Notes de cours MAT145 1re partie

École de technologie supérieure
Service des enseignements généraux
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MAT145
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
NOTES DE COURS
1RE PARTIE
PAR GENEVIÈVE SAVARD,
ROBERT MICHAUD ET
ANDRÉ BORDELEAU
RÉDIGÉ EN AOÛT 2006
RÉVISÉ EN AOÛT 2014
Si vous désirez une version papier de ce texte, nous vous
conseillons de vous la procurer à la Coop ÉTS plutôt que
d’imprimer la version PDF : la résolution sera meilleure en
général, particulièrement celle des graphiques, des boîtes
grisées et de certains symboles mathématiques.
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Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification
4.0 International.

Table des matières
Avant-propos v
1 Les fonctions 1
1.1 Graphes, limites et asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Calcul algébrique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Diverses applications des notions de fonction et de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 La dérivée 35
2.1 Présentation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Pente d’une droite sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Pente d’une droite tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 Qu’est-ce qu’une règle de dérivation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.5 Équations des droites tangentes et normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 La dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 La dérivée comme taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Règles et formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1 Exemples de dérivation de sommes, différences, produits et quotients . . . . . . 68
2.4.2 Règle de la dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Diverses applications de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.1 Applications de la dérivation en chaîne (taux liés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7 Dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
3 Utilisation de la dérivée 105
3.1 Étude de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3 Règle de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Annexe 137
A.1 Définition de la position, de la vitesse et de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2 Définition de la position, de la vitesse et de l’accélération angulaires . . . . . . . . . . . . 139
A.3 Règles et formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Réponses 143
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Bibliographie 171
Index 173

Avant-propos
Le texte que vous avez entre les mains est le fruit d’une réflexion amorcée il y a quelques années
au sein du groupe de mathématiques de l’ÉTS. Deux défis nous interpellaient à ce moment:
1. Comment rendre les mathématiques intéressantes et vivantes à un groupe d’étudiants en
génie ? Notre clientèle provient principalement du secteur technique au collégial et elle a, en
conséquence, « soif » de concret et d’applications.
2. Étant donnés l’avènement et l’accessibilité grandissante de divers outils de calcul, quelle
attitude adopter à l’égard de ceux-ci ?
La première question en est une d’actualité dans chaque faculté ou école de génie au Québec. À
l’ÉTS, certaines lignes directrices se sont dégagées à l’issue des nombreuses discussions et échanges
sur les pratiques pédagogiques de chacun. Ces lignes directrices colorent en quelque sorte le texte
qui suit ; nous y reviendrons.. .
La deuxième question s’est conclue par l’adoption d’une résolution de la part du groupe allant
dans le sens d’une « permissivité contrôlée ». Permissivité en ce sens que plutôt que de chercher à
mener un combat qui s’avérerait toujours d’arrière-garde (et en définitive, perdu) contre les « nou-
velles technologies », il a été décidé d’en faire un usage étendu. Contrôlée, en ce sens que le choix
de l’outil a été arrêté et le calculateur symbolique produit par Texas Instrument (TI-92+ à l’époque,
Voyage 200 ensuite et Nspire maintenant) a été retenu pour usage. Dire que cette décision a eu un
impact senti sur l’enseignement (et l’apprentissage) des maths à l’ÉTS serait un euphémisme...
D’emblée, une constatation s’est imposée : il n’existait pas de manuel qui correspondait à ce
que le groupe recherchait. Il fallait donc plonger dans l’aventure de la rédaction. Celle-ci débuta au
printemps 2006 et résulta en la production d’un recueil d’exercices couvrant l’ensemble de la matière
enseignée. L’étape suivante, la rédaction à proprement parler de notes de cours, débuta au printemps
2007 et se poursuivit peu à peu au fil des sessions.
Les « lignes directrices » auxquelles nous référions plus haut ont déterminé l’allure globale du
texte produit. Elles se manifestent dans la présentation des concepts et dans le choix des exemples et
exercices, entre autres. Quelles sont-elles ?
1. Mettre l’accent sur l’interprétation et le traitement graphiques.
2. Avoir recours aux applications comme support au développement des habiletés et comme
contexte d’utilisation des notions enseignées. À ce titre, nous jugeons pertinent de signaler
l’espace important consenti aux applications relevant spécifiquement du génie et des sciences
en général.
v