BTS 2 Devoir n° 9 maison mardi 17 mars 2015 Exercice 1 (12 points

BTS 2
Devoir n° 9 maison
mardi 17 mars 2015
(12 points)
Exercice 1
Les trois parties de cet exercices peuvent être traitées de façon indépendante.
A. résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) : y 0 + 2 y = −5e−2x où y est une fonction inconnue de la variable réelle x,
définie et dérivable sur R, et y 0 la fonction dérivée de y.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0 ) : y 0 + 2y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = −5xe−2x . Démontrer que la fonction g est une solution de (E).
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1 .
B. Étude locale d’une fonction
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = (1 − 5x)e−2x .
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal.
1.
a. On admet le résultat suivant : lim − 5xe−2x = 0. Calculer lim f (x).
x→+∞
x→+∞
b. Que pouvez-vous en déduire pour la courbe C.
2.
a. À l’aide du développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t → et , déterminer le
développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction x → e−2x .
b. En déduire que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
f est : f (x) = 1 − 7x + 12x2 + x2 ε(x) avec lim ε(x) = 0.
x→0
c. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
d. En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite T au voisinage du point d’abscisse 0.
C. Calcul intégral
1. On note I =
Z
2
1
f (x)dx où f est la fonction définie dans la partie B.
a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties que I =
23e−4 − 13e−2
.
4
b. Donner la valeur de I, arrondie à 10−2 .
2.
a. Donner, sans justification, le signe de f (x) pour x dans l’intervalle [1 ; 2].
b. Interpréter graphiquement le nombre I.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
1
BTS 2
Devoir n° 9 maison
mardi 17 mars 2015
EXERCICE 2
(8 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Un particulier souhaite acheter, auprès d’un producteur, des bottes de paille pour l’isolation de sa maison.
Dans cette exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2 .
A. Loi normale
On prélève au hasard une botte de paille dans la production du 20 juillet 2011.
Pour le particulier une botte est acceptable si son épaisseur est comprise entre 350 et 370 millimètres et si sa densité
est comprise entre 90 kg/m3 et 110 kg/m3 .
1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque botte ainsi prélevée, associe on épaisseur exprimée en millimètres.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 360 et d’écart type 18.
Calculer la probabilité qu’une botte prise au hasard ait une épaisseur acceptable.
2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque botte prélevée dans la production de cette journée, associe sa
densité exprimée en kg/m3 . On admet que Y suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 5.
Calculer la probabilité qu’une botte prélevée dans la production de cette journée ait une densité acceptable.
3. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
Une botte de paille est conforme aux normes d’isolation si son épaisseur, exprimée en millimètres, appartient
à l’intervalle [350 ; 370] et si sa densité, exprimée en kg/m3 , appartient à l’intervalle [90 ; 110]. Calculer la
probabilité qu’une botte prélevée dans la production de cette journée soit conforme aux normes d’isolation.
4. Le producteur n’est pas satisfait de l’épaisseur des bottes. Il estime que le pourcentage de bottes acceptable
est insuffisant. Il demande donc que l’on modifie les réglages des machines afin que l’écart type soit tel que le
pourcentage de bottes acceptables pour leur épaisseur soit de 60%. La variable X suit donc la loi normale de
moyenne 360 et d’écart type σ inconnu. Déterminer la valeur de σ pour que p(350 < X < 370) = 0, 6.
5. Pour l’isolation d’un plancher, la densité des bottes doit être supérieure à 95 kg/m3 . Quelle devrait être la
valeur de σ pour avoir p(Y > 95) = 0, 9 sachant que Y suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type σ.
B. Loi binomiale
On considère un stock important de bottes de paille, dont une partie est destinée à un usage d’isolation. On note E
l’événement : « une botte prélevée au hasard dans le stock est conforme aux normes d’isolation ». On suppose que
p(E) = 0, 4.
On prélève au hasard 5 bottes de paille dans le stock pour vérification de la conformité aux normes d’isolation. Le
stock est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 5 bottes.
On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 5 bottes ainsi défini, associe le nombre de bottes de
paille conformes aux normes d’isolation.
1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, toutes les bottes de paille soient conformes aux normes
d’isolation.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins trois bottes de paille soient conformes aux
normes d’isolation.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
2
Corrigé
(12 points)
Exercice 1
b(x)
= 2 admet pour primitive G(x) = 2x donc les solutions de l’équation différentielle (E0 ) : y 0 + 2y = 0
a(x)
sont les fonctions y0 (x) = ke−2x
avec k ∈ R.
1. g(x) =
2. g(x) = −5xe−2x donc g 0 (x) = −5e−2x − 5x(−2e−2x ) = (−5 + 10x)e−2x
d’où g 0 (x) + 2g(x) = (−5 + 10x)e−2x + 2(−5e−2x ) = −5e−2x
c’est à dire que la fonction g est une solution particulière de l’équation (E).
3. Les solutions de l’équation différentielle (E) sont donc les fonctions y(x) = ke−2x −5xe−2x = (k−5x)e−2x
R.
avec k ∈
4. f (x) = (k − 5x)e−2x donc f (0) = 1 ⇔ (k − 0)e0 = 1 ⇔ k = 1.
Nous en déduisons f (x) = (1 − 5x)e−2x
B. Étude locale d’une fonction
1.
a. f (x) = (1 − 5x)e−2x = e−2x − 5xe−2x Sachant que lim −5xe−2x = 0 et lim e−2x = 0, nous en déduisons
lim
x→− ∞
x→+∞
f (x) = 0
x→+∞
b. Nous pouvons en déduire que la courbe C admet une asymptote en +∞ dont une équation est y = 0.
2.
a. Le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction exponentielle est :
x2
(−2x)2
ex = 1 + x +
+ x2 (x) avec lim (x) = 0. Donc e−2x = 1 + (−2x) +
+ x2 (x) avec lim (x) = 0
x→0
x→0
2
2
−2x
2
2
Soit e
= 1 − 2x + 2x + x (x) avec lim (x) = 0
x→0
b. Il faut multiplier la partie principale du développement de e−2x par 1 − 5x :
(1 − 5x)(1 − 2x + 2x2 ) =
1 −2 x
+2 x2
−10 x3
x3
1 −7 x +12 x2 −34
3
Conclusion : (−5x + 1)e−2x = 1 − 7 x + 12 x2 + x2 .(x).
−5 x
+10 x2
c. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = 1 − 7x.
d. Au voisinage de 0, 12x2 est positif don cla courbe C est au dessus de la tangente T .
C. Calcul intégral
1. On note I =
Z
2
1
f (x)dx où f est la fonction définie dans la partie B.
Z
2
(1 − 5x)e−2x dx, posons u = 1 − 5x
u 0 = −5
−2x
e
v=
v 0 = e−2x
−2
#2 Z 2
#2 " −2x #2
"
"
Z2
5 −2x
5e
e−2x
e−2x
−2x
−
−
e dx = (1 − 5x)
I=
(1 − 5x)e dx = (1 − 5x)
−2
2
−2
2 −2 1
1
1
1
1
" −2x
#
2
e−4 10e−4 5e−4
e
5xe−2x 5e−2x
e−2 5e−2 5e−2
23e−4 − 13e−2
= (−
I= −
+
+
+
+
) − (−
+
+
)=
2
2
4 1
2
2
4
2
2
4
4
a. Pour calculer l’intégrale I = =
2.
1
b. On obtient I ≈ −0, 33.
a. f (x) toujours négatif entre 1 et 2.
b. I correspond à l’opposé de l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses,
les droites d’équation x = 1 et x = 2.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
3
Corrigé
EXERCICE 2
(8 points)
A. Loi normale
1. X suit la loi normale N (360; 18). Une botte prise au hasard ait une épaisseur acceptable si 350 6 X 6 370.
À l’aide de la calculatrice P(350 6 X 6 370) = 0, 42 à 10−2 .
2. Y suit la loi normale N (100; 5). La probabilité qu’une botte prélevée dans la production de cette journée ait
une densité acceptable est P(90 6 Y 6 110) = 0, 95 à 10−2 .
3. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. la probabilité qu’une botte prélevée dans
la production de cette journée soit conforme aux normes d’isolation est égale au produit des deux probabilités
précédentes soit 0, 42 × 0, 95 = 0, 4 à 10−2 .
4. La variable X suit donc la loi normale de moyenne 360 et d’écart type σ inconnu.
−10 X − 360 10
350 − 360 X − 360 370 − 360
<
<
⇔
<
<
Si l’on centre et réduit on obtient 350 < X < 370 ⇔
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Si on appelle Z la variable centrée réduite, la loi normale inverse nous donne h = 0, 8416 pour que p(−h < Z <
h) = 0, 6
10
10
Donc, nous avons
= 0, 8416 ⇔ σ =
= 11, 88
σ
0, 8416
5. Pour l’isolation d’un plancher, la densité des bottes doit être supérieure à 95 kg/m3 . Y suit la loi normale
N (100; 5).
Y − 100 5
Y − 100 105 − 100
<
<
= 0, 9 ⇔ p
= 0, 9
p(Y > 95) = 0, 9 ⇔ p (Y < 105) = 0, 9 ⇔ p
σ
σ
σ
σ
Si on appelle Z la variable centrée réduite, la loi normale inverse nous donne h = 1, 28 pour que p(Z < h) = 0, 9
5
5
Donc, nous avons = 1, 28 ⇔ σ =
= 3, 9
σ
1, 28
B. Loi binomiale
1. Chaque prélèvement est constitué de 5 épreuves élémentaires indépendantes puisque le prélèvement est assimilé
à un tirage avec remise ;
Chaque épreuve élémentaire n’a que deux issues possibles :
– soit le succès : l’événement E, la botte est conforme, de probabilité p = p(E) = 0, 4,
– soit l’échec : l’événement E, la botte n’est pas conforme, de probabilité q = 1 − p = 0, 6 ;
alors la variable aléatoire Z suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 4.
2. On demande p(Z = 5) = C55 0, 45 × 0, 60 = 0, 45 ≈ 0, 01
3. On demande p(Z > 3) = 1 − p(Z ≤ 2) = 1 − 0, 68 = 0, 32
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
4