LFM – Mathématiques – 3ème 1 Ch12 : Arithmétique (2) I Division

LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
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1!
Ch12%:%Arithmétique%(2)%
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I%Division%Euclidienne%
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Définition(:% %
Effectuer!la!division!euclidienne!(ou!division!entière)!de!a!par!b!(!b!non!nul!),!c’est!trouver!!
le!quotient!entier!positif!q!et!le!reste!entier!positif!r!tels!que!:!
a!=!b!×!q!+!r!!((et%!!!!!r!<!b.!
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Exemples!: ! !
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Application%:%Effectuer%la%division%euclidienne%de%6335%par%18%
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On!écrira!la!relation!sous!la!forme!a!=!b!×!q!+!r!!((!
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II%Calcul%du%PGCD%de%2%nombres%entiers%%
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Nous!avons!déjà!vu!la!méthode!des!soustractions!successives!pour!calculer!!le!PGCD.!
Il!existe!une!autre!méthode!utilisant!les!divisions!euclidiennes!successives.!
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Propriété%:%(admise)%
a!et!b!désignent!deux!nombres!entiers!strictement!positifs!avec!a$>!b!.!
PGCD!(a!;!b)!=!PGCD!(b!;!r)!où!r!est!le!reste!de!la!division!euclidienne!de!a!par!b.!
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Exemple!:!!
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LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
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2!
Méthode%des%divisions%euclidiennes%successives%:%l’ALGORITHME%D’EUCLIDE%
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Algorithme!d’Euclide!
• On!effectue!la!division!euclidienne!des!deux!
nombres!
• A!chaque!étape,!on!remplace!les!deux!
nombres!par!le!plus!petit!des!deux!et!par!le!
reste!de!leur!division!euclidienne!
• Le!PGCD!cherché!est!le!dernier!reste!non!nul!
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Exemple%:%Déterminer!le!PGCD!de!117!et!91!
117 =91×1+26!
91 =26×3+13!
26 =13×2+0!
Donc!PGCD!(117!;!91)!=!13!
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Application%:%Déterminer%le%PGCD%de%462%et%339%à%l’aide%de%l’algorithme%d’Euclide.%
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Effectuer!les!divisions!successives!
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Rédiger!la!méthode!
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III%Fractions%irréductibles%
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1) Nombres%premiers%entre%eux%
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Définition :
Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1, c’est-à dire
lorsque leur PGCD est égal à 1.
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Dernier!
reste!non!nul!

LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
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3!
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2) Fractions%irréductibles%
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Définition :
Lorsque!le!numérateur!et!le!dénominateur!d’une!fraction!sont!premiers!entre!eux,!la!fraction!est!dite!
irréductible!(on!ne!peut!pas!la!réduire,!c’estWàWdire!on!ne!peut!pas!la!simplifier).!
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Exemple!:! 13!et!18!sont!premiers!entre!eux,!donc!la!fraction!
€
13
18
!est!irréductible.!
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Propriété!:!! !
En!simplifiant!une!fraction!
€
a
b
!par!!PGCD!(!a!;!b!),!on!obtient!une!fraction!irréductible.!
!
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! !
Exemple$$
$
$
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Application%:%%
%
Rendre!irréductible!la!fraction!!""
!"#!