202 Nom, prénom : Géométrie dans un repère

202
Nom, prénom :
Le sujet est à rendre avec la copie
Géométrie dans un repère
Exercice 1 : (14 points)
On considère le repère orthonormé ci-dessous.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Quelles sont les coordonnées du point A ?
Placer les points B(3; −5) et C(1; 3).
Calculer les longueurs AB, AC et BC.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
Déterminer les coordonnées de E, milieu de [BC]. Le placer sur la figure.
Déterminer les coordonnées de D, symétrique de A par rapport à E. Le placer sur la figure.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
Quelles sont les coordonnées de A dans le repère (E,B,D) ?
Exercice 2 : (2 points)
Dans un repère (O,I,J), on a les points G(–800;4) et H(200;–26).
Quelles sont les coordonnées du point K symétrique de G par rapport à H ?
Exercice 3 : (4 points)
Problème ouvert, toute trace de recherche, même inachevée sera prise en compte
Dans la pièce ci-dessus, un lampadaire est placé en L et un fauteuil en F.
Le lampadaire donne un éclairage satisfaisant pour la lecture dans un rayon de 3,50 mètres.
L’éclairage est-il satisfaisant si on lit un livre dans un fauteuil placé en F ?
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Lycée français Jean Mermoz 2016/2017
M.Darnaudet
Géométrie dans un repère (correction)
Exercice 1 :
1. A(−𝟑; 𝟐)
2. Voir figure
2
3. AB = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(3 − (−3)) + (−5 − 2)² =
√36 + 49 = √𝟖𝟓
2
AC = √(1 − (−3)) + (3 − 2)² = √𝟏𝟕 et BC = √(1 − 3)2 + (3 − (−5))² = √𝟔𝟖
4. Dans le triangle ABC, [AB] est le plus long côté
On a AB² = 85 et AC²+BC² = 17+68 = 85
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en C.
𝑥𝐵 +𝑥𝐶
D étant le symétrique de A par rapport à E,
E est le milieu de [AD] et la formule de calcul des coordonnées du milieu donne :
2
=
−5+3
6.
2
= 2 et 𝑦𝐸 =
𝑦𝐵 +𝑦𝐶
𝑥𝐸 =
2
=
3+1
5.
2
= −1, d’où E(2 ; −1), placé sur la figure.
𝑥𝐸 =
𝑥𝐴 +𝑥𝐷
2
−3+𝑥𝐷
2
et 𝑦𝐸 =
= 2 et
−3 + 𝑥𝐷 = 2 × 2 = 4
2+𝑦𝐷
2
𝑦𝐴 +𝑦𝐷
2
= −1
et 2 + 𝑦𝐷 = −1 × 2 = −2
𝑥𝐷 = 4 + 3 = 7 et 𝑦𝐷 = −2 − 2 = −4
d’où D(7 ; −4), placé sur la figure.
7.
On vient de voir aux questions 5 et 6 que les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont le même milieu E.
Donc ABDC est un parallélogramme.
8.
A a pour coordonnées (0 ; −𝟏) dans le repère (E,B,D)
Exercice 2 :
K étant le symétrique de G par rapport à H,
H est le milieu de [KG] et la formule de calcul des coordonnées du milieu donne :
𝑥𝐻 =
𝑥𝐾 −800
2
𝑥𝐾 +𝑥𝐺
2
et 𝑦𝐻 =
= 200 et
𝑥𝐾 − 800 = 200 × 2 = 400
𝑦𝐾 +4
2
𝑦𝐾 +𝑦𝐺
2
= −26
et 𝑦𝐾 + 4 = −26 × 2 = −52
𝑥𝐾 = 400 + 800 = 1200 et 𝑦𝐾 = −52 − 4 = −56
d’où K(1200 ; −56)
Exercice 3 :
On place les points I et J à 1 mètre de O comme indiqué ci-contre et on considère
le repère orthonormé (O,I,J).
Coordonnées : F(7 ;1) et L(10−1 ;6−2) = (9 ;4)
Distance Fauteuil – Lampadaire :
FL = √(9 − 7)2 + (4 − 1)² = √13 ≈ 3,6 𝑚
FL > 3,5 m donc l’éclairage n’est pas satisfaisant.
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