Feuille 3 - IMJ-PRG

M2 Opérateurs de Schrödinger aléatoires
Feuille 3
Exercice. 1) Soit H un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert H. Soit ψ ∈ H un
vecteur tel que kψk = 1. On note P le projecteur orthogonal sur ψ. Montrer que, pour z ∈ C\R
et t ∈ R, on a
(1)
(z − A − tP )−1 − (z − A)−1 =
t
(z − A)−1 P (z − A)−1 .
1 − thψ,(z − A)−1 ψi
2) Soit `2 (Z) muni de sa structure canonique d’espace de Hilbert. Soit (Vω (x))x∈Z une suite
de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées. On suppose que ces
variables aléatoires sont bornées et que leur distribution admet une densité bornée notée q. On
considère l’opérateur borné Hω = H0 + Vω défini par
(2)
(Hω ψ)(x) = 2ψ(x) − ψ(x + 1) − ψ(x − 1) + Vω (x)ψ(x)
où ψ est une suite de `2 (Z) et x un point de Z.
On notera N (E) la densité d’états intégrée de Hω . On rappelle que, dans ce cas, pour z ∈ C \ R,
on a
Z
1
dN (E) = E(hδ0 ,(Hω − z)δ0 i).
R E −z
Ici E(·) désigne l’espérance en ω et δ0 le vecteur de `2 (Z) dont la 0-ième composante vaut 1 et
les autres valent 0.
a) En choisissant bien le vecteur ψ et en utilisant (1), montrer que
Z
Z
g(t)
1
dN (E) = E
dt
R t − ζ(ω)
R E −z
où ζ(ω)−1 = −hδ0 ,(Hω − z)δ0 i|Vω (0)=0 .
b) Montrer que, si Imz > 0 alors Imζ(ω) > 0.
c) En déduire que, pour tout ω, on a
Z
g(t)
Im
dt ≤ π sup g(t).
t∈R
R t − ζ(ω)
d) On rappelle la formule de Perron-Frobenius : soit m une mesure borélienne positive
de masse
Z
1
totale finie. Pour z ∈ C \ R, on définit sa transformée de Stieltjes par f (z) =
dm(t).
R t−z
Alors si a < b sont réels tels que m({a,b}) = 0, on a
Z
1 b
(3)
m(]a,b[) = lim+
Im(f (t + iε)dt.
ε→0 π a
Déduire de (3) que, pour a < b, on a
N (b) − N (a) ≤ sup g(t) · (b − a).
t∈R
1
Problème. Soit `2 (Z) muni de sa structure canonique d’espace de Hilbert. Soit (Vω (x))x∈Z une
suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées. On notera que
ces variables aléatoires ne sont pas supposées bornées. On considère le domaine `comp (Z) = {ψ :
Z → C; ∃R > 0, ψ(x) = 0 si |x| ≥ R}, et sur ce domaine, on définit l’opérateur Hω = H0 + Vω
par l’équation (2).
I) 1) Calculer l’adjoint de Hω .
2) Montrer que, pour tout ω, Hω est essentiellement auto-adjoint sur `comp (Z). On notera alors
Hω son unique extension auto-adjointe.
3) Montrer que Hω est un opérateur aléatoire ergodique.
4) Quel est le spectre de Hω ?
II) Dans cette partie, on définit un analogue des restrictions de Dirichlet et Neumann pour les
opérateurs discrets.
1) Deux points de Z (x,y) sont appelés plus proches voisins (abrégé en p.p.v.) si x = y + 1 ou
x = y + 1. Pour (x,y) ∈ Z2 , on définit les opérateurs Lxy et S xy par




ψ(x)
−
ψ(y)
si
z
=
x

ψ(x) + ψ(y) si z = x
xy
xy
et (S ψ)(z) = ψ(y) + ψ(x) si z = y .
(L ψ)(z) = ψ(y) − ψ(x) si z = y




0 si z 6∈ {x,y}
0 si z 6∈ {x,y}
Ici ψ est un vecteur de `2 (Z) et {x,y,z} des points de Z.
a) Montrer que Lxy ≥ 0 X
et S xy ≥ 0.
b) Vérifier que H0 =
Lxy .
x et y p.p.v.
2) Un lien est un couple (x,y) de points de Z plus proches voisins. Pour B un ensemble arbitraire
de liens, on définit les opérateurs
X
X
HωB,D = Hω +
Lxy et HωB,N = Hω −
S xy .
(x,y)∈B
(x,y)∈B
a) Montrer que HωB,D et HωB,N sont auto-adjoint sur le domaine de Hω .
b) Montrer que l’on a
(4)
HωB,N ≤ Hω ≤ HωB,D .
3) Soit B un ensemble de liens qui déconnecte Z c’est-à-dire tel que Z s’écrit Z = ∪n∈N Sn où
les ensembles (Sn )n∈N sont 2 à 2 disjoints et tels que si (x,y) est un lien où x ∈ Sn , y ∈ Sm et
n 6= m (i.e. un lien connectant Sn à Sm ) alors (x,y) ∈ B.
M
`2 (Sn ). On note
On peut alors décomposer en `2 (Z) en somme directe orthogonale `2 (Z) =
n∈N
Πn le projecteur orthogonal sur `2 (Sn ). Montrer que les opérateurs HωB,D et HωB,N admettent la
décomposition en somme directe
M
M
B,D
B,N
HωB,D =
Hω,n
et HωB,N =
Hω,n
n∈N
n∈N
2
B,D
B,N
où Hω,n
= Πn HωB,D et Hω,n
= Πn HωB,N .
4) Fixons m ∈ N∗ ; on définit l’ensemble de liens Bm = {(mn,mn+1),n ∈ Z}. Alors les ensembles
(Sn (m))n∈Z définis à la question précédente sont Sn (m) = {mn + 1,mn + 2, . . . ,(m + 1)n}.
Bm ,N
Bm ,D
sont des matrices
et Hω,n
a) Constater que, dans ce cas, pour n ∈ Z, les opérateurs Hω,n
m × m.
b) Montrer que HωBm ,D et HωBm ,N sont des opérateurs aléatoires ergodiques.
c) On note Nm,D et Nm,N leurs densités d’états intégrées respectives. Montrer que, pour E ∈ R,
on a
1
1
Nm,D (E) = E(Θm,ω,D (E)) et Nm,N (E) = E(Θm,ω,N (E))
m
m
Bm ,D
où Θm,ω,D (E) (respectivement Θm,ω,N (E)) désigne le nombre de valeurs propres de Hω,0
Bm ,N
(respectivement Hω,0
) inférieures à E.
d) En se servant de (4), montrer que, si N désigne la densité d’états intégrée de Hω , on a
Nm,D ≤ N ≤ Nm,N .
5) On considère maintenant le cas Vω ≡ 0. On notera alors H0Bm ,D = HωBm ,D et H0Bm ,N = HωBm ,N .
Bm ,D
Bm ,N
Bm ,D
Bm ,N
De même, pour n ∈ Z, on notera H0,n
et H0,n
.
= Hω,n
= Hω,n
Bm ,N
a) Montrer que ψ est une fonction propre pour H0,0
associée à la valeur propre E si et
seulement si la fonction ψ obtenue en prolongeant ψ par symétries successives par rapport aux
points nm + 1/2 (n ∈ Z) vérifie l’équation H0 ψ = Eψ.
Bm ,D
b) Montrer que ψ est une fonction propre pour H0,0
associée à la valeur propre E si et
seulement si la fonction ψ obtenue en prolongeant ψ par symétries par rapport aux points
nm + 1/2 et changements de signe successifs (pour n ∈ Z) vérifie l’équation H0 ψ = Eψ.
c) Résoudre l’équation aux différences finies H0 ψ = Eψ.
Bm ,N
d) Déduire de a) et c) que les valeurs propres de H0,0
sont les nombres 2(1 − cos(kπ/m))
pour k = 0, . . . ,m − 1.
e) Calculer le vecteur propre associé à la valeur propre 0.
Bm ,D
f) Déduire de b) et c) que les valeurs propres de H0,0
sont les nombres 2(1 − cos(kπ/m)) pour
k = 1, . . . ,m.
III) Dans cette partie, on va utiliser les constructions précédentes pour prouver l’existence
d’asymptotiques de Lifshitz pour Hω . Pour cela on supposera que :
– les (Vω (n))n∈Z sont bornées et positives,
– P(Vω (n) ∈ [0,ε]) ≥ Cεl pour des constantes C et l strictement positives.
Ici P(.) désigne la probabilité d’un événement.
1) a) Montrer que
(5)
1
Bm ,D
P({Hω,0
admet une valeur propre inférieure à E}) ≤ Nm,D (E) ≤ N (E).
m
b) Montrer que
(6)
Bm ,N
N (E) ≤ Nm,D (E) ≤ P({Hω,0
admet une valeur propre inférieure à E}).
3
√
√
π 2
π 2
< m ≤ √ + 1. On suppose que pour
2) a) Soit E > 0 petit et m entier tel que √
E
E
Bm ,D
x ∈ S0 (m), Vω (x) ≤ E/2. Montrer qu’alors Hω,0
admet alors une valeur propre inférieure à
E.
b) En déduire que
P({∀x ∈ S0 (m), Vω (x) ≤ E/2}) ≤ Nm,D (E).
c) Montrer que
lim inf
+
E→0
1
log(| log(N (E))|
≥− .
log(E)
2
3) a) Fixons α ∈]0,1/2[. Soit E > 0 petit et m entier tel que E −1/2+α < m ≤ E −1/2+α + 1.
Montrer que
Bm ,N
– H0,0
admet exactement une valeur propre inférieure à E qui est 0,
– l’espace propre associé à 0 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur constant i.e.
par le vecteur ψ0 = √1m (1, . . . ,1).
– les valeurs propres différentes de 0 sont supérieures à CE 1−2α (où C > 0 est indépendantes
de E).
Bm ,N
b) En déduire que, si ψ est un vecteur non nul tel que hHω,0
ψ,ψi ≤ Ekψk2 alors ψ s’écrit
ψ = aψ0 + ψ⊥ où |a| ≥ 1 − CE α , hψ⊥ ,ψ0 i = 0 et kψ⊥ k ≤ CE α . Ici C > 0 est une constante
indépendante de E.
Bm ,N
c) En déduire qu’il existe C > 0 et E0 > 0 tel que pour 0 > E ≤ E0 , si ω est tel que Hω,0
admet une valeur propre inférieure à E, alors ω vérifie
Σm (ω) :=
1 X
Vω (j) ≤ CE α .
m
j∈S0 (m)
d) On considère l’événement Ω(E) = {ω; Σm (ω) ≤ CE α }. Montrer que, pour t > 0, on a
α
P(Ω(E)) ≤ etCE −tE(Vω (0))−mF (t/m) où F (t) = log E e−t(Vω (0)−E(Vω (0))) .
e) Montrer qu’il existe c0 > 0 et t0 > 0 tel que, pour t ∈] − t0 ,t0 [, on a |F (t)| ≤ c0 t2 .
f) En choisissant t de façon convenable, en déduire qu’il existe C > 0 telle que, pour E assez
petit et m donné à la question III)3)a), on a
P(Ω(E)) ≤ e−m/C .
g) Montrer que
lim sup
E→0+
1
log(| log(N (E))|
≤− .
log(E)
2
h) Conclure.
4