Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste A NDRÉ AVEZ Modèle d’univers stationnaire sans section d’espace globale Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome exp. no 16, p. 1-8 5 (1961-1962), <http://www.numdam.org/item?id=SJ_1961-1962__5__A15_0> © Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste (Secrétariat mathématique, Paris), 1961-1962, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 16-01 Séminaire JANET (Mécanique ahalytique 1961/62, année, 5e MODÈLE Mécanique céleste) et 2 n° 16 juin 19~ D’UNIVERS STATIONNAIRE SANS SECTION D’ESPACE GLOBALE André AVEZ 1. Introduction et notations. [1] pouvait exister d’univers stationnaire à section d’espace compacte en l’absence de constante cosmologique. J’ai étendu [2] ce résultat en montrant qu’il ne pouvait exister de modèle d’univers périodique clos sans constante cosmologique. D. AUFENKAMP Cela pose les a démontré qu’ il problèmes Peut-on étendre ces suivants : résultats espaces-temps compacts les plus généraux une section d espace globale ? aux démontrant qu’il existe touj ours Dans la ne négative peut-on néanmoins étendre ces théorèmes en en l’absence de sections d’espace globales ? Nous allons répondre à des propriétés suivantes et ces questions construisant un mais ~. est - Il est stationnaire et schématise - Les li gne s de temps sont fermées. - La constante orientable, cosmologique sans un section f luide d’espace globale. parfait - champ électromagnétique. est nulle. Les notations utilisées seront celles de LICHNEROWICZ topologie de U . Rappels [4]. - Soient modèle d’univers U doué : .. compact en [3]. 2. La V une n variété de dimension n , orientable et différen- 1 , compacte, orientable, et différentiable. Si y est un lacet de Vn , c’est-à-dire une application continue de T 1 dans V , on peut définir un algébrique d’intersection de y sous-variété de dimension tiable, n - nombre et W n- 1 dépend orientés. Ce que de la classe Supposons férentia.ble, ;1, U sera l’indice de Kronecker d’homotopie de W n- 1" y(l] . On sait qu’il ne y[1] . compact et porteur d’un champ de vecteurs à régulier et dife st transverse à dont le s trajectoires y sont fermées. Si V n oriente le fibre normal de W n- 1. Avec cette orientation, il e st clair 16-02 y[l] &#x3E;.0 ~ l’égalité que S LEMME. - Si sphère centrée à l’origine et E4 rapporté au repère orthonormé (0 x pace euclidien S sur (- est la de surface orientable transverse Démonstration. - La restriction du tangents Les traj ectoires dont champ û au de rayon unité de l’esy de z t) , il n’existe pas composantes t , z) . y , x , - de vecteurs y == ~ * nt étant obtenue que si y et unitaires champ u S3 à définit S3 sur un champ puisque : sont définies par le système : est immédiate. On trouve : l’intégration t = B sin (0 + G) trajectoires S3. de de De Par plus, suite , quelle de S~ : 1t sont comme S simplement connexe, elles variété compacte , orientable est que soit la lemme résulte alors de la S T à trois = 1 . Les sont est le Hopf homotopes à zéro. différentiable W2 remarque qui la précède. et compacte, dimensions, et transverse au champ vectoriel champ du lemme précédent et dont la projection est nulle. Démonstration. - Par l’absurde. Soit orientable , différentiable , à Pour tout THÉORÈME. - Sur la variété m ienté daus 1.0 W une dimensions, W3 et transverse une compacte, champ précité. surface B.12 (t) , compacte, et transverse champ du tout t , au S x T1 , sous-variété de suivant cela pour = au lemme précédent donc B013 dans = vJ . S T il n’existe pas de sous-variété compacte , et orientée dans l’espace au sens d’une métrique hy- orientable y différentiable , perbolique normale définie sur ait trois coupe orientable , différentiable, S3 x {t} . Par suite W2(t) dent B2 + il n’existe pas de sous-variété x orientable, différentiable, dont la projection sur S T A2 donc fermées : elles définissent une fibration de LEMME~ - Sur la variété sur sont liées par C d’intégration A , B , où les constantes x S x T et pour laquelle le champ du lemme précé- 16-03 Démonstration. - Résulte de transverse au du lemme champ ce que toute variété orientée dans l’espace est précédent. Nous allons obtenir l’univers U comme produit S3 riemannien de et T1 convenablement métrisés~ La métrique de S3 . 3. Convenons que les indices latins sont relatifs à S3. La de E induit sur S" une métrique elliptique 1 ... On a à S sens S dont du champ soit de de la E de u u.. y définit un champ de Si r est une vecteurs constante métrique vu que la restriction tangents supérieure à euclidienne 1~ et unitaires nous au munirons métrique s’assure aisément qu’elle est hyperbolique normale. En affectant d’une astérisque les éléments relatifs à g.. , les éléments étoilés étant relatifs à on on a : g*~ où est défini par g~ g*~ ô~ . = R.. E’ Calculons le tenseur de Ricci mier ordre du vecteur Comme cette matrice est E . Co donc sur 1Î de Le tenseur dérivé du prepour matrice dans le repère 0 x y z t : g... antisymétrique, u engendre S puisque 3 est munie de la ~ ~ + ~ u~ = 0 . a relatif à Mais si métrique on pose un un groupe d’isométries de tangent à S ~ II induis groupe d’isométries. Ainsi 16-04 calcul facile prouve que : un Puisque ’V.J. u Comme 0394i ul + = 0394j u. == 0 , J J. 0 , on Avec les notations en tire remplaçant = ci-dessus, == Pour 2lij , sa valeur : 0 . des calculs locaux montrent que : Comme il est bien connu, le tenseur de Ricci de Rij par g.. J.J S3 dans la métrique est lij par suite : évaluer Elle s’écrit: de l’identité partons V. 2ui = ui . Cela,joint - à la formule donnant Cikj entraîne . Par suite : Vk Rapportons E u.. au système distance d’un point M de la de ]a trace de de coordonnées polaires E4 à l’ origine étant OM sur S3 . Les (x1 , x2 , x3 , x) . x4 , (x1 , x2 , x3) La fixait indices latins varieront de 1 à 3, les indices majuscules de 1 à 4- Enfin, nous affecterons d’une barre les éléments est la distance CM : relatifs à E’ muni de sa métrique usuelle. Puisque x" ~ = T.. =1. Puisque le système de coordonnées est orthogonal : ~ = F... = 0 . 16-05 Puisque Puisque u4 t.. le est la champ u. = u4 = 0, métrique de 83 induite par le plongement dans est la restriction à (Ui) 83 = ui . Par suite : Mais : donc : Puisque à engendre Mais : car, sur S~ un groupe d’isométries de E4 : 83 du E4 : champ 11 de E4 : 16-06 Par suite Sur S3 on a donc : Mais de 1! évaluation de 6~ Q trouvée dans le repère 0 x on tire métrique ~ z y t , Par suite : Avec la fornule ci-dessus, cela donne : et En portant dans l’expression trouvée pour 4* La métrique de La variété Tl muni de U sa u. est le produit métrique triviale changée Il est clair que la métrique S3 riemannien de de U, de muni de la signe. désignerons par Enfin, si Rap désigne que par nous bolique normale en même temps que gij . Ricci de U, ua le champ de vecteur défini sur S3 x Tl le vecteur unitaire tangent aux variétés facteurs images de du gÀ’ est hyper- le tenseur de paragraphe 2, Tl : v ex 16-07 Ceci, l’expression R:.. de , , THEOREME. - Le champ engendre u oe sur U un groupe d’isométries à trajectoi- orientées dans le temps et fermées. res Démonstration. .. Que les trajectoires soient fermées résulte de la définition de d et de l’étude faite sur la topologie de U. Ces trajectoires sont orientées dans le temps. En effet : Montrons enf in que Puisque un U est un produit riemannien, groupe d’ isométries de S munie de il suffit de démontrer que ~ . En revenant aux ui engendre notations du pa- ragraphe 3 : Mais donc : 5* u. engendre un 1 . - .K C . 1. k. J = 0 , groupe d’isométries de S munie de lij et et ainsi Interprétation de u. Rappelons (voir [3], p. 18-26) que si 80’ 82 ’ s) désignent les valeurs propres d’un tenseur normal symétrique par rapport au tenseur métrique T03BB d’un schéma fluide pour que So &#x3E; puisse être interprété le tenseur comme impulsion-énergie parfait - champ électromagnétique, il faut et il suffit que: 82’ 81 &#x3E; s3’ 82 ~ 83’ sl + s2 ~ 0 , So + s3 &#x3E; s~ + s~ 20142014g20142014 . 16-00 THEOREME. -Si magnétique sans r &#x3E; 1 constante schématise U + un fluide parfait - champ électro- cosmologique. Démonstration. - Avec les notations usuelles, les équations d’Einstein s’ écrivent : De 1~ expression tro u vée po ur on tire : Les valeurs propres de R et de par X tante d’un cosmologique u’ que rapport à Des calculs faciles montrent que pulsion- énergie ce g03BB = 1~ v v’ = - 1y sont : peut être interprété comme le tenseur imparfait - champ électromagnétique sans cons- T Àl schéma f luide (k = 0) dès que r &#x3E; 1 + 12 . 6. Résumé. En réunissant les ré sultats obtenus, on voit que le modèle d’univers U est sans section d’espace globale comcompact, orientable , homéomorphe à S~ x pacte , stationnaire , à lignes de temps fermées, schématisant un f luide parfait champ électromagnétique sans constante cosmologique. T1 , BIBLIOGRAPHIE [1] AUFENKAMP (Don). - Sur l’impossibilité d’univers stationnaire clos, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 232, 1951, p. 213-214. [2] AVEZ (André). - Propriétés globales des espaces-temps C. R. Acad. Sc. Paris, t. 250, 1960, p. 3585-3587. [3] LICHNEROWICZ [4] de RHAM périodiquement clos, (André). - Théories relativistes de la gravitation et de l’électromagnétisme. - raris, Masson, 1955 (Collection d’Ouvrages de Mathématiques à l’Usage des Physiciens). 1960 (Georges). (Act. Variétés différentiables. 2e édition. - Paris, Hermann, scient. et ind., 1222 ; Publ. Inst. Math. Univ. Nancago, 3).