t - DidEL

TD 2 Outils pour Biologistes 2 : Cinématique
30BU03SV – 2016-2017
Exercices encadrés
1
Cinématique et analyse de
mouvement
x [m]
1
2
3
4
t [s]
Le graphe position au cours du temps ci-dessus décrit un mouvement à une dimension. Décrivez le
mouvement dans chacune des 4 zones en cochant
1
les cases de tous les cas qui s’appliquent (a,b et c
représentent des valeurs réelles non nulles).
Zone Mouvement
Accélération
Vitesse
accé-
x(t)
= x(t) = x(t) =
ct2 +bt+a bt + a a
constanteconstante
léré
1
2
3
4
2
Le guépard et l’Antilope
Thème : Cinématique
Antilocapra americana (antilope d’Amérique, « pronghorn ») vit dans l’ouest de
l’Amérique du Nord, dans des
milieux très divers. C’est la
seule espèce d’ongulé nord-américaine endémique.
L’Antilope d’Amérique est l’un des animaux les plus
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rapides de la planète pouvant courir à 80 km/h pendant de longues périodes. Le pronghorn a survécu
à tous ses prédateurs en courant plus vite ! Maintenant l’espèce survit encore, mais n’a guère plus de
poursuivants. . .
Imaginons la présence d’un guépard prédateur, comme
il y a des dizaines de milliers d’années quand la vitesse du pronghorn a évolué.
Un guépard est aussi un des animaux les plus rapides, mais seulement pendant de courtes périodes
de sprint caractérisées par les valeurs suivantes :
— vitesse maxi 120 km/h ;
— accélération de 0 à 120 km/h en 3 secondes ;
— maintien de la vitesse max (sprint) pendant
environ 30 secondes.
— après le sprint à grande vitesse, ralentissement rapide à la vitesse stable de 70 km/h.
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A) Pendant que le guépard accélère, quelle est son
accélération moyenne ? Quelle est sa vitesse moyenne
durant cette accélération ?
B) Supposons qu’un troupeau d’antilopes pronghorns en train de courir, aperçoit devant lui un
guépard. Dès que les antilopes voient le guépard,
celles-ci tournent et s’enfuient en sens opposé de l’attaquant (pour simplification, on suppose dans cet
exercice qu’elles se retournent instantanément). À
quelle distance doivent se trouver les pronghorns du
guépard quand celui-ci les surprend, pour qu’elles
ne soient pas rattrapées et parviennent à s’enfuir ?
Expliquez votre raisonnement.
Exercices en autonomie
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La chute du Faucon
Thème : cinématique, chute libre
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Faucons (Falco) ainsi que « Fous de Bassan »(Morus bassanus) sont des rapaces qui se laissent planer
dans le ciel jusqu’au moment de repérer une proie.
A cet instant ils replient leurs ailes et se laissent pratiquement tomber en chute libre, comme une pierre,
pour fondre sur leur cible. La forme très aérodynamique vers laquelle ils ont évolué leur permet d’atteindre une grande vitesse simplement sous l’action
de la gravité, sans devoir activement voler à vitesse
élevée (cf. la figure d’un faucon en plongée ci-dessous).
Dans ce problème, on prendra l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s−2 et on néglige tout frottement.
A.
On s’intéresse ici uniquement
à la cinématique en supposant donc
connues les équations d’un mouvement uniformément accéléré (on
ne demande pas d’obtenir les équations à partir des forces). On notera z(t) l’altitude
du faucon dans un référentiel vertical orienté vers le
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haut avec z = 0 au niveau du sol.
1. Rappelez la forme de l’équation de la vitesse
en fonction du temps v(t) d’un mouvement
uniformément accéléré partant d’une vitesse
initiale v(0).
2. Rappelez la forme de l’équation de la position
en fonction du temps z(t) d’un mouvement
uniformément accéléré partant d’une vitesse
initiale v(0) et d’une position z(0).
B.
Un faucon plane lentement à une hauteur d’en-
viron 150 mètres et voit une souris au sol. Il replie
ses ailes, commence sa plongée et accélère avec la
gravité. On va calculer dans la suite sa vitesse au
moment d’arriver au niveau du sol.
On s’intéresse uniquement au mouvement vertical et
on suppose qu’à l’instant initial de chute la vitesse
initiale verticale du faucon est nulle.
1. Écrivez les conditions initiales z(0) et v(0)
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d’après l’énoncé ci-dessus.
2. L’accélération étant la pesanteur g constante,
écrivez l’équation de variation de la vitesse
pour v(t).
3. Écrivez l’équation de la variation de l’altitude
z(t) du faucon (sans oublier sa position initiale z(0)).
4. A partir de cette équation, à quel instant ts
le faucon atteint-il le sol (z = 0 ) ?
5. Déduisez la vitesse v(ts) du faucon tout juste
avant d’arriver au sol.
C.
Dès que la souris aperçoit que le faucon replie
ses ailes (instant de démarrage de la chute libre) elle
s’enfuit vers un refuge. À partir d’un des résultats
précédents, déduisez sans autre calcul, le temps que
dispose la souris qui se trouve au sol pour s’échapper
et s’abriter.
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D.
Supposons que la souris coure à une vitesse de
2 m.s−1 et que son comportement de déplacement
au sol ait évolué pour toujours rester à une distance
d’un abris, donc rester en dessous d’une distance
maximale de sécurité. On se propose d’évaluer cette
distance.
On suppose d’abord que la souris accélère instantanément à sa vitesse de course dès qu’elle voit le
faucon, c’est-à-dire à t = 0 elle a tout de suite sa
vitesse de course maximale. Quelle est la distance
maximale qu’elle peut parcourir durant durant le
temps de chute de celui-ci ? Qu’elle est donc la distance de sécurité maximale ?
E.
On considère maintenant une accélération. La
souris est initialement au repos quand elle aperçoit
le faucon entamer sa chute. La souris accélère alors
rapidement en passant de 0 m.s−1 à 2 m.s−1 en 0,1
s.
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1. Quelle est la valeur de son accélération ?
2. Quelle distance aura t-elle parcouru en accélérant (donc durant 0,1 s) ?
3. Tenant compte du temps, calculé plus haut,
avant que n’arrive le faucon, combien de temps
reste t-il à la souris après avoir accéléré pour
atteindre à temps le refuge ( durée de la fuite
à la vitesse constante 2 m.s−1) ?
4. Quelle distance peut parcourir la souris durant cette phase de course à vitesse constante ?
5. Quelle est donc la distance totale qu’elle peut
parcourir en incluant la phase d’accélération
et la phase à vitesse constante ?
6. Concluez qu’elle est alors la distance maximale de sécurité si on tient compte de l’accélération de la souris ? Comment se compare cette valeur avec celle calculée en D. ?
L’approximation en D. était-elle appropriée
et pourquoi ?
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Exercices
d’approfondissement
4
Cinématique intégration du
mouvement.
Le graphe ci-dessous indique une courbe de variation
de la vitesse avec le temps.
Représentez qualitativement sur le système d’axes À
droite, l’allure du mouvement sachant que la condition initiale à t = 0 s est x(0) = 1 m.
v [m/s]
1
0
-1
x [m]
1
t [s]
0
10
1
t [s]
5
Mouvement d’une vésicule
Dans une étude des forces impliquées lorsque des
protéines motrices déplacent des structures subcellulaires dans les cellules, Shtridleman et al. 1 ont étudié le mouvement d’objets microscopiques tel que
des vésicules à l’intérieur de cellules vivantes. En
utilisant des captures vidéo par microscope (voir
les images données pour illustration à gauche cidessous), ces auteurs ont extrait la position d’une
vésicule au cours du temps. Le graphique de droite,
montre la position au cours du temps d’une des vésicules qui s’est déplacée le long d’une ligne droite
choisie pour être l’axe y .
1. Force-Velocity Curves of Motor Proteins Cooperating In Vivo,
Y. Shtridelman, et al., Cell Biochem Biophys. 2008, 52(1) : 19–29
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Six positions sont identifiées sur la courbe et marqués par les lettres A à F (correspondant à des instant t(A) à t(F)). Indiquez pour chacun des cas cidessous l’instant qui correspond le mieux aux caractéristiques décrites.
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1. L’instant où la vésicule se déplace avec la vitesse la plus élevée.
2. L’instant où la vésicule se déplace avec la vitesse la plus faible.
3. L’instant où la vésicule est soumise à l’accélération la plus grande.
4. L’instant où l’accélération est la plus importante (en valeur absolue).
Parmi les réponses possibles a) 2,0 µm.s−1 ; b) 0,1
µm.s−1 ; c) 1,0 µm.s−1, indiquez celles qui correspondent le mieux aux questions 5 et 6.
Questions :
5. La vitesse instantanée à l’instant t(D).
6. La vitesse moyenne entre t = 0 s et t(D).
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