TD n° 20 : Variables Aléatoires

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TD du Chapitre 20 - Variables Aléatoires
Exercice 1
Soit m et n deux entiers naturels non nuls et
p [0,1]
∈
. Si X et Y sont 2 variables aléatoires réelles
indépendantes sur un univers Ω telles que X suit une loi binomiale
(n, p)
B
et Y suit une loi binomiale
(m, p)
B
. Montrer que
X Y
+
suit la loi
(n m, p)
+
B
.
Exercice 2
Un chercheur en biologie travaille sur un sujet fascinant : le couinement de la souris lors d’une expérience de
vivisection. Actuellement, il compare les souris grises et les souris blanches. Il a trouvé que l’intensité du
couinement de la souris grise était de 10 dB contre 15 dB pour la souris blanche.
Chaque matin, il reçoit une caisse contenant dix souris (cinq blanches et cinq grises). Pour bien démarrer sa
journée, il choisit trois rongeurs au hasard dans la caisse et les trucide en même temps. Il note alors I l’intensité
produite par le couinement cumulé des trois souris (alias la somme des trois intensités). Cette variable aléatoire
étant particulièrement intéressante pour l’étude du savant, aidez-le en déterminant sa loi de probabilité.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale
(n, p)
B
. Calculer
1
E
1 X
+
.
Exercice 4
Le richissime américain Sam Bigbuck vient de décéder sans héritier dans sa mère patrie mais avait deux neveux
en France. Les deux jeunes gens sont invités à l’ouverture du testament. Seulement Sam était d’humeur badine
quand il a rédigé ce dernier. En ouvrant la grosse enveloppe contenant les dernières volontés de l’américain, le
notaire trouve dix petites enveloppes et la note suivante :
« Que chacun de mes neveux tire quatre enveloppes au hasard parmi les dix. Chacune d’elles
donne droit à une certaine fraction de ma fortune (10 millions de dollars) : deux enveloppes
donnent droit à un quart du magot, quatre enveloppes à un huitième et les quatre restantes à
rien. Le reste ira à l’IDCN (Institut de Défense du Caniche Nain). Bonne chance ! »
Quelle angoisse pour les caniches ! Pouvez-vous donner la loi de probabilité de la somme qui ira à l’IDCN ?
Quelle somme l’institut pourra-t-il espérer toucher ?
Exercice 5
Une urne contient
n 2
−
boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules une à une sans remise.
Soient X et Y les variables aléatoires réelles égales respectivement au rang d’apparition de la première et de la
seconde boule noire.
1) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par les variables X et Y.
2)
X et Y sont-elles indépendantes ?
3) Soit
2
(i, j) 1, n
∈, démontrer que
2(n i)
P(X i)
n(n 1)
−
= =
−
et que
2( j 1)
P(Y j)
n(n 1)
−
= =
−
.
4) Calculer l’espérance et la variance de X et de Y.

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Exercice 6
Un professeur de mathématiques propose le jeu suivant à ses élèves : deux dés classiques (et non pipés, le prof
est honnête !) sont lancés et on note la somme S des points obtenus (par exemple, si le 3 et le 6 sortent, S = 9).
Si cette somme est 6, 7, 8 ou 9, la classe donne 10 € au professeur ; dans tous les autres cas, l’enseignant sort
10 € de son porte-monnaie et les donne aux élèves. On étudie le gain ou la perte du prof après 2 tirages des dés.
1) Quelles sont les valeurs possibles de ce gain (ou perte) ?
2) Quelle est la probabilité que le prof gagne de l’argent ? En perde ?
3) Pensez-vous que le professeur arnaque ses élèves ? Si oui, pour que le jeu soit équitable, quelle somme
la classe devrait-elle donner à l’issue d’un lancer remporté par le vilain professeur ?
Exercice 7
Un automobiliste effectue un parcours sur lequel se trouvent 10 feux tricolores. Ces feux fonctionnent de
manière autonome et le cycle de chacun dure 1 min 25 s pour le vert, 5 s pour l’orange et 30 s pour le rouge.
Quelle est la probabilité que sur son parcours l’automobiliste rencontre exactement k feu(x) vert(s) avec
k 0,10
∈ ? Combien de feux verts l’automobiliste rencontre-t-il en moyenne ?
Exercice 8
Un supermarché, à l’occasion de son 25ème anniversaire, organise un jeu : chaque client reçoit, lors de son
passage en caisse, un bulletin comportant 3 cases rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter. Chaque
client doit gratter seulement 3 cases. S’il découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d’achat de 100 € ; s’il
découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d’achat de 5 € ; il perd dans tous les autres cas.
1) Calculer les probabilités des événements A : « un client gagne un bon d’achat de 100 € après un seul
passage en caisse » et B : « un client gagne un bon d’achat de 5 € après un seul passage en caisse ».
2) En déduire que la probabilité qu’un client ne gagne rien est 3/4.
3) Monsieur X effectue 4 passages en caisse durant la période du jeu. Déterminer la probabilité qu’il gagne au
moins deux bons d’achat. Quelle est son espérance de gain ?
Exercice 9
On dispose d’un objet O que l’on peut placer dans trois boîtes (numérotées 1, 2 et 3 et rangées dans cet ordre de
gauche à droite) et d’un dé standard non pipé. Au début de l’expérience, l’objet est dans la boîte n° 1.
On procède alors à une série de lancés indépendants du dé suivi du déplacement de l’objet comme suit :
• si le 1 sort, on déplace O d’une boîte vers la droite (si O est dans la boîte n° 3, on le met dans la boîte n° 1) ;
• si le 2 sort, on déplace O d’une boîte vers la gauche (si O est dans la boîte n° 1 on le met dans la boîte n° 3) ;
• sinon, on ne déplace pas O.
On note
n
X
la variable aléatoire donnant le numéro de la boîte dans laquelle se trouve O après n lancés du dé.
1) Déterminer la probabilité qu’à l’issue de n lancés du dé, O n’ait jamais quitté la boîte n° 1.
2)
Quelle est la probabilité que O reste indéfiniment dans la boîte n° 1 ?
3) Déterminer la probabilité qu’à l’issue de n lancés du dé (avec
n 1
>
), O revienne pour la première fois
dans la boîte n° 1 (on pourra appeler k le rang du tirage où O change de place pour la première fois).
4) Quels sont les valeurs possibles de
n
X
?

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5) On pose
n
Y
=
n
n
n
P(X 1)
P(X 2)
P(X 3)
=
=
=
. Montrer qu’il existe une matrice carrée M telle
n 1 n
Y MY
+
=.
6) Calculer
2
M
et trouver deux réel a et b tels que
2
3
M aM bI
= +
.
7) Calculer
n
M
pour tout entier n et en déduire la loi de la variable
n
X
.
8) Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 10
Soit X une variable aléatoire réelle sur un univers fini Ω.
*
p∀ ∈
ℕ
, on appelle moment d’ordre p de X la
quantité
p
p
m (X) E(X )
= et moment centré d’ordre p de X la quantité
( )
p
p
(X) E X E(X)
µ = − .
1) Que valent
1
m (X)
,
1
(X)
µ et
2
(X)
µ ?
2) Exprimer
p
m (X)
à l’aide de moments centrés de X.
3) Soit
2
(a, b) ∈
ℝ
. Exprimer
p
(aX b)
µ +
en fonction de
p
(X)
µ.
4) Déterminer les entiers p tels que pour deux var X et Y, on a
p p p
(X Y) (X) (Y)
µ + = µ + µ .
Exercice 11
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur un univers fini Ω. On appelle covariance de X et Y le réel :
(
)
(
)
cov(X, Y) E X E(X) Y E(Y)
= − − .
1) Montrer que
cov(X, Y) E(XY) E(X)E(Y)
= −
. Que vaut
cov(X, Y)
quand X et Y sont indépendantes ?
2) On appelle F l’espace des variables aléatoires réelles sur Ω. Montrer que l’application de
2
F
dans
ℝ
qui à
(X, Y)
associe
cov(X, Y)
est symétrique, bilinéaire et positive. Est-ce un produit scalaire sur F ?
3) Prouver que
2
(a, b)∀ ∈
ℝ
,
2 2
V(aX bY) a V(X) b V(Y) 2ab cov(X, Y)
+ = + + .
Exercice 12
Soit
n
X
une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Montrer que pour tout k
∈
ℕ
,
n
n
lim P(X k) 0
→ + ∞
≤ =
.
Exercice 13
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ et de variance
2
σ
. En introduisant la variable aléatoire
[
]
2
Y (X )
= α − µ + σ
, prouver que pour tout réel
0
α >
, on a
( )
2
1
P X
1
≥ µ + ασ ≤
+ α
.

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