Aucun titre de diapositive

NOMBRES COMPLEXES
I Ensemble des nombres complexes
Dans R l ’équation x2+1=0 n ’a pas de solution, dans C ensemble des
complexes, i est une solution de cette équation. Un complexe z s ’écrit sous la
forme z=a+ib ; a est la partie réelle et b la partie imaginaire (forme algébrique)
Égalité de deux complexes a+ib=a ’+ib ’⇔a=a ’ et b=b ’
Somme de deux complexes (a+ib)+(a ’+ib ’)=(a+a ’)+i(b+b ’)
Produit de deux complexes (a+ib)(a ’+ib ’)=(aa ’-bb ’)+i(ab ’+a ’b)
L ’ensemble des complexes muni de cette addition et de cette
multiplication possède une structure de corps
Puissances de i
i2= -1
i3= -i
i4= 1
i4k = 1
i4k+1 = i
i4k+2 = -1
i4k+3 = -i

Le conjugué du complexe z = a+ib est le complexe z = a-ib
Propriétés : z = z z+z ’ = z + z ’ zz ’ = z z ’
'
'z
z
z
z=
Re(z+z ’) = Re(z) +Re(z ’)
Im(z+z ’) = Im(z) +Im(z ’)
Re(z) =Re(z) Im(z) = - Im (z)
z+z = 2 Re(z)
z-z = 2iIm(z)
MZ = a+ib
Z =a-ib
M’
Z s ’appelle
l ’affixe de M
et M est
l ’image de Z

II Forme trigonométrique d ’un complexe
M
O
θ
ρ
i
j
Module du complexe z
OM =ρ
Argument du complexe z
(i ,OM) = θ
=
=
+=
⇔
=
=
ρ
θ
ρ
θ
ρ
θρ
θρ
y
x
yx
y
x
sin
cos
sin
cos
22 Z = [ρ,θ] =ρ(cosθ+sinθ)
forme trigonométrique du
complexe z
[
]
[]
−= ',
'','
,
θθ
ρ
ρ
θρ
θρ
[
][ ]
[
]
','',',
θ
θ
ρ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
+
=
θ
ρ
i
ez =
Forme exponentielle d ’un complexe

III Équations dans C
a) Résolution de Z²=z
+=+
=
=−
⇔+=+
22
²²
2
²²
)²(
βα
β
α
βα
yx
xy
yx
iiyx
b) Équations du second degré à coefficients réels
ax²+bx+c=0 avec a,b et c réels
a
b
x
a
b
x2 "
2
'0 ∆−− +
∆+−
=>∆ KK
a
b
xx 2 "'0
−
===∆ K
a
ib
x
a
ib
x2 "
2
'0 ∆−−− =
∆−+−
=<∆ KK

c) Équation du second degré à coefficients complexes
az²+bz+c = 0 avec a, b et c complexes
Calcul du discriminant ∆= b²-4ac
calculer ω1et ω2racines de ∆= ω²
les solutions de l ’équation sont
z1= (-b+ ω1)/2a et z2=(-b+ ω2)/2a
IV Racines n ième d ’un complexe
[ρ,θ]n = [δ,α]
Solutions de Zn= z
⇔
[ρn,nθ] = [δ,α]
+=
=
n
k
n
n
πα
θ
δρ
2
k∈Z∩[0,n-1]
+= n
k
n
zn
k
πα
δ
2
,