Séquence n°3 :Arithmétique I Divisibilité II PGCD III Fractions irréductibles I DIVISIBILITE 1°) Division euclidienne Soit a et b deux nombres entiers positifs avec b 0. Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que et s’ appelle le quotient et est le reste. Exemple n°1: Poser et écrire en ligne la division euclidienne de 485 par 23 Le quotient est 21 et le reste est 2. Exemple n°2 : Avec la calculatrice, on effectue la division euclidienne de 723 par 16. En utilisant la touche ÷R ou on obtient Q=45 et R=3. 2°) Diviseurs d’un nombre entier Soit deux nombres a et b deux nombres entiers positifs avec b 0. On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0. Exemple : donc 3 est un diviseur de 48 16 est aussi un diviseur de 48 Remarque : On dit que : b divise a a est un multiple de b a est divisible par b a est dans la table de multiplication de b , c'est-à-dire quand Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2 , 4 , 6ou 8. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple: Prouver que le nombre 96 est divisible par 3. 9 + 6 = 15 15 est divisible par 3 Donc 96 est divisible par 3. Propriété :Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs 1 et luimême. Exemple n°1 : Le nombre 48 admet au moins deux diviseurs 1 et 48. Exemple n°2: Diviseurs de 48. Donc les diviseurs de 48 sont 1 ; 2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;16 ;24 et 48. 3°) Nombre premier Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs ( 1 et lui-même) est un nombre premier. Exemple: Le nombre 13 admet exactement deux diviseurs 1 et 13 donc 13 est un nombre premier.