Séquence n°3 :Arithmétique I Divisibilité II PGCD III Fractions

Séquence n°3 :Arithmétique
I Divisibilité
II PGCD
III Fractions irréductibles
I DIVISIBILITE
1°) Division euclidienne
Soit a et b deux nombres entiers positifs avec b 0.
Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs
q et r tels que        et   
 s’ appelle le quotient et  est le reste.
Exemple n°1: Poser et écrire en ligne la division euclidienne de 485 par 23
     Le quotient est 21 et le reste est 2.
Exemple n°2 : Avec la calculatrice, on effectue la division euclidienne de 723 par 16.
En utilisant la touche ÷R ou on obtient Q=45 et R=3.
2°) Diviseurs d’un nombre entier
Soit deux nombres a et b deux nombres entiers positifs avec b 0. On dit que b est un
diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que     , c'est-à-dire quand
le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0.
Exemple :   donc 3 est un diviseur de 48
16 est aussi un diviseur de 48
Remarque : On dit que : b divise a
a est un multiple de b
a est divisible par b
a est dans la table de multiplication de b

Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2 , 4 , 6ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers
chiffres est divisible par 4.
Exemple: Prouver que le nombre 96 est divisible par 3.
9 + 6 = 15
15 est divisible par 3
Donc 96 est divisible par 3.
Propriété :Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs 1 et lui-
même.
Exemple n°1 : Le nombre 48 admet au moins deux diviseurs 1 et 48.
Exemple n°2: Diviseurs de 48.
Donc les diviseurs de 48 sont 1 ; 2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;16 ;24 et 48.
3°) Nombre premier
Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs ( 1 et lui-même) est un nombre
premier.
Exemple:
Le nombre 13 admet exactement deux diviseurs 1 et 13 donc 13 est un nombre premier.