devoir 2

4 Anneaux et Corps
4.6 Problème 3 : somme de deux carrés
On s’intéresse au problème suivant : trouver les nombres entiers naturels qui s’écrivent comme
somme de deux carrés d’entiers, comme 5 = 12+ 22.
1. Préliminaires.
a) Montrer qu’un nombre de la forme 4k+ 3, où k∈Zn’est jamais somme de deux
carrés. On pourra étudier les carrés modulo 4.
b) Soit pun nombre premier différent de 2. Vérifier qu’il est de la forme 4k+ 1 ou de la
forme 4k+ 3.
c) En appliquant le théorème de Gauss, montrer que
p|p!
(p−k)!k!
pour tout k∈ {1,2, . . . , p −1}. En déduire que, dans Z/pZon a
(x+y)p=xp+yp
d) Prouver que pour tout xnon nul de Z/pZon a :
xp−1= 1
On prouvera d’abord, par récurrence, que pour tout xon a xp=x.
e) Montrer l’existence dans Z/pZde x0tel que
x
p−1
2
0=−1
On pourra factoriser Xp−1−1et utiliser que Z/pZest un corps.
f) En déduire que −1est un carré dans Z/pZsi et seulement si pest de la forme p= 4k+1.
2. L’anneau des entiers de Gauss.
On définit l’ensemble des entiers de Gauss Z[i]par
Z[i] = {z∈C| ∃(a, b)∈Z, z =a+ib}
et l’application Nde Z[i]dans Ndéfinie par
N(a+bi) = a2+b2
a) Montrer que l’ensemble des entiers de Gauss est un sous-anneau de C.
b) Montrer que N(zz′) = N(z)N(z′), pour tout (z, z′)entiers de Gauss. En déduire que
les inversibles (unités) de Z[i]sont les éléments tels que N(z) = 1. Montrer qu’il y en
a quatre que l’on précisera.
c) Montrer que, si xet ysont des entiers de Gauss (ynon nul), il existe un couple
d’entiers de Gauss (q, r)tels que
x=qy +r, et |r|<|y|
On pourra utiliser le plan complexe et raisonner géométriquement en considérant le
point d’affixe x
y.
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4 Corps
d) En déduire que l’anneau de Gauss est euclidien donc principal.
3. Les entiers somme de deux carrés.
On suppose dans cette partie que pest de la forme 4k+ 1.
a) Rappeler ce qu’est un élément irréductible zdans un anneau principal et justifier que
si zirréductible divise un produit ab, alors il divise aou il divise b.
b) Montrer qu’il existe deux entiers ket x0tels que
kp =x2
0+ 1
c) On suppose que pdivise x0+idans Z[i]. Montrer que alors pdivise x0−i, puis que
p= 2.
d) En déduire que pn’est pas irréductible dans Z[i], puis que ppeut s’écrire sous la forme
p=a2+b2où aet bsont des entiers.
e) Vérifiez que les nombres premiers de la forme 4k+1 et inférieurs à 30 sont bien somme
de deux carrés.
4. Complément : les irréductibles de l’anneau des entiers de Gauss.
a) Prouver que tout nombre premier de la forme 4k+ 3 est irréductible dans l’anneau
des entiers de Gauss.
b) Prouver que si z=a+ib est tel que a2+b2est un nombre premier, alors zest
irréductible dans l’anneau des entiers de Gauss.
c) Réciproquement, si zest un irréductible de l’anneau des entiers de Gauss, alors il
est de l’une des deux formes précédentes (à une unité près). On considèrera zzet sa
décomposition en facteurs premiers dans N.
Remarque. le problème n’est pas tout à fait terminé ; il reste pour conclure à montrer qu’un
nombre entier est somme de deux carrés si et seulement si il se décompose en facteurs premiers
sous la forme :
n= 2kpa1
1pa2
2. . . paℓ
ℓ
où les aisont pairs lorsque piest premier de la forme 4k+ 3.
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