Equations quotients - exercices corrigés

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
EQUATIONS QUOTIENT – EXERCICES CORRIGES
Résoudre dans les équations suivantes : \
23
3
1
x
x
+=
− 52
23
x
x
−=
− 48
7733xx
=
−−
2154
0
35
xx
xx
−−
−
=
+ 2332
0
44
xx
xx
++
−=
−+
CORRECTION
Si l’inconnue figure au dénominateur, il faut d’abord déterminer les valeurs que l’inconnue peut prendre, et
éventuellement ne peut pas prendre (en particulier un dénominateur NE PEUT JAMAIS ETRE NUL). Ces valeurs
seront appelées VALEURS INTERDITES
Puis interviennent les deux règles :
Produits en croix
Si ac
bd
=alors (produit en croix) ad bc×=×
Nullité d’une fraction :
« Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est
nul »
23
3
1
x
x
+=
− La division par 1
x
− impose 10 1
x
x
−
≠⇔≠
Alors, pour tout 1
x
≠,
() (
{}
23 233
3
11
2313 1
23 33
66
6 1 donc 6
xx
xx
xx
xx
xx
S
++
=⇔ =
−−
⇔+×=×−
⇔−=−−
⇔− =− ⇔ =
≠=
)
1
En présence d’un quotient, il est impératif
d’examiner la(les) valeur(s) qui annule(nt) le
dénominateur, valeurs qui seront
INTERDITES
Ces valeurs ne pourront pas être prises par la
variable, donc ne peuvent être en aucune
mesure solution de l’équation.
On dit que
{
}
][]
[
\1 ;1 1;=−∞ ∪ +∞\ est
l’ensemble de définition, ou l’ensemble de
validité de l’équation
52
23
x
x
−=
− La division par x-2 impose 2x
≠
Alors, pour tout , 2
x≠
{}
52 3( 5) 2( 2)
23
32 415 11
11 2 donc 11
xxx
x
xx x
S
−=⇔ −= −
−
⇔−=−+⇔=
≠=
48
7733xx
=
−−
Les divisions par 7 et 7x−3 3
x
−
imposent
1
x
≠. Alors, pour tout 1
x
≠,
48
7733
4(3 3) 8(7 7) 12 56 56 12
44 44 1 impossible
xx
xx xx
xx
S
=
−−
⇔−=−⇔−=−+
⇔− =− ⇔ =
=∅
D’où l’utilité de déterminer les valeurs
interdites, qui permettent d’«éliminer»
d’éventuelles solutions.
2154
0
35
xx
xx
−−
−=
+ L’équation est définie si et seulement si 3x
≠
−
et . Pour tout 0x≠
{
}
\3;0x∈−\,
() ()( )
() ()()
2154
0
35
215 3540
3
215 3540
xx
xx
xxxx
x
xxxx
−−
−=
+
−× − + −
⇔=
+
⇔−×−+ −=
(une fraction est nulle si et seulement si son
numérateur est nul)
(
)
22
2
10 5 5 4 15 12 0
516120
xxxxx
x
x
⇔−−−+−=
⇔−+=
et on retrouve une équations du second degré
« classique »
On pouvait aussi mettre en œuvre la
technique des produits en croix :
Pour tout
{
}
\3;0x∈−\,
() ()( )
2154 2154
0
35 35
215 354
33
xx xx
x
xx
xxxx
xx
x
−
−−
−=⇔=
++
−× + −
⇔=
++
−
(deux fractions égales ayant même
dénominateur ont des numérateurs égaux)
(
)()()
() ()()
()
22
2
215 354
215 3540
10 5 5 4 15 12 0
516120
xxxx
xxxx
xxxxx
xx
⇔−×=+ −
⇔−×−+ −=
⇔
−− −+ − =
⇔−+=
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2332
0
44
xx
xx
++
−
−+
= L’équation est définie si et seulement si 4x
≠
− et 4x
≠
. Pour tout ,
(
)
(
)
(
)
(
)
()() ()()
22
23 4 32 4 2831231228
00
44 44
xx xx xxx x xx
xx xx
++−+− +++− + −+
=
⇔=
+− +−
()()
221 20 0
44
xx
xx
−+ +
⇔=
+−
221 20 0xx⇔− + + = (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul)
Pour cette dernière équation, on calcule , donc
l’équation admet deux solutions réelles distinctes
() ()
2
21 4 1 20 441 80 521∆= − × − × = + =
1
21 521 21 521
22
x−− + ==
− et
2
21 521 21 521
22
x−+ − ==
−. Ainsi 21 521 21 521
;
22
S
+−
=
{
}
\4;4x∈−\