Rappels d`algèbre linéaire

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Rappels d’algèbre linéaire
L3, Algèbre Semestre 6
Somme d’espaces vectoriels
Exercice 1 Soient F, G et Htrois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Discuter les assertions
suivantes :
1) F∩G⊂F+G
2) F∪G⊂F+G
3) F+F=F
4) F+G=F⇐⇒ G⊂F
5) F+G=F+H=⇒G=H
Exercice 2
1) Deux droites vectorielles de R3sont-elles supplémentaires ?
2) Deux plans vectoriels de R3sont-ils supplémentaires ?
3) A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3sont-ils supplémentaires ?
Exercice 3 Soient n∈Net E=Rn[X]. Pour tout i∈J0, nK, on pose :
Fi={P∈E| ∀j∈J0, nK\{i}, P (j)=0}.
Montrer que les Fisont des sous-espaces vectoriels de Eet que
E=
n
M
i=0
Fi.
Espace vectoriel engendré
Exercice 4 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, u, v, w trois vecteurs de Eet λ, λ0µ, µ0∈K.
Critiquer les implications suivantes
1) λu +µv =λ0u+µv =⇒λ=λ0et µ=µ0.
2) (u, v)liée =⇒v∈Vect(u).
3) (u, v, w)liée =⇒w∈Vect(u, v).
Exercice 5 Soit Eun espace vectoriel.
1) Soit (u1, . . . , un)une famille libre de Eet v /∈Vect(u1, . . . , un). Montrer que (u1, . . . , un, v)est libre.
2) Soit v1, v2∈E. Montrer que Vect(v1, v2) = Vect(v1, v1+v2).
Exercice 6 Soit m∈R. Déterminer le rang de la famille de vecteurs suivante en fonction de m
1
1
m
,
1
m
1
,
m
1
1
.
Exercice 7 Montrer que l’ensemble des suites arithmétiques à valeur dans Rest un sous-espace vectoriel
de l’espace vectoriel des suites réelles puis déterminer une base de ce sous-espace.
Application linéaire, noyau et image
Exercice 8 Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires définies par :
1) f(x, y, z) = (2x+y+z, x + 2y+z, x +y+ 2z).
2) f(x, y, z)=(x+y+z, 2x−y−z, x + 2y+ 2z).
1

Exercice 9 Soit fl’endomorphisme de R3défini par
f(x, y, z)=(x, 0, y).
On note (e1, e2, e3)la base canonique de R3.
1) Déterminer des bases de ker(f)et Im(f).
2) Soit E={(x, y, 0) ∈R3, x, y ∈R}. Déterminer des bases de f(E)et f−1(E).
Exercice 10 Soit Eet Fdeux K-espace vectoriels de dimension finie et soit u∈L(E, F ). Montrer que
1) ker(u)et Im(u)sont des sous-espaces vectoriels de Eet Frespectivement.
2) Montrer que uest injectif si et seulement si ker(u) = {0E}.
Exercice 11 Soient uet vdeux endomorphismes d’un Kespace vectoriel E.
1) Comparer ker(u)∩ker(v)et ker(u+v)
2) Comparer Im(u) + Im(v)et Im(u+v)
3) Comparer ker(u)et ker(u2)
4) Comparer Im(u)et Im(u2)
Exercice 12 Soit Eun K-espace vectoriel et f∈L(E). Montrer les résultats suivants :
1) ker(f2) = ker(f)si et seulement si Im(f)∩ker(f) = {0}
2) Im(f2) = Im(f)si et seulement si E= ker(f) + Im(f)
Exercice 13 Soit pun projecteur de E, c’est-à-dire un élément de L(E)tel que p2=p. Montrer que
E= ker(p)⊕Im(p)
Exercice 14 Soit fet gdeux endomorphismes de Equi commutent.
1) Montrer que Im(u)et ker(u)sont stables par v.
2) On suppose que E= ker u⊕ker v. Montrer que Im u⊂ker vet Im v⊂ker u.
3) Montrer que les inclusions précédentes sont des égalités si Eest de dimension finie.
Exercice 15 Soit fun endomorphisme de Equi commute avec tous les endomorphismes de E, i.e.
∀g∈L(E), f ◦g=g◦f.
1) Soit uun vecteur non nul de Eet soit Huun supplémentaire de Vect(u). En considérant pu, la
projection sur Vect(u)parallèlement à Hu, montrer qu’il existe λu∈Ktel que f(u) = λuu.
2) Soit vun vecteur non colinéaire à u. Montrer qu’il existe λv∈Ktel que f(v) = λvv. Montrer que
λu=λv.[Aide : On pourra considérer le vecteur u+v.]
3) Soit v6= 0 colinéaire à u. Montrer qu’il existe λv∈Ktel que f(v) = λvvet que λv=λu.
4) Conclure.
Matrice et application linéaire
Exercice 16 Soient Aet Bdeux matrices de Mn,k(R). On suppose que pour tout x∈Rkon a Ax =Bx.
Montrer que A=B.
Exercice 17 Écrire la matrice dans la base canonique des applications suivantes
1) f(x, y, z) = (2x+y+z, x + 2y+z, x +y+ 2z)
2) f(x, y, z)=(x+ 2y−z, x + 2y−z, 2x+ 4y−2z)
Exercice 18 Soit ul’endomorphisme de R3dont la matrice représentative dans la base canonique
B0= (e1, e2, e3)est
A=
2 1 0
−212
−113
.
2

1) On pose
u1=e2−e2+e3
u2=e1+e3
u3=e2+e3
Montrer que B1= (u1, u2, u3)forme une base de R3.
2) Déterminer, par deux méthodes différentes, la matrice de fdans la base B1
Exercice 19 Soit u:R37−→ R3l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique B0est
573
2−2 2
2−5 4
. On pose f1=
1
1
1
, f2=
1
0
−1
, f3=
2
1
1
.
1) Vérifier que B1= (f1, f2, f3)forme une base de R3.
2) Calculer P=B0PB1ainsi que son inverse.
3) En utilisant la formule de changement de base, déterminer la matrice de udans B1.
4) Calculer directement u(fi)et vérifier le résultat obtenu dans la question précédente.
Exercice 20 Soient E=R2[X]et Q=a+bX +cX2∈E. On définit l’application fpar f(P)=(QP )00 .
1) Montrer que fest un endomorphisme de E.
2) Donner la matrice de fdans la base canonique de E.
3) Déterminer une condition sur Qpour que fsoit bijective.
Exercice 21 Soit fune application définit par f(P) = P(X+2)+P(X)−2P(X+1) pour tout P∈R3[x].
1) Montrer que fest un endomorphisme de R3[X].
2) Déterminer la matrice de fdans la base canonique. En déduire ker fet Im f.
Exercice 22 Soit n≥2, on considère l’application φdéfinie sur R[X]par :
φ(P)(X)=(X+ 2)P(X)−XP (X+ 1).
1) Montrer que φest un endomorphisme de Rn[X].
2) Calculer Ker(φ).
Un peu de tout !
Exercice 23 Dans les questions qui suivent Eest un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K
(Rou C). On fournira un contre exemple quand la proposition est fausse et la démonstration quand elle
est vraie.
1) Si u+vappartient à un sous-espace Fde E, alors u, v ∈F.
2) On pose v1= (1,2,−2),v2= (2,3,0),v3= (4,0,0) et v4= (0,0,0). Alors
∗(v1, v2, v2)est libre.
∗(v1, v2, v4)est libre.
∗(v1, v2, v3)est libre.
3) Si e1, ..., ensont des vecteurs de Edeux à deux non colinéaires, alors la famille (e1, ..., en)est libre.
4) Soient F,Get Htrois sous-espaces vectoriels de E. Si F+H=G+Halors F=G.
5) Soient F,Get Htrois sous-espaces vectoriels de E. Si F⊕H=G⊕Halors Fet Gsont isomorphes.
6) Si Fet Gsont deux sous-espaces de Ealors F∪Gest un sous-espace de E.
7) Si (Ei)i∈Iune famille de sous-espace vectoriel de Ealors Ti∈IEiest un sous-espace vectoriel de E.
8) Si u∈L(E)est tel que E= Keru⊕Imualors uest un projecteur
9) Soient uet vdeux endomorphismes de E. Alors Im(u+v) = Im u+ Im v.
10) Si u∈L(E)et si Get Hsont deux sous-espaces vectoriels de E, alors on a u(G+H) = u(G)+u(H).
11) Soient uet vdeux endomorphismes de E. Alors u◦v= 0 si et seulement si Im v⊂ker v.
12) Soit uune application linéaire de Edans F, avec dim E > dim F. Alors une peut pas être injective.
13) Soit uune application linéaire de Edans F, avec dim E > dim F. Alors uest surjective.
3

14) Si uet vsont deux endomorphismes de E, alors le rang de u◦vest inférieur au rang de uet au rang
de v.
15) Soit Fun sous-espace vectoriel de E, et u∈L(F, E). L’application vdéfinie par v(x) = u(x)si
x∈Fet v(x) = 0 si x /∈Fest un endomorphisme de E.
16) Soit Fun sous-espace vectoriel de E, et u∈L(F, E). Il existe un endomorphisme vde Edont la
restriction à Fest égale à u.
17) L’ensemble des matrices non inversibles de Mn(K)est un sous-espace vectoriel de Mn(K).
18) Soient A,Bet C∈Mn(K). La matrice M=A C
0Bde M2n(K)est inversible si et seulement si
Aet Bsont inversibles.
19) Si Aet Bsont deux matrices de Mn(C),rg(AB) = rg(BA).
20) L’application déterminant est une surjection de Mn(K)sur K.
21) Soient A,Bdans Mn(C)vérifiant AB =BA = (detA)Inalors Best la transposée de la comatrice
de A.
Savoir-faire indispensable en algèbre linéaire.
Cette liste n’est pas exhaustive ! Mais si vous ne maitrisez pas ces notions, vous aurez des problèmes pour
suivre ce module.
1) Connaître son cours
2) Connaître son cours
3) Connaître son cours
4) Résoudre un système linéaire.
5) Montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel d’un autre.
6) Manipuler les sommes d’espaces vectoriels.
7) Prouver que deux espaces vectoriels sont en somme directe.
8) Déterminer le rang d’une famille de vecteur.
9) Déterminer une base d’un espace vectoriel.
10) Manipuler la notion de Vect.
11) Montrer qu’une application est linéaire.
12) Connaître la définition de noyau et d’image.
13) Savoir manipuler les notions de noyau et d’image.
14) Déterminer le noyau et d’image d’une application linéaire.
15) Connaître et comprendre la notion d’espace stable par une application linéaire.
16) Montrer qu’un s.e.v est stable sous l’action d’une application linéaire.
17) Déterminer la matrice d’une application linéaire dans une base donnée.
18) Savoir retrouver les formules de changement de base.
19) Effectuer un changement de base.
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