2012_Gr_B_sb_corr

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................ Classe: ......... – Section:................
Sujet d'examen
Thème:
2012_Gr_B: (Sujet groupement B – Session 2012)
Table des matières
EXERCICE n°1: (12 points).................................................................................................................2
Partie A. Résolution d'une équation différentielle...........................................................................2
Partie B. Étude locale d'une fonction...............................................................................................3
Partie C. Calcul intégral...................................................................................................................5
EXERCICE n°2: (8 points)...................................................................................................................7
Partie A. Loi normale.......................................................................................................................7
Partie B. Loi binomiale....................................................................................................................9
Partie C. Intervalle de confiance....................................................................................................12
M. Basnary S. Maths – Sujet d'examen – 2012_Gr_B Page n°1/14

EXERCICE n°1: (12 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + 2 y = – 5 e – 2 x.
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ, et y' la fonction
dérivée de y.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' + 2 y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = – 5 x × e – 2 x. Démontrer que la fonction g est une
solution de (E).
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1.
CORRECTION
1. (E0) : y' + 2 y = 0. C'est une équation du premier ordre du type (E0) : a(x) y' + b(x) y = 0.
Variable : x, fonction : y(x)
Identification de a et b : a(x) = 1 ; b(x) = 2.
Hypothèse n°1 : a(x) ≠ 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n°2 : a'(x) = 0 et b'(x) = 0.
Théorème : g(x) = b(x) / a(x) donc g(x) = 2.
Soit G la primitive de g alors G(x) = 2 x.
Les solutions de s'écrivent y0(x) = k e – G(x) soit : y0(x) = k e – 2 x .
2. La solution particulière yp est ici notée g avec g(x) = – 5 x × e – 2 x.
g est une fonction de type U × V avec :
U(x) = – 5 x → U ' (x) = – 5
V(x) = e – 2 x → V ' (x) = – 2 e – 2 x donc
g' = U ' × V + U × V '
g' (x) = – 5 e – 2 x + – 5 x ( – 2 ) e – 2 x soit g' (x) = ( – 5 + 10 x ) e – 2 x .
La méthode à utiliser est la méthode par vérification
(E) : g' + 2 g = ( – 5 + 10 x ) e – 2 x + 2 × ( – 5 x ) × e – 2 x
= ( – 5 + 10 x – 10 x ) × e – 2 x
= – 5 × e – 2 x
= 2nd membre de (E)
La fonction g est bien solution particulière de (E).
3. Les solutions de (E) s'écrivent : yg = y0 + yp soit yg (x) = k e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
4. f (0) = 1 ⇔ yg (0) = 1 ⇔ k e 0 = 1 ⇔ k = 1.
La solution f est donc :
f (x) = 1 e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
Remarque(s) : On retrouve la fonction f de la Partie B.
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Partie B. Étude locale d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x. On note C sa courbe représentative
dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. On admet le résultat suivant :
lim
x∞
−5xe−2x=0.
a) Calculer
lim
x∞
fx.
b) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur
la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse
juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.
La courbe C admet une asymptote en + ∞ dont une équation est :
y = 1 – 5 x y = 0 x = 0
2. Développement limité
a) A l'aide du développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t → e t ,
déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction :
x → e – 2 x
b) En déduire que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f est :
f (x) = 1 – 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
d) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur
la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse
juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.
On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe C est au-dessus de la droite
T. Recopier sur votre copie la justification exacte.
12 x 2 est positif au
voisinage de 0.
x 2 ε(x) est positif au
voisinage de 0.
1 – 7 x est positif au
voisinage de 0.
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CORRECTION
1. D'après le résultat admis, il est judicieux de développer la fonction f.
On obtient : f (x) = e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
a) En utilisant la notation pratique, on a pour x → + ∞ , – 2 x → – ∞ donc e – 2 x → 0 +
Par addition des deux limites, celle admise et celle précédente, on a :
lim
x∞
fx=0.
b) D'après la limite ci-dessus et la représentation graphique de la fonction f (Voir ANNEXE), la
courbe C admet une asymptote en + ∞ d'équation :
y = 0. (Réponse B)
2. Développement limité ou DL
a) Écrivons le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t → e t,
développement limité extrait du formulaire,
e t = 1 + t / (1!) + t 2 / (2!) + t 2 ε(t) avec lim ε(t) = 0 pour t → 0.
Remplaçons t par ( – 2 x ) et uniquement dans la fonction et dans la partie régulière du
développement limité, afin d'obtenir le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de
la fonction x → e – 2 x. Dans le terme complémentaire qui contient la variable t, t est remplacé
par x. On obtient :
e – 2 x = 1 + (– 2 x) / (1!) + (– 2 x) 2 / (2!) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Rappel(s) sur la notation factorielle : factorielle n (n ∈ ℕ) noté n! est le produit des entiers de
1 jusqu'à n. on a donc 1! = 1, 2! = 2, 3! = 1 × 2 × 3 = 6 … En utilisant ce rappel, on obtient :
e – 2 x = 1 – 2 x + 2 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
b) Règle n°1 sur les développements limités : toutes les opérations ne portent que sur les parties
régulières des développements limités. Appliquons cette règle :
( 1 – 5 x ) e – 2 x = ( 1 – 5 x ) × ( 1 – 2 x + 2 x 2 ) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
= 1 – 2 x + 2 x 2 – 5 x + 10 x 2 – 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Simplifions
( 1 – 5 x ) e – 2 x = 1 – 7 x + 12 x 2 – 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Règle n°2 sur les développements limités : On ne fait apparaitre dans l'expression d'un DL que
les termes de rang p inférieur ou égal à l'ordre n imposé du DL.
En appliquant cette règle, le terme de rang 3 en x 3 (c'est à dire – 10 x 3 ) n'apparaît pas dans le
DL car l'ordre n imposé et n = 2. On obtient finalement :
f (x) = 1 – 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
c) Propriété n°1 sur les développements limités : le terme a0 + a1 x du développement limité est
l'équation y = a x + b de la tangente TY à la courbe Cf au point Y d'abscisse x = 0. Une
équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est donc :
T : y = 1 – 7 x
d) Propriété n°2 sur les développements limités : L'étude du signe du terme qui suit l'équation de
TY dans le DL de f (de rang 2 ou 3) au voisinage de x = 0 donne la position (dessus ou
dessous) de la courbe Cf par rapport a la tangente TY : si le signe est positif, alors Cf est au
dessus de TY et si le signe est négatif alors Cf est au dessous de TY .
Le terme qui suit l'équation de TY dans le DL est : + 12 x 2 (Réponse A)
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Partie C. Calcul intégral
1. On note I = ∫12 f (x) dx, où f est la fonction définie dans la Partie B.
a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par partie, que
I=23e−4−13e−2
4
b) Donner la valeur approchée de I arrondie à 10 – 2 près.
2.
a) Donner, sans justification, le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ]
b) Interpréter graphiquement le nombre I.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en
compte.
CORRECTION
1. On note I = ∫12 f (x) dx.
a) Appliquons une par une les étapes de l'intégration par partie avec f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x.
É tape n°1 : Identification des fonctions u et v ' et recherche des fonction u ' et v .
u(x) = ( 1 – 5 x ) → dérivée → u ' (x) = – 5
v (x) = – ½ × e – 2 x ← primitive ← v ' (x) = e – 2 x.
É tape n°2 : Application du formulaire :
I = ∫ u (x) v ' (x) dx = [ u (x) v (x) ] – ∫ u ' (x) v (x) dx
= [ ( 1 – 5 x ) × ( – ½ ) × e – 2 x ] – ∫ – 5 × ( – ½ ) × e – 2 x dx
É tape n°3 : Recherche de la primitive de la fonction dans le second terme en utilisant les
résultats de l'étape n°1.
– 5 × ( – ½ ) × ( – ½ ) ×e – 2 x ← primitive ← – 5 × ( – ½ ) × e – 2 x
I = ∫ u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 – 5 x ) × ( – ½ ) × e – 2 x ] – [ – 5 × ¼ × e – 2 x ]
É tape n°4 : Regroupement des termes entre [ ] et simplification.
I = ∫ u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 – 5 x ) × ( – ½ ) × e – 2 x ] – [ – 5 × ¼ × e – 2 x ]
= [ ( – 2 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x ] – [ – 5 × ¼ × e – 2 x ]
= [ ( 3 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x ]
A ce stade, nous avons une primitive de la fonction f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x, c'est la fonction :
F(x) = ( 3 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x
É tape n°5 : Calcul de I à l'aide de F(x). F(2) = 23 × ¼ × e – 4 , F(1) = 13 × ¼ × e – 2 donc :
I=23e−4−13e−2
4
b) I ≈ – 0,33. (I s'exprime en unités d'aires u.a)
2.
a) Le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ] est : négatif.
b) – I représente l'aire du domaine délimité par les droites verticales d'équation x = 1 et x = 2, la
courbe C (y = f(x) et l'axe des abscisses (y = 0) (Voir ANNEXE)
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