(2) et f (2) ;
b) les valeurs de x dans l’intervalle [− 4 ; 6] vérifiant f '( x)  0 ;
c) les valeurs de x dans l’intervalle [− 4 ; 6] vérifiant f ( x)  x .
2. Encadrement d’une intégrale
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse sera prise en
compte dans l’évaluation.
a) Soit l’intégrale I   f ( x) dx . Interpréter graphiquement I.
4
2
b) Proposer un encadrement de l’intégrale I par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.
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Antilles Guyane Juin 2010
14
exercice 1
13
La courbe Cf donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère
orthogonal d’une fonction f définie, dérivable et strictement décroissante sur
l’intervalle [1 ; +∞ [.
La courbe Cf passe par le point de coordonnées (3 ; 0) ; on sait de plus que la droite
d’équation y = − 2 est asymptote à la courbe Cf .
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 rePARTIE Étude préliminaire de f
Dans cette partie, aucune justification n’est demandée.
1. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0.
0
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-3
2. Préciser le signe de f sur [1 ; +∞ [.
2 ePARTIE Étude d’une fonction composée
Pour cette partie, des justifications sont attendues.
Soit la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; +∞ [ parg (x) = exp(f (x)).
Résoudre sur l’intervalle [1 ; +∞ [ l’équationg (x) = 1.
3 ePARTIE
La fonction f est la dérivée d’une fonction F définie sur [1 ; +∞ [.
1. La fonction F est représentée sur l’une des 3 courbes données en annexe 2. Préciser laquelle, en justifiant votre
réponse.
COURBE 1
COURBE 2
COURBE 3
2
3
5
1
2
4
0
1
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-6
-7
-8
-9
-10
2
0
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-3
-5
-4
-6
-5
-7
-6
-8
-7
-9
-8
-11
-10
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10
11
2. Déterminer graphiquement F (2) et F (3) avec la précision permise par le
graphique.
3. On s’intéresse au domaine du plan délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations
respectives x = 2 et x = 3. On notera A l’aire de ce domaine, exprimée en unités d’aire. Donner une méthode
permettant de déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine précédemment défini et en donner une
estimation.
4 ePARTIE
On donne l’expression de la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞ [ par : f (x) = 2e − x + 3 − 2.
Calculer l’aire A du domaine (en unités d’aire) ; on donnera la valeur exacte à l’aide du réel e, puis l’arrondi au
centième.
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Pondichéry 2010
exercice 4
Les parties A et B sont indépendantes.
Étude graphique
Les courbes représentatives d’une fonction f et de sa fonction dérivée f ' sont données ci-dessous.
Associer chaque courbe Cl et C2 à la fonction qu’elle représente. Justifier votre réponse.
PARTIE A
10
8
6
C2
4
2
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
C1
-8
-10
PARTIE B
Constructions
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l'évaluation. Chacun des tracés sera brièvement expliqué.
a. construire une courbe pouvant représenter une fonction g vérifiant les conditions suivantes : g est dérivable sur
l'intervalle  3;3 et l'équation g '( x)  0 admet trois solutions sur  3;3 .
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b. construire une courbe pouvant représenter une fonction h définie et continue sur  3;3 et vérifiant les
conditions suivantes :
x
−3
0
2
3
Pas au
ln  h  x  
programme
c. construire une courbe pouvant représenter une fonction k définie et continue sur  3;3 et vérifiant les
conditions suivantes : 4   k  x  dx  6 .
3
1
Amérique du sud 2009
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +∞[ telles que pour tout réel x de cet intervalle
e
f ( x)  ( x  e)(ln x 1) et g ( x)  ln x 
x
La courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan est donnée en annexe et l’unité graphique est 2 cm.
PARTIE 1
1. Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
1
1
1
e
‒e×(‒ 2)= + 2
x
x
x
x
1
e
1
e
Comme x appartient à ]0 ; +∞[, > 0 et 2 > 0 donc leur somme + 2 > 0
x
x
x
x
D’où g’(x) > 0 donc g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
g(x) = lnx ‒
e
1
= lnx ‒ e ×
x
x
donc g’(x) =
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2. Calculer g(e) et, grâce à la question 1, donner le signe de g(x) pour tout x strictement positif.
PARTIE 2
1. On note f′ la dérivée de f . Démontrer que f′(x) = g (x) pour tout nombre réel x strictement positif.
2. Établir le tableau des variations de la fonction f .
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3. Représenter
graphiquement
la
fonction
f
sur
la
feuille
annexe
jointe
au
sujet.
PARTIE 3
Soit F la fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ telle que pour tout réel x de cet intervalle :
 x2

3
F ( x)    ex  ln x  2ex  x 2
4
 2

1. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
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2. On considère le domaine délimité par la courbe Cf l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 1 et x = e.
a. Hachurer ce domaine sur le dessin.
b. Calculer la valeur exacte de

e
1
f ( x) dx
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c. En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l’aire du domaine exprimée en cm2.
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