Liste d`exercices 5 Di érentiabilité Exercice 7 - IMJ-PRG

Université Paris 7
Calcul diérentiel
Année 2009/2010
Licence MASS S5, M23050
Liste d'exercices 5
Diérentiabilité
Exercice 1 :
On considère la fonction f : R2 → R dénie par f (x, y) = x3 + y 2 .
1. Montrer que f est diérentiable sur R2 et déterminer sa diérentielle en tout point (x0 , y0 )
de R2 .
2. Déterminer la matrice jacobienne de f en tout point (x0 , y0 ) de R2 .
3. Mêmes questions pour les fonctions g, h : R2 → R dénies respectivement par
g(x, y) = ex sin y et h(x, y) = (x2 + y 2 )e−xy .
Exercice 2 :
On considère l'application f : R2 → R3 dénie par f (x, y) = (x2 y, xy, ey ).
1. Montrer que f est diérentiable sur R2 .
2. Déterminer la matrice jacobienne de f en tout point (x0 , y0 ) de R2 .
3. Déterminer la diérentielle de f en tout point (x0 , y0 ) de R2 .
Exercice 3 :
On considère la fonction f : R2 → R dénie par

(x2 + y 2 ) sin √ 1
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 +y 2
f (x, y) =
0 si (x, y) = (0, 0)
1. Montrer que cette fonction est diérentiable en tout point de R2 .
2. Déterminer la matrice jacobienne et la diérentielle de f en tout point de R2 .
3. Montrer que les dérivées partielles de f ne sont pas continues au point (0, 0).
Exercice 4 :
On considère la fonction f : R2 → R dénie par
( 3 3
x −y
2
2 si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x +y
0 si (x, y) = (0, 0)
1. Montrer que f admet des dérivees partielles au point (0, 0).
2. En déduire que f n'est pas diérentiable au point (0, 0).
Exercice 5 :
On considère la fonction g : R2 → R dénie par
(
¡
¢
xy sin π2 x+y
si x 6= y
x−y
g(x, y) =
0 si x = y
Montrer que g est diérentiable au point (0, 0).
Exercice 6 :
On considère C comme un R-espace vectoriel, muni de la norme | |. Montrer
que les applications z 7→ z 2 et z 7→ z sont diérentiables et calculer leur diérentielle.
Exercice 7 :
Soient E et F deux espaces vectoriels normés de dimension nie, et soit
f ∈ L(E, F ). Montrer que f est diérentiable en tout point a de E et calculer dfa .
Exercice 8 :
1. Montrer que l'application f : R3 → R2 dénie par f (x, y, z) = (x + y 2 , xy 2 z) est diérentiable en tout point (x, y, z) de R3 et déterminer sa matrice jacobienne en tout point.
2. Mêmes questions pour l'application g : R2 → R3 dénie par g(u, v) = (u2 + v, uv, ev ).
3. Calculer la matrice jacobienne de f ◦ g au point (u, v) ∈ R2 de deux manières :
(a) directement en explicitant l'application f ◦ g ,
(b) en appliquant le théorème sur la composée des diérentielles.
Exercice 9 :
Soit U un ouvert de R, soit E un espace vectoriel normé de dimension nie et
soit f : U −→ E une application dérivable à dérivée continue.
1. Rappeler la dénition de f est dérivable et de f est diérentiable (en a ∈ U ).
2. Montrer que f est diérentiable en tout point a de U et calculer dfa .
3. Montrer que l'application
ϕ:U
−→ L(R, E)
a 7−→ dfa
est continue.
Exercice 10 :
Soient E , F et G trois espaces vectoriels normés de dimension nie, et soit
f ∈ L(E, F ; G).
1. Exprimer f (a + h, b + k) en fonction de f (a, b), f (a, k), f (h, b) et f (h, k).
2. Montrer que f est diérentiable en tout point (a, b) de E × F et calculer df(a,b) .
Exercice 11 : Soit E un espace vectoriel normé de dimension nie dont la norme dérive d'un
produit scalaire.
1. Montrer que l'application g de E dans R dénie par g(x) =k x k2 est diérentiable en tout
point de E et calculer sa diérentielle.
2. Rappeler la formule donnant d(u ◦ v) en fonction de du et de dv .
3. En quels points de E l'application k k est-elle diérentiable ? Expliciter sa diérentielle
lorsqu'elle existe.
Exercice 12 :
1.
2.
3.
4.
Soit f l'application de R2 dans R2 dénie par
¡
¢
f (x, y) = sin(x + 2y), cos(2x + y) .
Montrer que f est diérentiable en tout point de R2 .
Calculer sa diérentielle.
Montrer que, pour tout a de R2 , l'application dfa est 3 lipschitzienne.
Calculer la matrice Jacobienne de f en tout point de R2 .
Exercice 13 :
On considère Rn muni de la norme k . k2 . Soit a un point de Rn . On appelle
inversion de pôle a et de rapport λ ∈ R∗ l'application suivante :
f : Rn \ {a} → Rn
x
7→ f (x) = a + λ
x−a
2.
kx−ak
1. Montrer que f (Rn \ {a}) ⊂ Rn \ {a} puis que la restriction de f à Rn \ {a} → Rn \ {a} est
bijective et qu'elle est égale à son inverse.
2. Prouver que f est diérentiable et calculer sa diérentielle en tout point x ∈ Rn \ {a}.
2
3. Démontrer que pour tout x ∈ Rn \ {a} l'application linéaire kx−ak
dfx est une réexion
λ
(une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan). En conséquence, la diérentielle
dfx est une similitude linéaire (l'inversion est une application dite conforme).