Modèle d`univers stationnaire sans section d`espace

Séminaire Janet.
Mécanique analytique
et mécanique céleste
A NDRÉ AVEZ
Modèle d’univers stationnaire sans section d’espace globale
Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome
exp. no 16, p. 1-8
5 (1961-1962),
<http://www.numdam.org/item?id=SJ_1961-1962__5__A15_0>
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16-01
Séminaire JANET
(Mécanique ahalytique
1961/62,
année,
5e
MODÈLE
Mécanique céleste)
et
2
n° 16
juin 19~
D’UNIVERS STATIONNAIRE SANS SECTION D’ESPACE GLOBALE
André AVEZ
1. Introduction et notations.
[1]
pouvait exister d’univers stationnaire à
section d’espace compacte en l’absence de constante cosmologique. J’ai étendu [2]
ce résultat en montrant qu’il ne pouvait exister de modèle d’univers périodique
clos sans constante cosmologique.
D. AUFENKAMP
Cela pose les
a
démontré qu’ il
problèmes
Peut-on étendre
ces
suivants :
résultats
espaces-temps compacts les plus généraux
une section d espace globale ?
aux
démontrant qu’il existe touj ours
Dans la
ne
négative peut-on néanmoins étendre
ces
théorèmes
en
en
l’absence de sections
d’espace globales ?
Nous allons répondre à
des propriétés suivantes
et
ces
questions
construisant
un
mais
~. est
-
Il est stationnaire et schématise
-
Les li gne s de temps sont fermées.
-
La constante
orientable,
cosmologique
sans
un
section
f luide
d’espace globale.
parfait - champ électromagnétique.
est nulle.
Les notations utilisées seront celles de LICHNEROWICZ
topologie de U .
Rappels [4]. - Soient
modèle d’univers U doué
:
..
compact
en
[3].
2. La
V
une
n
variété de dimension n , orientable et différen-
1 , compacte, orientable, et
différentiable. Si y est un lacet de Vn , c’est-à-dire une application continue de T 1 dans V , on peut définir un
algébrique d’intersection de y
sous-variété de dimension
tiable,
n -
nombre
et
W n- 1
dépend
orientés. Ce
que de la classe
Supposons
férentia.ble,
;1, U
sera
l’indice de Kronecker
d’homotopie
de
W n- 1" y(l] .
On sait
qu’il
ne
y[1] .
compact et porteur d’un champ de vecteurs à régulier et dife st transverse à
dont le s trajectoires y sont fermées. Si
V
n
oriente le fibre normal de
W n- 1.
Avec cette
orientation,
il e st clair
16-02
y[l] >.0 ~ l’égalité
que
S
LEMME. - Si
sphère centrée à l’origine et
E4 rapporté au repère orthonormé (0 x
pace euclidien
S
sur
(-
est la
de surface orientable transverse
Démonstration. - La restriction du
tangents
Les traj ectoires
dont
champ û
au
de rayon unité de l’esy
de
z
t) ,
il n’existe pas
composantes
t , z) .
y , x , -
de vecteurs
y == ~ *
nt étant obtenue que si
y
et unitaires
champ u
S3
à
définit
S3
sur
un
champ
puisque :
sont définies par le
système :
est immédiate. On trouve :
l’intégration
t = B sin (0 + G)
trajectoires
S3.
de
de
De
Par
plus,
suite , quelle
de
S~ :
1t sont
comme
S
simplement connexe, elles
variété compacte , orientable
est
que soit la
lemme résulte alors de la
S T
à trois
=
1 . Les
sont
est le
Hopf
homotopes à zéro.
différentiable W2
remarque qui la précède.
et
compacte,
dimensions, et transverse au champ vectoriel
champ du lemme précédent et dont la projection
est nulle.
Démonstration. - Par l’absurde. Soit
orientable , différentiable , à
Pour tout
THÉORÈME. -
Sur la variété
m
ienté daus
1.0
W
une
dimensions,
W3
et transverse
une
compacte,
champ précité.
surface B.12 (t) , compacte,
et transverse
champ du
tout t ,
au
S x T1 ,
sous-variété de
suivant
cela pour
=
au
lemme
précédent
donc
B013
dans
= vJ .
S T
il n’existe pas de sous-variété compacte ,
et orientée dans l’espace au sens d’une métrique hy-
orientable y différentiable ,
perbolique normale définie sur
ait
trois
coupe
orientable , différentiable,
S3 x {t} . Par suite W2(t)
dent
B2
+
il n’existe pas de sous-variété
x
orientable, différentiable,
dont la projection sur S
T
A2
donc fermées : elles définissent une fibration de
LEMME~ - Sur la variété
sur
sont liées par
C
d’intégration A , B ,
où les constantes
x
S
x
T
et pour
laquelle le champ
du lemme
précé-
16-03
Démonstration. - Résulte de
transverse
au
du lemme
champ
ce
que toute
variété orientée dans l’espace est
précédent.
Nous allons obtenir l’univers
U
comme
produit
S3
riemannien de
et
T1
convenablement métrisés~
La métrique de S3 .
3.
Convenons que les indices latins sont relatifs à S3. La
de E induit sur S" une métrique elliptique 1 ... On a
à
S
sens
S
dont
du
champ
soit
de
de la
E
de
u
u..
y définit un champ de
Si
r
est
une
vecteurs
constante
métrique
vu
que la restriction
tangents
supérieure
à
euclidienne
1~
et unitaires
nous
au
munirons
métrique
s’assure aisément qu’elle est hyperbolique normale. En affectant d’une
astérisque les éléments relatifs à g.. , les éléments étoilés étant relatifs à
on
on a :
g*~
où
est défini
par
g~
g*~ ô~ .
=
R..
E’
Calculons le tenseur de Ricci
mier ordre du vecteur
Comme cette matrice est
E .
Co
donc
sur
1Î
de
Le tenseur dérivé du prepour matrice dans le repère 0 x y z t :
g...
antisymétrique, u engendre
S puisque 3 est
munie de la
~ ~ + ~ u~ = 0 .
a
relatif à
Mais si
métrique
on
pose
un
un
groupe d’isométries de
tangent
à
S ~
II induis
groupe d’isométries. Ainsi
16-04
calcul facile prouve que :
un
Puisque ’V.J.
u
Comme 0394i ul
+
=
0394j u. == 0 ,
J J.
0 ,
on
Avec les notations
en
tire
remplaçant
=
ci-dessus,
==
Pour
2lij ,
sa
valeur :
0 .
des calculs locaux montrent que :
Comme il est bien connu, le tenseur de Ricci de
Rij
par
g..
J.J
S3
dans la
métrique
est
lij
par suite :
évaluer
Elle s’écrit:
de l’identité
partons
V.
2ui
=
ui . Cela,joint
-
à la formule donnant
Cikj
entraîne .
Par suite :
Vk
Rapportons E
u..
au
système
distance d’un point M de
la
de ]a trace de
de coordonnées polaires
E4
à l’ origine étant
OM
sur
S3 . Les
(x1 , x2 , x3 , x) .
x4 , (x1 , x2 , x3)
La
fixait
indices latins varieront de 1 à
3,
les indices majuscules de 1 à 4- Enfin, nous affecterons d’une barre les éléments
est la distance CM :
relatifs à E’ muni de sa métrique usuelle. Puisque
x"
~ = T..
=1.
Puisque
le
système
de coordonnées est
orthogonal : ~ = F... = 0 .
16-05
Puisque
Puisque
u4
t..
le
est la
champ u.
= u4 = 0,
métrique
de
83
induite par le plongement dans
est la restriction à
(Ui) 83 = ui .
Par suite :
Mais :
donc :
Puisque à engendre
Mais :
car,
sur
S~
un
groupe d’isométries de
E4 :
83
du
E4 :
champ 11
de
E4 :
16-06
Par suite
Sur
S3
on a
donc :
Mais de 1! évaluation de
6~ Q
trouvée dans le
repère
0
x
on
tire
métrique
~
z
y
t ,
Par suite :
Avec la fornule ci-dessus, cela donne :
et
En portant dans l’expression trouvée pour
4*
La métrique de
La variété
Tl
muni de
U
sa
u.
est le
produit
métrique triviale changée
Il est clair que la
métrique
S3
riemannien de
de
U,
de
muni de la
signe.
désignerons par
Enfin, si Rap désigne
que
par
nous
bolique normale en même temps que gij .
Ricci de U, ua le champ de vecteur défini sur S3 x Tl
le vecteur unitaire tangent aux variétés facteurs images de
du
gÀ’
est
hyper-
le tenseur de
paragraphe 2,
Tl :
v
ex
16-07
Ceci,
l’expression
R:..
de
,
,
THEOREME. - Le
champ
engendre
u
oe
sur
U
un
groupe d’isométries à
trajectoi-
orientées dans le temps et fermées.
res
Démonstration. .. Que les trajectoires soient fermées résulte de la définition
de d et de l’étude faite sur la topologie de U.
Ces trajectoires sont orientées dans le temps. En effet :
Montrons enf in que
Puisque
un
U
est
un
produit riemannien,
groupe d’ isométries de
S
munie de
il suffit de démontrer que
~ .
En revenant
aux
ui
engendre
notations du pa-
ragraphe 3 :
Mais
donc :
5*
u. engendre
un
1 . - .K C . 1. k. J = 0 ,
groupe d’isométries de
S
munie de
lij
et
et ainsi
Interprétation
de u.
Rappelons (voir [3], p. 18-26) que si 80’
82 ’ s) désignent les valeurs
propres d’un tenseur normal symétrique
par rapport au tenseur métrique
T03BB
d’un schéma fluide
pour que
So
>
puisse être interprété
le tenseur
comme
impulsion-énergie
parfait - champ électromagnétique, il faut et il suffit que:
82’ 81
>
s3’ 82 ~ 83’ sl
+
s2 ~
0 , So
+
s3
>
s~
+
s~
20142014g20142014 .
16-00
THEOREME. -Si
magnétique
sans
r >
1
constante
schématise
U
+
un
fluide
parfait - champ électro-
cosmologique.
Démonstration. - Avec les notations usuelles, les équations d’Einstein s’ écrivent :
De 1~ expression tro u vée po ur
on tire :
Les valeurs propres de
R
et de
par
X
tante
d’un
cosmologique
u’
que
rapport à
Des calculs faciles montrent que
pulsion- énergie
ce
g03BB
=
1~
v v’
=
-
1y
sont :
peut être interprété comme le tenseur imparfait - champ électromagnétique sans cons-
T Àl
schéma f luide
(k = 0)
dès que
r >
1
+
12 .
6. Résumé.
En réunissant les ré sultats
obtenus,
on
voit que le modèle d’univers
U
est
sans section d’espace globale comcompact, orientable , homéomorphe à S~ x
pacte , stationnaire , à lignes de temps fermées, schématisant un f luide parfait champ électromagnétique sans constante cosmologique.
T1 ,
BIBLIOGRAPHIE
[1]
AUFENKAMP (Don). - Sur l’impossibilité d’univers stationnaire clos, C. R.
Acad. Sc. Paris, t. 232, 1951, p. 213-214.
[2]
AVEZ (André). - Propriétés globales des espaces-temps
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 250, 1960, p. 3585-3587.
[3]
LICHNEROWICZ
[4]
de RHAM
périodiquement clos,
(André). - Théories relativistes de la gravitation et de l’électromagnétisme. - raris, Masson, 1955 (Collection d’Ouvrages de Mathématiques à l’Usage des Physiciens).
1960
(Georges). (Act.
Variétés différentiables. 2e édition. - Paris, Hermann,
scient. et
ind., 1222 ;
Publ. Inst. Math. Univ.
Nancago, 3).