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NOMBRES COMPLEXES
I Ensemble des nombres complexes
Dans R l ’équation x2+1=0 n ’a pas de solution, dans C ensemble des
complexes, i est une solution de cette équation. Un complexe z s ’écrit sous la
forme z=a+ib ; a est la partie réelle et b la partie imaginaire (forme algébrique)
Égalité de deux complexes a+ib=a ’+ib ’⇔ a=a ’ et b=b ’
Somme de deux complexes (a+ib)+(a ’+ib ’)=(a+a ’)+i(b+b ’)
Produit de deux complexes (a+ib)(a ’+ib ’)=(aa ’-bb ’)+i(ab ’+a ’b)
L ’ensemble des complexes muni de cette addition et de cette
multiplication possède une structure de corps
Puissances de i
i2= -1
i3= -i
i4= 1
i4k = 1
i4k+1 = i
i4k+2 = -1
i4k+3 = -i
Le conjugué du complexe z = a+ib est le complexe z = a-ib
Propriétés :
z =z
z+z ’ = z + z ’
zz ’ = z z ’
z z
 =
 z'  z'
Re(z+z ’) = Re(z) +Re(z ’)
Im(z+z ’) = Im(z) +Im(z ’)
Re(z) =Re(z)
Im(z) = - Im (z)
z+z = 2 Re(z)
z-z = 2iIm(z)
M
Z = a+ib
M ’
Z =a-ib
Z s ’appelle
l ’affixe de M
et M est
l ’image de Z
II Forme trigonométrique d ’un complexe
ρ
Module du complexe z
OM =ρ
θ
j
O
M
Argument du complexe z
(i ,OM) = θ
i

ρ = x2 + y 2

 x = ρ cosθ
x

⇔
=
cos
θ


=
y
sin
ρ
θ
ρ


 sin θ = y

ρ

[ρ ,θ ][ρ ' ,θ '] = [ρρ ' ,θ + θ ']
Z = [ρ,θ] =ρ(cosθ +sinθ)
forme trigonométrique du
complexe z
[ρ ,θ ] =  ρ ,θ − θ '

[ρ ' ,θ ']  ρ '

Forme exponentielle d ’un complexe
z = ρe iθ
III Équations dans C
a) Résolution de Z²=z
x² − y ² = α


( x + iy )² = α + iβ ⇔ 
2 xy = β
x² + y ² = α 2 + β 2

b) Équations du second degré à coefficients réels
ax²+bx+c=0
avec a,b et c réels
∆ > 0 K x' =
−b+ ∆
−b− ∆
K x"+
2a
2a
−b
∆ = 0 K x' = x" =
2a
∆ < 0K x' =
−b+i −∆
−b−i −∆
K x" =
2a
2a
c) Équation du second degré à coefficients complexes
az²+bz+c = 0
avec a, b et c complexes
Calcul du discriminant ∆ = b²-4ac
calculer ω1 et ω2 racines de ∆ = ω²
les solutions de l ’équation sont
z1 = (-b+ ω1 )/2a et z2 =(-b+ ω2 )/2a
IV Racines n ième d ’un complexe
Solutions de Zn = z
[ρn,nθ]
= [δ,α]
⇔
[ρ,θ]n = [δ,α]
 ρ=n δ

α 2kπ

θ = n + n
 n α 2kπ 
zk =  δ , +
n
n 

k∈Z∩[0,n-1]
Racines n ième de l ’unité
n
n
n
[
[
]
[
]
ρ
θ
=
⇔
ρ
,
1
,
0
, nθ ] = [1 ,0]
Z =1
ρ = 1
 ρ n= 1

⇔

 θ = 2kπ
k ∈ [0, n − 1]
nθ = 2kπ


zk = e
2 ikπ
n
n
Racines troisième de l ’unité
[ρ ,θ ]3 = [1,0]
Z3 =1
 ρ =1
 ρ 3= 1

⇔

θ = 2kπ
3θ = 2kπ


j
1
k ∈ [0,2]
3
j2
2π
2π
i
−i
1
3
1
3
3
= e = j, z2 = − − i
= e 3 = j2
z0 = 1, z1 = − + i
2
2
2
2
1+ j + j2 = 0
V Applications à la trigonométrie
a) Formule de Moivre
(cosθ + isinθ)n = cos nθ + isin nθ
b) Linéarisation formules d ’Euler
z = eiθ

e iθ + e − iθ 
e inθ
cosθ =
cos nθ =
2

iθ
− iθ K 
inθ
−
e
e
e
 sin θ =
 sin nθ =


2i
+ e − inθ
2
− e −inθ
2i