Livre scolaire expliquant la programmation linéaire

Modélisation de rations par
programmation linéaire :
principe et exemples d’application en
Nutrition Humaine
Nicole Darmon
Unité Mixte de Recherches en Nutrition Humaine Inserm/Inra
Faculté de Médecine de la Timone, Marseille
[email protected]

La programmation linéaire (PL)
Résoudre plusieurs inéquations à plusieurs inconnues.
Plus spécifiquement : optimiser une fonction linéaire
tout en respectant un ensemble de contraintes linéaires.
La fonction optimisée est appelée fonction objectif :
y = ax1+ bx2+ cx3…
optimiser y, c'est trouver les valeurs des variables xi qui permettent
d'atteindre la valeur de y la plus faible (minimisation) ou la plus élevée
(maximisation) ...
tout en respectant des contraintes sur ces variables, du type :
x1> A
x2 < B ...
ou αx1+ βx2 +γx3 ... < C …

Partant d’une liste d’aliments (ou ingrédients)
(de composition nutritionnelle connue et autres caractéristiques importantes)
Sélectionner une combinaison d’aliments sous :
- contraintes nutritionnelles
(basées sur des recommandations officielles)
- contraintes d’acceptabilité
(basées sur des apports alimentaires observés)
Ration journalière, menu, recette, mélange d’aliments
…
=>
La programmation linéaire en nutrition

En nutrition : les variables xisont des quantités d'aliments
Optimiser y = ax1+ bx2+ cx3…, c'est :
=> trouver LA combinaison d'aliments xi
qui permet d'atteindre la valeur optimale de y, par ex. prix mini ou kcal mini...
=> tout en respectant l'ensemble des contraintes imposées
Le panier, ou la ration, optimisée doit respecter
=> des contraintes sur les aliments : x1> A x2 < B x1+ x2 < C
qui vont assurer le réalisme et le respect des habitudes alimentaires
=>des contraintessur les nutriments : αx1+ bx2 + cx3 ... > D
αx1+ βx2 + γx3 ... < D
qui vont assurer la qualité nutritionnelle
+ autres contraintes sur le prix, l'énergie, le poids, etc…

¾Consiste à résoudre un système d’inéquations
multiples à plusieurs inconnues dont le nombre
augmente rapidement avec le nombre d’aliments
disponibles et avec le nombre de contraintes prises en
compte
¾En pratique, solution impossible à trouver sans l’aide
d’un ordinateur
¾Actuellement, très facile à utiliser car une fonction de
programmation linéaire (fonction solveur) est
disponible sur des logiciels usuels tels que Excel