193
Chapitre 1 Divisibilité et nombres premiers – Term S spécialité
3. La sortie est obtenue en enlevant un multiple de 7 à l’entrée.
Entrée et sortie sont donc congrus modulo 7.
4. Il suffit de remplacer le symbole ⩾ par le symbole > dans le
test d’arrêt de la boucle.
5.
TEXAS CASIO
POUR s’EntRAînER
48 Pour n entier : 7 divise n + 54 si, et seulement si, il existe
k entier tel que n = 7k – 54.
Les entiers naturels répondant à la question sont obtenus pour
k ⩾ 8 .
49 Soit n tel que n divise n + 12. Comme n divise n, n divise
(n+12) – n = 12. Réciproquement un diviseur de 12 divise
n+12. Les entiers solutions sont donc les diviseurs de 12.
50 Les entiers solutions sont les diviseurs de 7.
51 (3n + 4) – 3 (n + 7) = –17.
Les entiers solutions sont les diviseurs de 17.
52 (2n + 9) – 2(n + 11) = –13.
Les entiers solutions sont les diviseurs de 13.
53 a divise (n + 2)(n – 1) – (n2 + n + 3) = –5.
55 (n – 2)(n + 2) – (n2 + 2) = – 6.
Réciproquement, si n + 2 divise 6 alors n + 2 divise
6 + (n – 2)(n + 2) = n2 + 2. Les entiers solutions sont donc les
entiers n tels que n + 2 divise 6 : –8, –5, – 4, –3, –1, 0, 1, 4.
56 1. 2 divise a2 + b2 + 2ab = (a + b)2.
2. 3 divise a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = (a + b)3.
57 1. 2(3n + 7) – 6(n + 1) = 8
2.Pour tout entier n, si n + 1 divise 3n + 7, alors n + 1 divise
2(3n + 7) – 6(n + 1) = 8.
3. Non. Contre-exemple : n = 7.
58 Les couples d’entiers solutions sont les couples d’entiers
solutions de (x – y)(x + y) = 17.
(x – y ; x + y) peut a priori prendre les valeurs (1; 17), (–1; –17),
(17; 1), (–17; –1). On vérifie ainsi que les couples (x ; y) solutions
sont (9 ; 8), (–9 ; – 8), (9 ; – 8), (–9 ; 8).
59 Les couples solutions sont solutions de (x – 3y)(x + 3y) = 7.
Cela mène aux solutions : (4; –1), (– 4; 1), (4; 1), (– 4; –1).
60 Voir livre page 140.
61 Faux. Contre-exemple : d = 3, m = n = 3, a = b = 2.
62 1. Pour tout entier n, on a un+1 = 8 × 23n – 1, d’où
un+1 = 8 × un + 7. La suite construite par le programme satisfait
cette relation de récurrence et le premier terme (terme d’indice
0) est le même pour les deux suites : elles sont donc égales.
2. Initialisation : u0 = 0 = 7 × 0.
Hérédité : si un = 7k alors un+1 = 7(8 × k + 1) avec la relation de
récurrence mise en évidence à la question précédente.
63 Pour n entier naturel, on pose un = 42n – 2n.
On vérifie alors que, pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 16un + 14 × 2n. L’hérédité de la propriété en résulte.
64 Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr
et sur le manuel numérique premium :
01_TSspe_exercice64.ods (OpenOffice),
01_TSspe_exercice64.xlsx (Excel 2007),
01_TSspe_exercice64.xls (Excel 2003) et
01_TSspe_exercice64.xws (Xcas).
1. On vérifie que pour tout entier naturel n, on a la relation :
un+1 = 4un + 9n. Ceci explique la construction de la feuille de
calcul.
2. La relation de récurrence établie ci-dessus permet d’établir
l’hérédité.
65 FAUX. Contre-exemple : a = 2, c = 3, b = 4, d = 9.
66 VRAI. Si b = ak (k entier), alors b2 = (kka)a.
67 VRAI. (2k + 1) + (2(k + 1) + 1) = 4(k + 1).
68 FAUX. Contre-exemple : a = 3, b = 5.
69 1 789 = bq + 497. b et q sont donc diviseurs
«complémentaires» de 1292, avec b > 497.
On a donc (b ; q) = (646 ; 2) ou (b ; q) = (1292 ; 1).
70 225 = bq + 4. b est un diviseur de 221 avec b > 4. b peut
valoir 13, 17 ou 221.
71 Voir livre page 140.
72 n s’écrit 4q ou 4q + 1 ou 4q + 2 ou 4q + 3. Les carrés,
dans chacun des cas, s’écrivent 4k ou 4k + 1 en développant
et regroupant les termes multiples de 4.
73 Si n est de la forme 5q alors le facteur n – 55 est divisible
par 5. Si n est de la forme 5q + 1, le facteur n – 11 est divisible
par 5. Si n est de la forme 5q + 2, le facteur n – 22 est divisible par
5. Si n est de la forme 5q + 3, le facteur n – 33 est divisible par 5.
Si n est de la forme 5q + 4, le facteur n – 44 est divisible par 5.
74 On développe le second membre de l’égalité.
n + 2 > n – 3 ⩾ 0 pour tout n ⩾ 3: n – 3 est le reste pour n⩾3.
On traite les cas n = 0, 1 ou 2 à part.
75 7n + 3 = 3(2n – 1) + (n + 6). n + 6 est le reste cherché pour
les entiers n tels que 2n – 1 > n + 6, c’est-à-dire pour n ⩾ 8. On
traite les premières valeurs de n une à une.
76 1. Avec a = 24, la sortie est «OUI». Avec a = 25, la sortie
est «NON».
2. q est le quotient de la division de a par 7. a – 7q est le reste
de la division de a par 7. Les entrées donnant la sortie OUI sont
donc les entiers tels que le quotient de la division de a par 7 est
égal au reste. L’égalité a – 7q = q permet de les trouver : ce sont
les entiers 8q où q prend les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
3.
TEXAS CASIO
77 FAUX. Contre-exemple : a = 10, b = 7.
78 VRAI. Exemple : a = 5, b = 2.
79 FAUX. Contre-exemple : a = a’ = 13, b = 7.
80 VRAI. a = bq + r, a’ = bq’ + r’. aa’ = b(bqq’ + qr ’ + q’r) + rr ’.
Si rr ’ = bq” + r ”, on obtient aa’ = b(bqq’ + qr ’ + q’r + q”) + r ”.