Feuille 3 - IMJ-PRG

M2 Op´erateurs de Schr¨odinger al´eatoires
Feuille 3
Exercice. 1) Soit Hun op´erateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert H. Soit ψ∈ H un
vecteur tel que kψk= 1. On note Ple projecteur orthogonal sur ψ. Montrer que, pour z∈C\R
et t∈R, on a
(1) (z−A−tP )−1−(z−A)−1=t
1−thψ,(z−A)−1ψi(z−A)−1P(z−A)−1.
2) Soit `2(Z) muni de sa structure canonique d’espace de Hilbert. Soit (Vω(x))x∈Zune suite
de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et identiquement distribu´ees. On suppose que ces
variables al´eatoires sont born´ees et que leur distribution admet une densit´e born´ee not´ee q. On
consid`ere l’op´erateur born´e Hω=H0+Vωd´efini par
(2) (Hωψ)(x)=2ψ(x)−ψ(x+ 1) −ψ(x−1) + Vω(x)ψ(x)
o`u ψest une suite de `2(Z) et xun point de Z.
On notera N(E) la densit´e d’´etats int´egr´ee de Hω. On rappelle que, dans ce cas, pour z∈C\R,
on a ZR
1
E−zdN(E) = E(hδ0,(Hω−z)δ0i).
Ici E(·) d´esigne l’esp´erance en ωet δ0le vecteur de `2(Z) dont la 0-i`eme composante vaut 1 et
les autres valent 0.
a) En choisissant bien le vecteur ψet en utilisant (1), montrer que
ZR
1
E−zdN(E) = EZR
g(t)
t−ζ(ω)dt
o`u ζ(ω)−1=−hδ0,(Hω−z)δ0i|Vω(0)=0.
b) Montrer que, si Imz > 0 alors Imζ(ω)>0.
c) En d´eduire que, pour tout ω, on a
Im ZR
g(t)
t−ζ(ω)dt≤πsup
t∈R
g(t).
d) On rappelle la formule de Perron-Frobenius : soit mune mesure bor´elienne positive de masse
totale finie. Pour z∈C\R, on d´efinit sa transform´ee de Stieltjes par f(z) = ZR
1
t−zdm(t).
Alors si a<bsont r´eels tels que m({a,b}) = 0, on a
(3) m(]a,b[) = lim
ε→0+
1
πZb
a
Im(f(t+iε)dt.
D´eduire de (3) que, pour a<b, on a
N(b)−N(a)≤sup
t∈R
g(t)·(b−a).
1

Probl`eme. Soit `2(Z) muni de sa structure canonique d’espace de Hilbert. Soit (Vω(x))x∈Zune
suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et identiquement distribu´ees. On notera que
ces variables al´eatoires ne sont pas suppos´ees born´ees. On consid`ere le domaine `comp(Z) = {ψ:
Z→C;∃R > 0, ψ(x) = 0 si |x| ≥ R}, et sur ce domaine, on d´efinit l’op´erateur Hω=H0+Vω
par l’´equation (2).
I) 1) Calculer l’adjoint de Hω.
2) Montrer que, pour tout ω,Hωest essentiellement auto-adjoint sur `comp(Z). On notera alors
Hωson unique extension auto-adjointe.
3) Montrer que Hωest un op´erateur al´eatoire ergodique.
4) Quel est le spectre de Hω?
II) Dans cette partie, on d´efinit un analogue des restrictions de Dirichlet et Neumann pour les
op´erateurs discrets.
1) Deux points de Z(x,y) sont appel´es plus proches voisins (abr´eg´e en p.p.v.) si x=y+ 1 ou
x=y+ 1. Pour (x,y)∈Z2, on d´efinit les op´erateurs Lxy et Sxy par
(Lxyψ)(z) = 
ψ(x)−ψ(y) si z=x
ψ(y)−ψ(x) si z=y
0 si z6∈ {x,y}
et (Sxyψ)(z) = 
ψ(x) + ψ(y) si z=x
ψ(y) + ψ(x) si z=y
0 si z6∈ {x,y}
.
Ici ψest un vecteur de `2(Z) et {x,y,z}des points de Z.
a) Montrer que Lxy ≥0 et Sxy ≥0.
b) V´erifier que H0=X
xet yp.p.v.
Lxy.
2) Un lien est un couple (x,y) de points de Zplus proches voisins. Pour Bun ensemble arbitraire
de liens, on d´efinit les op´erateurs
HB,D
ω=Hω+X
(x,y)∈B
Lxy et HB,N
ω=Hω−X
(x,y)∈B
Sxy.
a) Montrer que HB,D
ωet HB,N ωsont auto-adjoint sur le domaine de Hω.
b) Montrer que l’on a
(4) HB,N
ω≤Hω≤HB,D ω.
3) Soit Bun ensemble de liens qui d´econnecte Zc’est-`a-dire tel que Zs’´ecrit Z=∪n∈NSno`u
les ensembles (Sn)n∈Nsont 2 `a 2 disjoints et tels que si (x,y) est un lien o`u x∈Sn,y∈Smet
n6=m(i.e. un lien connectant Sn`a Sm) alors (x,y)∈ B.
On peut alors d´ecomposer en `2(Z) en somme directe orthogonale `2(Z) = M
n∈N
`2(Sn). On note
Πnle projecteur orthogonal sur `2(Sn). Montrer que les op´erateurs HB,D
ωet HB,N ωadmettent la
d´ecomposition en somme directe
HB,D
ω=M
n∈N
HB,D
ω,n et HB,N ω=M
n∈N
HB,N
ω,n
2

o`u HB,D
ω,n = ΠnHB,D ωet HB,N ω,n = ΠnHB,N ω.
4) Fixons m∈N∗; on d´efinit l’ensemble de liens Bm={(mn,mn+1),n ∈Z}. Alors les ensembles
(Sn(m))n∈Zd´efinis `a la question pr´ec´edente sont Sn(m) = {mn + 1,mn + 2,...,(m+ 1)n}.
a) Constater que, dans ce cas, pour n∈Z, les op´erateurs HBm,D
ω,n et HBm,N ω,n sont des matrices
m×m.
b) Montrer que HBm,D
ωet HBm,N ωsont des op´erateurs al´eatoires ergodiques.
c) On note Nm,D et Nm,N leurs densit´es d’´etats int´egr´ees respectives. Montrer que, pour E∈R,
on a
Nm,D(E) = 1
mE(Θm,ω,D(E)) et Nm,N (E) = 1 mE(Θm,ω,N (E))
o`u Θm,ω,D(E) (respectivement Θm,ω,N (E)) d´esigne le nombre de valeurs propres de HBm,D
ω,0
(respectivement HBm,N
ω,0) inf´erieures `a E.
d) En se servant de (4), montrer que, si Nd´esigne la densit´e d’´etats int´egr´ee de Hω, on a
Nm,D ≤N≤Nm,N .
5) On consid`ere maintenant le cas Vω≡0. On notera alors HBm,D
0=HBm,D
ωet HBm,N
0=HBm,N
ω.
De mˆeme, pour n∈Z, on notera HBm,D
0,n =HBm,D
ω,n et HBm,N
0,n =HBm,N
ω,n .
a) Montrer que ψest une fonction propre pour HBm,N
0,0associ´ee `a la valeur propre Esi et
seulement si la fonction ψobtenue en prolongeant ψpar sym´etries successives par rapport aux
points nm + 1/2 (n∈Z) v´erifie l’´equation H0ψ=Eψ.
b) Montrer que ψest une fonction propre pour HBm,D
0,0associ´ee `a la valeur propre Esi et
seulement si la fonction ψobtenue en prolongeant ψpar sym´etries par rapport aux points
nm + 1/2 et changements de signe successifs (pour n∈Z) v´erifie l’´equation H0ψ=Eψ.
c) R´esoudre l’´equation aux diff´erences finies H0ψ=Eψ.
d) D´eduire de a) et c) que les valeurs propres de HBm,N
0,0sont les nombres 2(1 −cos(kπ/m))
pour k= 0, . . . ,m −1.
e) Calculer le vecteur propre associ´e `a la valeur propre 0.
f) D´eduire de b) et c) que les valeurs propres de HBm,D
0,0sont les nombres 2(1−cos(kπ/m)) pour
k= 1, . . . ,m.
III) Dans cette partie, on va utiliser les constructions pr´ec´edentes pour prouver l’existence
d’asymptotiques de Lifshitz pour Hω. Pour cela on supposera que :
– les (Vω(n))n∈Zsont born´ees et positives,
–P(Vω(n)∈[0,ε]) ≥Cεlpour des constantes Cet lstrictement positives.
Ici P(.) d´esigne la probabilit´e d’un ´ev´enement.
1) a) Montrer que
(5) 1
mP({HBm,D
ω,0admet une valeur propre inf´erieure `a E})≤Nm,D(E)≤N(E).
b) Montrer que
(6) N(E)≤Nm,D(E)≤P({HBm,N
ω,0admet une valeur propre inf´erieure `a E}).
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2) a) Soit E > 0 petit et mentier tel que π√2
√E< m ≤π√2 √E+ 1. On suppose que pour
x∈S0(m), Vω(x)≤E/2. Montrer qu’alors HBm,D
ω,0admet alors une valeur propre inf´erieure `a
E.
b) En d´eduire que
P({∀x∈S0(m), Vω(x)≤E/2})≤Nm,D(E).
c) Montrer que
lim inf
E→0+
log(|log(N(E))|
log(E)≥ −1 2.
3) a) Fixons α∈]0,1/2[. Soit E > 0 petit et mentier tel que E−1/2+α< m ≤E−1/2+α+ 1.
Montrer que
–HBm,N
0,0admet exactement une valeur propre inf´erieure `a Equi est 0,
– l’espace propre associ´e `a 0 est la droite vectorielle engendr´ee par le vecteur constant i.e.
par le vecteur ψ0=1
√m(1,...,1).
– les valeurs propres diff´erentes de 0 sont sup´erieures `a CE1−2α(o`u C > 0 est ind´ependantes
de E).
b) En d´eduire que, si ψest un vecteur non nul tel que hHBm,N
ω,0ψ,ψi ≤ Ekψk2alors ψs’´ecrit
ψ=aψ0+ψ⊥o`u |a| ≥ 1−CEα,hψ⊥,ψ0i= 0 et kψ⊥k ≤ CEα. Ici C > 0 est une constante
ind´ependante de E.
c) En d´eduire qu’il existe C > 0 et E0>0 tel que pour 0 > E ≤E0, si ωest tel que HBm,N
ω,0
admet une valeur propre inf´erieure `a E, alors ωv´erifie
Σm(ω) := 1
mX
j∈S0(m)
Vω(j)≤CEα.
d) On consid`ere l’´ev´enement Ω(E) = {ω; Σm(ω)≤CEα}. Montrer que, pour t > 0, on a
P(Ω(E)) ≤etCEα−tE(Vω(0))−mF (t/m)o`u F(t) = log Ee−t(Vω(0)−E(Vω(0))).
e) Montrer qu’il existe c0>0 et t0>0 tel que, pour t∈]−t0,t0[, on a |F(t)| ≤ c0t2.
f) En choisissant tde fa¸con convenable, en d´eduire qu’il existe C > 0 telle que, pour Eassez
petit et mdonn´e `a la question III)3)a), on a
P(Ω(E)) ≤e−m/C .
g) Montrer que
lim sup
E→0+
log(|log(N(E))|
log(E)≤ −1 2.
h) Conclure.
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