Rappels d`algèbre linéaire

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Rappels d’algèbre linéaire
L3, Algèbre
Semestre 6
Somme d’espaces vectoriels
Exercice 1 Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Discuter les assertions
suivantes :
1) F ∩ G ⊂ F + G
2) F ∪ G ⊂ F + G
3) F + F = F
4) F + G = F ⇐⇒ G ⊂ F
5) F + G = F + H =⇒ G = H
Exercice 2
1) Deux droites vectorielles de R3 sont-elles supplémentaires ?
2) Deux plans vectoriels de R3 sont-ils supplémentaires ?
3) A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 sont-ils supplémentaires ?
Exercice 3 Soient n ∈ N et E = Rn [X]. Pour tout i ∈ J0, nK, on pose :
Fi = {P ∈ E | ∀j ∈ J0, nK\{i}, P (j) = 0}.
Montrer que les Fi sont des sous-espaces vectoriels de E et que
E=
n
M
Fi .
i=0
Espace vectoriel engendré
Exercice 4 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, u, v, w trois vecteurs de E et λ, λ0 µ, µ0 ∈ K.
Critiquer les implications suivantes
1) λu + µv = λ0 u + µv =⇒ λ = λ0 et µ = µ0 .
2) (u, v) liée =⇒ v ∈ Vect(u).
3) (u, v, w) liée =⇒ w ∈ Vect(u, v).
Exercice 5 Soit E un espace vectoriel.
1) Soit (u1 , . . . , un ) une famille libre de E et v ∈
/ Vect(u1 , . . . , un ). Montrer que (u1 , . . . , un , v) est libre.
2) Soit v1 , v2 ∈ E. Montrer que Vect(v1 , v2 ) = Vect(v1 , v1 + v2 ).
Exercice 6 Soit m ∈ R. Déterminer le rang de la famille de vecteurs suivante en fonction de m

 
 

1
1
m
 1 , m , 1 .
m
1
1
Exercice 7 Montrer que l’ensemble des suites arithmétiques à valeur dans R est un sous-espace vectoriel
de l’espace vectoriel des suites réelles puis déterminer une base de ce sous-espace.
Application linéaire, noyau et image
Exercice 8 Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires définies par :
1) f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z).
2) f (x, y, z) = (x + y + z, 2x − y − z, x + 2y + 2z).
1
Exercice 9 Soit f l’endomorphisme de R3 défini par
f (x, y, z) = (x, 0, y).
On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 .
1) Déterminer des bases de ker(f ) et Im(f ).
2) Soit E = {(x, y, 0) ∈ R3 , x, y ∈ R}. Déterminer des bases de f (E) et f −1 (E).
Exercice 10 Soit E et F deux K-espace vectoriels de dimension finie et soit u ∈ L (E, F ). Montrer que
1) ker(u) et Im(u) sont des sous-espaces vectoriels de E et F respectivement.
2) Montrer que u est injectif si et seulement si ker(u) = {0E }.
Exercice 11 Soient u et v deux endomorphismes d’un K espace vectoriel E.
1) Comparer ker(u) ∩ ker(v) et ker(u + v)
2) Comparer Im(u) + Im(v) et Im(u + v)
3) Comparer ker(u) et ker(u2 )
4) Comparer Im(u) et Im(u2 )
Exercice 12 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E). Montrer les résultats suivants :
1) ker(f 2 ) = ker(f ) si et seulement si Im(f ) ∩ ker(f ) = {0}
2) Im(f 2 ) = Im(f ) si et seulement si E = ker(f ) + Im(f )
Exercice 13 Soit p un projecteur de E, c’est-à-dire un élément de L (E) tel que p2 = p. Montrer que
E = ker(p) ⊕ Im(p)
Exercice 14 Soit f et g deux endomorphismes de E qui commutent.
1) Montrer que Im(u) et ker(u) sont stables par v.
2) On suppose que E = ker u ⊕ ker v. Montrer que Im u ⊂ ker v et Im v ⊂ ker u.
3) Montrer que les inclusions précédentes sont des égalités si E est de dimension finie.
Exercice 15 Soit f un endomorphisme de E qui commute avec tous les endomorphismes de E, i.e.
∀g ∈ L (E), f ◦ g = g ◦ f.
1) Soit u un vecteur non nul de E et soit Hu un supplémentaire de Vect(u). En considérant pu , la
projection sur Vect(u) parallèlement à Hu , montrer qu’il existe λu ∈ K tel que f (u) = λu u.
2) Soit v un vecteur non colinéaire à u. Montrer qu’il existe λv ∈ K tel que f (v) = λv v. Montrer que
λu = λv . [Aide : On pourra considérer le vecteur u + v. ]
3) Soit v 6= 0 colinéaire à u. Montrer qu’il existe λv ∈ K tel que f (v) = λv v et que λv = λu .
4) Conclure.
Matrice et application linéaire
Exercice 16 Soient A et B deux matrices de Mn,k (R). On suppose que pour tout x ∈ Rk on a Ax = Bx.
Montrer que A = B.
Exercice 17 Écrire la matrice dans la base canonique des applications suivantes
1) f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z)
2) f (x, y, z) = (x + 2y − z, x + 2y − z, 2x + 4y − 2z)
Exercice 18 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la
B0 = (e1 , e2 , e3 ) est

2
A = −2
−1
2
matrice représentative dans la base canonique

1 0
1 2 .
1 3
1) On pose
u1 = e2 − e2 + e3
u2 = e1 + e3
u3 = e2 + e3
Montrer que B1 = (u1 , u2 , u3 ) forme une base de R3 .
2) Déterminer, par deux méthodes différentes, la matrice de f dans la base B1
Exercice

5 7
2 −2
2 −5
3
19
 Soit u : R 7−→

3
2. On pose f1 = 
4
R3l’application
linéaire
dont


 lamatrice dans la base canonique B0 est
1
1
2
1  , f2 =  0  , f3 =  1  .
1
−1
1
1) Vérifier que B1 = (f1 , f2 , f3 ) forme une base de R3 .
2) Calculer P =
B0 PB1
ainsi que son inverse.
3) En utilisant la formule de changement de base, déterminer la matrice de u dans B1 .
4) Calculer directement u(fi ) et vérifier le résultat obtenu dans la question précédente.
Exercice 20 Soient E = R2 [X] et Q = a + bX + cX 2 ∈ E. On définit l’application f par f (P ) = (QP )00 .
1) Montrer que f est un endomorphisme de E.
2) Donner la matrice de f dans la base canonique de E.
3) Déterminer une condition sur Q pour que f soit bijective.
Exercice 21 Soit f une application définit par f (P ) = P (X +2)+P (X)−2P (X +1) pour tout P ∈ R3 [x].
1) Montrer que f est un endomorphisme de R3 [X].
2) Déterminer la matrice de f dans la base canonique. En déduire ker f et Im f .
Exercice 22 Soit n ≥ 2, on considère l’application φ définie sur R[X] par :
φ(P )(X) = (X + 2)P (X) − XP (X + 1).
1) Montrer que φ est un endomorphisme de Rn [X].
2) Calculer Ker(φ).
Un peu de tout !
Exercice 23 Dans les questions qui suivent E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K
(R ou C). On fournira un contre exemple quand la proposition est fausse et la démonstration quand elle
est vraie.
1) Si u + v appartient à un sous-espace F de E, alors u, v ∈ F .
2) On pose v1 = (1, 2, −2), v2 = (2, 3, 0), v3 = (4, 0, 0) et v4 = (0, 0, 0). Alors
∗ (v1 , v2 , v2 ) est libre.
∗ (v1 , v2 , v4 ) est libre.
∗ (v1 , v2 , v3 ) est libre.
3) Si e1 , ..., en sont des vecteurs de E deux à deux non colinéaires, alors la famille (e1 , ..., en ) est libre.
4) Soient F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E. Si F + H = G + H alors F = G.
5) Soient F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E. Si F ⊕ H = G ⊕ H alors F et G sont isomorphes.
6) Si F et G sont deux sous-espaces de E alors F ∪ G est un sous-espace de E.
T
7) Si (Ei )i∈I une famille de sous-espace vectoriel de E alors i∈I Ei est un sous-espace vectoriel de E.
8) Si u ∈ L (E) est tel que E = Keru ⊕ Imu alors u est un projecteur
9) Soient u et v deux endomorphismes de E. Alors Im(u + v) = Im u + Im v.
10) Si u ∈ L (E) et si G et H sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors on a u(G+H) = u(G)+u(H).
11) Soient u et v deux endomorphismes de E. Alors u ◦ v = 0 si et seulement si Im v ⊂ ker v.
12) Soit u une application linéaire de E dans F , avec dim E > dim F . Alors u ne peut pas être injective.
13) Soit u une application linéaire de E dans F , avec dim E > dim F . Alors u est surjective.
3
14) Si u et v sont deux endomorphismes de E, alors le rang de u ◦ v est inférieur au rang de u et au rang
de v.
15) Soit F un sous-espace vectoriel de E, et u ∈ L (F, E). L’application v définie par v(x) = u(x) si
x ∈ F et v(x) = 0 si x ∈
/ F est un endomorphisme de E.
16) Soit F un sous-espace vectoriel de E, et u ∈ L (F, E). Il existe un endomorphisme v de E dont la
restriction à F est égale à u.
17) L’ensemble des matrices non inversibles de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K).
A C
18) Soient A, B et C ∈ Mn (K). La matrice M =
de M2n (K) est inversible si et seulement si
0 B
A et B sont inversibles.
19) Si A et B sont deux matrices de Mn (C), rg(AB) = rg(BA).
20) L’application déterminant est une surjection de Mn (K) sur K.
21) Soient A, B dans Mn (C) vérifiant AB = BA = (detA)In alors B est la transposée de la comatrice
de A.
Savoir-faire indispensable en algèbre linéaire.
Cette liste n’est pas exhaustive ! Mais si vous ne maitrisez pas ces notions, vous aurez des problèmes pour
suivre ce module.
1) Connaître son cours
2) Connaître son cours
3) Connaître son cours
4) Résoudre un système linéaire.
5) Montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel d’un autre.
6) Manipuler les sommes d’espaces vectoriels.
7) Prouver que deux espaces vectoriels sont en somme directe.
8) Déterminer le rang d’une famille de vecteur.
9) Déterminer une base d’un espace vectoriel.
10) Manipuler la notion de Vect.
11) Montrer qu’une application est linéaire.
12) Connaître la définition de noyau et d’image.
13) Savoir manipuler les notions de noyau et d’image.
14) Déterminer le noyau et d’image d’une application linéaire.
15) Connaître et comprendre la notion d’espace stable par une application linéaire.
16) Montrer qu’un s.e.v est stable sous l’action d’une application linéaire.
17) Déterminer la matrice d’une application linéaire dans une base donnée.
18) Savoir retrouver les formules de changement de base.
19) Effectuer un changement de base.
4