LFM – Mathématiques – 3ème 1 Ch12 : Arithmétique (2) I Division

Ch12 : Arithmétique (2) I Division Euclidienne Définition : Effectuer la division euclidienne (ou division entière) de a par b ( b non nul ), c’est trouver le quotient entier positif q et le reste entier positif r tels que : a = b × q + r et r < b. Exemples :
Application : Effectuer la division euclidienne de 6335 par 18 On écrira la relation sous la forme a = b × q + r II Calcul du PGCD de 2 nombres entiers Nous avons déjà vu la méthode des soustractions successives pour calculer le PGCD. Il existe une autre méthode utilisant les divisions euclidiennes successives. Propriété : (admise) a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a > b . PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Exemple : LFM – Mathématiques – 3ème 1 Méthode des divisions euclidiennes successives : l’ALGORITHME D’EUCLIDE Algorithme d’Euclide •
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On effectue la division euclidienne des deux nombres A chaque étape, on remplace les deux nombres par le plus petit des deux et par le reste de leur division euclidienne Le PGCD cherché est le dernier reste non nul Exemple : Déterminer le PGCD de 117 et 91 117 = 91×1 + 26 91 = 26×3 + 13 26 = 13×2 + 0 Dernier reste non nul Donc PGCD (117 ; 91) = 13 Application : Déterminer le PGCD de 462 et 339 à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Effectuer les divisions successives Rédiger la méthode III Fractions irréductibles 1) Nombres premiers entre eux Définition :
Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1, c’est-à dire
lorsque leur PGCD est égal à 1.
LFM – Mathématiques – 3ème 2 2) Fractions irréductibles Définition :
Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, la fraction est dite irréductible (on ne peut pas la réduire, c’est-­‐à-­‐dire on ne peut pas la simplifier). 13
Exemple : 13 et 18 sont premiers entre eux, donc la fraction est irréductible. 18
Propriété : a
En simplifiant une fraction par PGCD ( a ; b ), on obtient € une fraction irréductible. b
€
Exemple Application : !""
Rendre irréductible la fraction !"# LFM – Mathématiques – 3ème 3