Nicolas CHUQUET

Nicolas CHUQUET
Calcul de racines carrées
Le triparty en la science des nombres
Nicolas CHUQUET, la seule chose connue de lui est donnée à la fin de son manuscrit
« Et ainsi a lonneur de la glorieuse trinité se termine ce livre lequel pour raison de ces troys
parties generales je lappelle triparty. Et aussi pour cause quil a este fait par Nicolas Chuquet
parisien Bachelier en medecine. Je le nomme triparty de Nicolas en la science des nombres.
Lequel fut composé medie et finy a lyon sus le rosne lan de salut 1484 ».
L’auteur a été cité par deux algébristes du XVIème siècle, Butéon et Gosselin. Le
manuscrit a été découvert et publié en 1881. Il avait été « éclipsé » par l’Arismetique
d’Etienne de la Roche imprimée à Lyon en 1520. On s’est alors aperçu que l’œuvre de la
Roche était un plagiat souvent appauvri du Triparty. L’ouvrage est écrit en français, sans
doute l’un des tous premiers textes mathématiques écrits dans cette langue. Plusieurs termes
ou expressions nous sont aujourd’hui étrangers. La rédaction sans accent, cédille, trait d’union
ni même ponctuation contient encore quelques bribes de « latinisme ». Les termes
mathématiques sont souvent des italianismes, il ne faut pas oublier l’influence italienne à
Lyon et l’importance des algébristes italiens à cette époque. Des variées et nombreuses
abbréviations sont utilisée comme _cher pour chercher; perfect on pour perfection ; convent
pour convient; _uir pour servir; come ou coe pour comme …
Le livre est divisé en trois parties
Première partie 1 Traicte des nombres entiers ; 2 Traicte des nombres routz (Nombres
rompus, fraction, en italien rotto) ; 3 Des progressions, des nombres parfaitz, des nombres
proporcionalz et de leurs propriete ; 4 Rigles de trois, de une posicion, de deux posicions, de
apposicion et de remocion, rigle des nombres moyens .
Seconde partie Des racines simples, composées, lyees (six chapitres)
Tierce et derreniere partie Rigle des premiers, Excellence de cette rigle qui est la clef lentree
et la porte des abismes qui sont en la science des nombres (trois chapitres).
L’original est un manuscrit du « FONDS FRANÇAIS N° 1346 » de la BNP. Il a été édité et
commenté dans le
Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, Tome XIII –
Settembre, Novembre, Dicembre 1880, Rome Imprimerie des sciences mathématiques et
physiques Via Lata n° 3 1881
Le document est précédé d’une notice d’Aristide MARRE.
L’extraction des racines imparfaites
Comme il a été dit avant les nombres ne sont pas de
vrais carrés en tant que d’eux on ne peut avoir de
racine seconde précise. Car leur racines multipliées par
elle mêmes montent toujours plus ou moins que le
nombre dont elles sont racines. Et c’est pour cela
qu’elles sont dites racines imparfaites qui ne dont
l’extraction n’est que labeur sans utilité. Néanmoins
pour la perfection de ce livre une manière de les
chercher est mise aussi proche de la perfection qu’il est
possible. Et pour rentrer dans la pratique, il convient de
savoir que pour servir dans ce cas il y a deux sortes de
progressions, celle qui progresse en augmentant
1 2 3 4
comme
,
,
,
etc. et celle qui progresse en
2 3 4 5
1 1 1 1
diminution comme est , , ,
etc.
2 3 4 5
Alors pour extraire toutes les racines imparfaites on
peut faire de cette manière comme par exemple si on
voulait extraire la racine seconde imparfaite de .6. Il
convient de besogner d’abord de la manière précédente
dite pour les nombres carrés en divisant les figures du
nombre proposé de deux en deux tant qu’il y en a et
négocier le plus ou le moins comme il est dit avant.
Donc la racine de .6. est .2. car .2. fois .2. font .4. et il
reste encore deux. Puisqu’ainsi .2. pour racine ne suffit
pas pour approcher suffisamment de .6. Et aussi que
celui qui prendrait .3. pour racine, il prendrait trop.
C’est pour cela que la R 2 de .6. est un certain nombre
moyen entre .2. et .3. Et pour trouver celui-ci on doit
user de la règle des nombres moyens mise à la fin de la
première partie de ce livre et prendre pour le premier
1
1
moyen .2 . qui multiplié par lui même monte à .6 .
2
4
1
qui sont . plus de .6. C’est pourquoi nous prendrons
4
moins en procédant par la progression de diminution et
1
essayerons si .2 . multiplié par lui même est plus ou
3
moins de .6. Or il se fait il ainsi qu’il monte à .6. moins
5
. Maintenant que nous avons trouvé deux racines
9
dont l’une fait plus et l’autre moins, il convient de
1
1
trouver un nombre moyen entre .2 . et . 2 . en
3
2
ajoutant numérateur avec numérateur et dénominateur
2
avec dénominateur et il en vient .2 . Maintenant
5
2
essaye ta racine en multipliant .2. . par lui-même et
5
6
tu trouveras .6. moins .
. Il convient donc de
25
2
1
trouver un autre nombre moyen entre .2 . et .2.
.
5
2
3
En ajoutant comme ci-dessus et l’on aura .2. . Qui
7
5
multiplié par lui même monte à .6. moins
. Et je
49
peux procéder de cette manière en ajoutant le moins
avec le plus ou le plus avec le moins jusqu’à ce que
2 2 +1
n
1+1
3
=
,
=
. Plus généralement
,
3 3 +1
n +1
2 +1
4
(n + 1) 2 − n(n + 2)
n +1
n +1
n
, car
=
=
(n + 1)(n + 2)
n+2
n+2
n +1
1
> 0.
(n + 1)(n + 2)
Il semble que Chuquet dit que sa méthode est valable
pour toute racine nième puisqu’il précise ensuite racine
seconde.
Il s’agit de la méthode d’extraction des racines carrées
« à la main ».
2× 2 = 6 – 2
3× 3 = 6 + 3
2
1
1
1
×2 =6+ .
2
2
4
2
1
1
7
7 49
4
5
×2 = × =
=5 =6- .
3
3
3
3
9
9
9
1
1+1
2
2
1
1
1
et
donnent
= . On a
=
et
3
2+3
5
5
3
15
2
1
1 2 1
1 2
=
, donc < < .
10
3 5 2
2 5
2
2
2
12 12 144
19
6
×2 =
×
=
=5
=6.
5
5
5
5
25
25
25
En ajoutant comme ci-dessus et l’on aura .2.
3
. Qui
7
5
. Et je
3
3
17 17 289
44
5
×
2 ×2 =
=
=5
=6.
49
7
7
7
7
49
49
49
peux procéder de cette manière en ajoutant le moins
avec le plus ou le plus avec le moins jusqu’à ce que
l’on s’approche bien près de .6. d’ un petit peu plus ou
d’un petit peu moins autant qu’on le trouve suffisant.
Et l’on doit savoir que tant et plus qu’on continuerait
de cette manière tant et plus près de .6. on
s’approcherait.
Mais jamais on ne l’atteindra précisément. Et de tout
cela s’en suit que par cette pratique on trouve la racine
89
de .6. bonne et suffisante qui est .2.
. laquelle
198
1
89
89
485
485
235225
multipliée par elle même produit .6. plus
.
×2
×
2
=
=
=
39304
198
198
198
198
39204
1
1
1
Par .2. . plus
.
6+
2
4
39204
1
5
Par .2. . moins
.
3
9
3
5
Par .2. . moins
.
7
49
4
2
Par .2. . moins
.
9
81
5
3
Par .2.
. moins
.
11
121
9
1
Par .2.
. plus
.
20
400
13
5
Par .2.
. moins
.
29
841
22
6
Par .2.
. moins
.
49
2401
31
5
Par .2.
. moins
.
69
4761
40
2
Par .2.
. moins
.
89
7921
49
3
Par .2.
. plus
.
109
11881
89
1
Par .2.
. plus
.
198
39204
Et celui qui voudrait chercher plus loin il trouverait
881
1
par .2.
. plus
.
1960
3341600
multiplié par lui même monte à .6. moins
Application à la recherche de la racine carrée de 13
13 est 3 et il reste 4 donc 3 ne suffit pas et si on prend 4 on prend trop.
13 , la racine carrée est un certain nombre moyen entre 3 et 4. On prend pour premier moyen
1
1
1
1
3
3 et 3 fois 3 font 12 donc moins de 13.
2
2
2
4
4
2
On prend 3 et le nombre suivant de la progression qui est :
3
2
2
4
4
3 fois 3 font 13 donc plus de 13.
3
3
9
9
1
3
On cherche un nombre moyen dont le carré est compris entre 12 donc moins
de 13 et
4
4
4
4
2
1+ 2
3
3
1
13 donc plus
de 13. C’est à dire entre 3 et 3 . On prend alors 3
soit 3 et 3
9
9
3
2+3
5
5
2
3
24
1
24
1
fois 3 font 12
donc moins
de 13. Comme 13 est compris entre 12
donc moins
5
25
25
25
25
4
4
2
3
de 13 et 13 donc plus de 13, on prend un nombre moyen entre 3 et 3 . On prend alors
9
9
3
5
2+3
5
5
5
9
9
3
soit 3 et 3 fois 3 font 13
donc plus
de 13. Comme 13 est compris entre
3+5
8
8
8
64
64
24
1
9
9
12
donc moins
de 13 et 13
donc plus
de 13, on prend un nombre moyen entre
25
25
64
64
3
5
3+5
8
8
8
12
12
3 et 3 . On prend alors 3
soit 3 et 3 fois 3 font 13
donc plus
de 13 …
5
8
5+8
13
13
13
169
169
Gérard HAMON
IREM Rennes