DS commun dec 08 - expo + complx CORRECTION

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DS COMMUN – TS – Décembre 2008 – 4h
Vous avez 4 exercices à traiter.
Le sujet comporte 3 pages.
Il est conseillé d’utiliser une feuille par exercice.
La clarté de la rédaction et le soin prennent une part importante du barème.
Le barème, sur 30, est donné à titre indicatif.
EXERCICE 1 : ( 6 points)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct(O,
→
u ,
→
v ) on considère
l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’,
telle que z’ = z² – 4z.
1) Soient A et B les points d’affixes z
A
= 1 – i et z
B
= 3 + i.
Calculer les affixes z
A’
et z
B’
des points A’ et B’, images de A et B par f.
2) Soit I le point d’affixe -3.
a. Démontrer que OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si z² – 3z + 3=0.
b. Résoudre l’équation z² - 3z + 3 = 0 dans IC.
3) Restitution organisée des connaissances :
a. Donner la définition de l’argument d’un complexe non nul z.
b. Démontrer que si A, B, C, D sont 4 points distincts du plan, d’affixes
respectives a, b, c, d, alors (
→
AB,
→
CD) = arg
d – c
b – a
4)
a. Exprimer (z’ + 4) en fonction de (z – 2). En déduire une relation entre |z’ + 4| et
|z – 2| d’une part et arg(z’ + 4) et arg(z – 2) d’autre part.
b. On considère les points J et K d’affixes respectives z
J
= 2 et z
K
= - 4.
Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon 2 ont leur
image M’ sur un cercle que l’on déterminera.
c. Soit E le point d’affixe z
E
= -4 – 3i.
Donner la forme trigonométrique de (z
E
+ 4) puis démontrer à l’aide de 4a)
qu’il existe 2 points dont l’image par f est le point E.
Préciser la forme algébrique des affixes de ces deux points.

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EXERCICE 2 : (toutes les classes) QCM ( 7 points)
Pour chaque question, une seule des 3 propositions est exacte. Vous indiquerez clairement sur
votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Barème : Une réponse juste et rigoureusement justifiée rapporte 1 point.
Dans tous les autres cas, on comptera 0 point.
Le plan complexe est muni du repère orthonormé (O,
→
u ,
→
v )
Question 1 : La solution de l’équation 2z + z = 9 + i est :
A : 3 B : i C : 3 + i
Question 2 : Soit z un nombre complexe. |z + i| est égal à :
A : |z| + 1 B : | z – 1 | C : |iz + 1|
Question 3 : Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de -1 + i 3
z est :
A : -
π
3 + θ B :
2π
3 + θ C :
2π
3 – θ
Question 4 : Soit n un entier naturel. Le complexe ( 3 + i)
n
est imaginaire pur si et seulement si :
A : n = 3 B : n = 6k + 3 k Є IN C : n = 6k k Є IN
Question 5 : Soient A et B deux points d’affixes respectives i et -1. L’ensemble des points M
d’affixe z vérifiant |z – i | = |z + 1| est :
A : la droite (AB) B : le cercle de diamètre [AB] C : la droite perpendiculaire
à (AB) passant par O.
Question 6 : Soit Ω le point d’affixe 1 – i. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant
l’équation |z – 1 + i | = |3 – 4i| a pour équation :
A : y = -x + 1 B : (x – 1)² + y² = 5 C : x² + y² - 2x + 2y – 23 = 0
Question 7 : Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le
triangle ABC soit isocèle avec (
→
AB ;
→
AC) = π
2 est :
A : 1 – 4i B : -3i C : 7 + 4i

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EXERCICE 3 : ( 8,5 points)
On considère la fonction f définie sur IR par 
 f(x) = x e
x
e
x
– 1 si x ≠ 0
f(0) = 1 .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,
→
i ,
→
j ) .
1) a. Déterminer la limite de f en - ∞.
b. Etablir que, pour tout réel x non nul, f(x) = x
1 – e
-x
.
En déduire la limite de f en + ∞
2) Donner, sans la démontrer, la limite suivante : lim
x → 0
e
x
– 1
x
La fonction f est elle continue en 0 ?
3) Etudier les variations de ϕ(x) = e
x
– x – 1 sur IR.En déduire le signe de ϕ suivant
les valeurs de x.
4) Déterminer la fonction dérivée de f, notée f ’, puis étudier les variations de f à l’aide de
la question 3). Dresser enfin le tableau de variation de f.
5) Soient x un nombre réel non nul, M et M’ les points de C de coordonnées M (x ; f(x))
et M’ ( -x ; f(-x) ).
Déterminer le coefficient directeur de la droite (MM’). Que constate t on ?
6) En supposant que f soit dérivable en 0, comment interpréter le résultat précédent ?
EXERCICE 4 : ( 8,5 points)
PARTIE A : Etude d’une fonction auxiliaire g
La fonction g est définie sur IR par g(x) = 2e
x
+ 2x – 7
1) Etudier les limites de g en -∞ et en +∞.
2) Etudier le sens de variation de la fonction g sur IR et dresser son tableau de variation.
3) Justifier que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α. Donner un encadrement
de α d’amplitude 10
-2
.
4) Etudier le signe de g sur IR.
PARTIE B : Etude d’une fonction f.
La fonction f est définie sur IR par f(x) = (2x – 5)(1 – e
– x
).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,
→
i ,
→
j ).
1) Etudier le signe de f sur IR.
2) Etudier les limites de f en – ∞ et en + ∞.
3) Calculer la fonction dérivée de f, notée f ’(x), et dresser le tableau de variation de f.
(On pourra utiliser les résultats de la partie A)
4) Démontrer l’égalité f(α) = (2α – 5)²
2α – 7
5) Démontrer que la droite (D) d’équation y = 2x – 5, est asymptote à C en + ∞.
Préciser les positions respectives de C et (D).
6) Tracer la droite (D) et la courbe C dans le repère (O,
→
i ,
→
j ) (unité graphique : 2cm)

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CORRECTION
EXERCICE 1 :
1) z
A’
= z
A
² – 4z
A
= (1 – i)² – 4(1 – i) = -4 + 2i A’ a pour affixe -4 + 2i
z
B’
= z
B
² – 4z
B
= (3 + i)² – 4(3 + i) = -4 + 2i A’ et B’ sont confondus.
2) OMIM’ est un parallélogramme ssi
→
MO =
→
IM’ soit 0 – z = z’ + 3 soit z² – 4z + 3 + z = 0,
soit :
a.
→
MO =
→
IM’  0 – z = z’ + 3  z² – 4z + 3 + z = 0  z² – 3z + 3 = 0.
b. ∆ = -3 < 0 : l’équation admet 2 solutions complexes conjuguées : {3 – i 3
2 ; 3 + i 3 2}
3) Voir cours.
4) Suite :
a. z’ + 4 = z² – 4z + 4 = (z – 2)². D’après les propriétés du module et de l’argument :
|z’ + 4| = |z – 2|² arg(z’ + 4) = 2 arg(z – 2)
b. M є C  MJ = 2 |z – 2| = 2  |z’ + 4| = 4  KM’ = 4  M’ est un point du cercle de
centre K, rayon 4.
c. z
E
+ 4 = -3i = 3(cos (-π
2) + i sin(-π 2) )
Si z
E
+ 4 = -3i, alors | z
E
+ 4| = 3 et arg(z
E
+ 4) = - π
2
donc les affixes des antécédents éventuels de z
E
vérifient |z – 2| = 3 et
2 arg(z – 2) = - π
2 + 2kπ soit arg(z – 2) = - π 4 + kπ soit arg(z – 2) = -π 4 ou 3π 4 [2π]
Donc z – 2 = 3 exp(- iπ
4) ou z – 2 = 3 exp( 3iπ 4 )
Autrement dit, z = (2 + 6
2) – i 6 2 ou z = (2 – 6 2) + i 6 2
EXERCICE 2 : QCM :
1 2 3 4 5 6 7
C C B B C C A
Question 1) : essayer chaque réponse.
Question 2) : |iz + 1| = |i( z – i) | = 1| z – i | = | z – i | = |z + i |.
Réponse A = erreur impardonnable !!
Réponse B = fausse avec comme contre exemple z = 1 |1 + i|≠ 0
Question 3) : arg(-1 + i 3
z) = arg(-1 + i 3) – arg( z ) = 2π
3 + arg z = 2π 3 + θ
Question 4) : ( 3 + i)
n
є iIR  arg ( 3 + i)
n
= π
2 [π]  n.arg ( 3 + i) = π 2 +kπ (k є ZZ)
 nπ
6 = π 2 + kπ  n = 3 + 6k (k є ZZ)

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Question 5) : L’égalité se traduit par AM = BM soit M décrit la médiatrice de [AB]. Or OA = OB
(puisque |i| = |-1|) donc la médiatrice passe bien par O.
Question 6) : |z – 1 + i |² = |(x – 1) + i(y + 1) |² = (x – 1)² + (y + 1)²| = x² + y² – 2x + 2y + 2
|3 – 4i|² = 5² = 25
Les 2 membres étant strictement positifs, il y a égalité ssi : x² + y² - 2x + 2y – 23 = 0
Question 7) : ABC soit être rectangle isocèle, soit si z
C
– z
A
z
B
– z
A
= i (interprétation module argument).
On vérifie donc que z
C
= i(3i – 4) + 4 = 1 – 4i
EXERCICE 3 :
1) a. lim
x → -∞
xe
x
= 0- (croissances comparées) et lim
x → -∞
e
x
– 1 = -1. Par quotient :
lim
x → -∞
f(x) = 0 +
b. (mettre e
x
en facteur) lim
x → +∞
x = +∞ lim
x → +∞
1 – e
-x
= 1 Par quotient :
lim
x → +∞
f(x) = +∞
2) Cours : lim
x → 0
e
x
– 1
x = 1 f(x) = e
x
. x
e
x
– 1 avec lim
x → 0
e
x
= 1 et lim
x → o
x
e
x
– 1 = 1
Donc lim
x → 0
f(x) = 1 Or f(0) = 1 donc lim
x → 0
f(x) = f(0) : f est continue en 0 .
3) φ est dérivable (somme de fonctions dérivables) et φ’(x) = e
x
– 1.
φ’(x) > 0  e
x
> 1  x > 0 ( la fonction exp. est strictement croissante).
Donc φ est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ et strictement croissante sur [0 ; +∞[ :elle admet
donc un minimum en 0, qui est φ(0) = 0. Donc φ(x) ≥ 0 sur IR
4) f est dérivable sur IR* comme quotient de fonctions dérivables, et
f ’(x) = (e
x
+ x.e
x
)(e
x
– 1) – e
x
(x.e
x
)
(e
x
– 1)² = e
x
[(1 + x)(e
x
– 1) – (x.e
x
)]
(e
x
– 1)² = e
x
[e
x
– x – 1]
(e
x
– 1)² = e
x
φ(x)
(e
x
– 1)²
Or e
x
> 0 , φ(x) ≥ 0 , (e
x
– 1)² > 0 pour tout x réel . Donc f ’ est
positive, et f strictement croissante sur IR*. D’où le tableau de
variations :
5) Le coefficient directeur cherché est
f(-x) – f(x)
-x – x = - 1 2x 
-x.e
-x
e
-x
– 1 – xe
x
e
x
– 1 = - 1
2x 
-x
1 – e
x
– xe
x
e
x
– 1
= - 1
2x x(1 – e
x
)
e
x
– 1 = 1 2
Ce coefficient directeur est constant !
6) Lorsque x tend vers 0, la droite (MM’) s’assimile
à la tangente à C en 0 : le coefficient de cette dernière serait donc 1
2,
autrement dit si f est dérivable en 0, alors f ’(0) = 1
2
x -∞ 0 +∞
f ’(x) + ? +
f(x) +∞ 1
0+