l`arithmetique - PYSA

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ème
– Arithmétique Pierre-Yves Gouiffes – Collège Joseph-Anglade de Lézignan-Corbières
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L'ARITHMETIQUE
L’arithmétique (issu du mot grec arithmêtikê, « science des nombres ») est une
branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers et
rationnels. Dans l’école pythagoricienne (VI
ème
siècle avant notre ère),
l’arithmétique était, avec la géométrie, l’astronomie et la musique, une des
quatre sciences mathématiques.
Dans la suite du cours, a et b sont des entiers naturels.
I Les diviseurs communs
DEFINITION (D1) – PGCD
Le plus grand des diviseurs communs à deux entiers s’appelle le ……… (Plus
Grand Commun Diviseur) de ces deux entiers.
EXERCICE (E1)
Déterminer le PGCD de 12 et 16.
Les diviseurs de 12 sont : {…… ; …… ; …… ; …… ; …… ; ……}
Les diviseurs de 16 sont : {…… ; …… ; …… ; …… ; ……}
Les diviseurs communs à 12 et 16 sont {…… ; …… ; ……}.
Donc le PGCD de 12 et 16 est ……. On note : PGCD(12 ; 16) = …….
Les diviseurs communs à 12 et 16 sont les diviseurs communs du PGCD de
12 et 16.
a) L’algorithme des différences
PROPRIETE (P1) – PGCD et différences
Si a > b alors PGCD(a ; b) = PGCD(…… ; ………).
EXERCICE (E2)
Déterminer le PGCD de 45 et 35.
On applique l’algorithme des d…………… :
45 – 35 = … … – … = …
35 – … = … … – … = …
… – … = … … – … = …

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Le PGCD de 45 et 35 est ……
b) L’algorithme d’Euclide
PROPRIETE (P2) – PGCD et reste
Si a > b et si r est le reste de la division euclidienne de a par b alors
PGCD(a ; b) = PGCD(…… ; ……).
EXERCICE (E3)
Déterminer le PGCD de 45 et 35.
On applique l’algorithme d’E………… : 45 = 1 × 35 + …
35 = … × … + …
… = … × … + …
Le PGCD de 45 et 35 est le dernier reste non nul i.e. ……
II Les fractions irréductibles
PROPRIETE (P3) – Entiers 1
ers
entre eux
Deux entiers non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à ……
EXERCICE (E4)
Montrer que 13 et 17 sont premiers entre eux.
On applique l’algorithme E………… : 17 = … × 13 + …
13 = … × … + …
… = … × … + …
Le PGCD de 17 et 13 est le d……… r……… non nul i.e. ……
Donc 17 et 13 sont p……… entre ……
DEFINITION (D2) – Fraction irréductible
Une fraction est i…………… si son numérateur et son dénominateur sont
p……… entre ……
Exemples
 17
13 est une fraction i…………… car 17 et 13 sont p……… entre ……

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 45
35 n’est pas une fraction i…………… car 45 et 35 ne sont pas p………
entre ……
PROPRIETE (P4) – PGCD et fraction irréductible
Si on divise le n…………… et le d……………… d’une fraction par leur
PGCD, on obtient une fraction i……………
Exemple
Le PGCD de 45 et 35 est …… donc 45
35 = … × …
… × … = …
…
III Des applications
a) Groupe Ouest, Juin 2005
EXERCICE (E5)
1. Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.
2. Ecrire la fraction 675
375 sous forme irréductible.
1. On applique l’algorithme E………… : 675 = … × … + …
… = … × … + …
… = … × … + …
Le PGCD de 675 et 375 est le dernier reste non nul i.e. ……
2. Le PGCD de 675 et de 375 est …… donc 675
375 = … × …
… × … = …
…
b) Groupe Nord, Juin 2005
EXERCICE (E6)
1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la
baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée
dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
a) Déterminer la longueur, en cm, du côté d’un carreau, sachant que le mur
mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
b) Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

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1. On applique l’algorithme E………… : … = … × … + …
… = … × … + …
… = … × … + …
… = … × … + …
Le PGCD de 210 et 135 est le dernier r……… non nul i.e. ……
2. a) Le nombre de carreaux doit diviser la hauteur (210 cm) et la largeur
(135 cm). Si on veut que les carreaux soient les plus grands possibles,
il faut donc calculer le ……… de 210 et 135. On a trouvé à la question
précédente que le PGCD de 210 et 135 est ……. Un côté de carreau
devra donc mesurer …… cm.
b) Il faudra 210
… = … carreaux dans la hauteur.
Il faudra 135
… = … carreaux dans la largeur.
Soit …… × …… = …… carreaux en tout.
Il faudra donc …… carreaux.