Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale ES 16 mai

Lycée Marlioz - Aix les Bains
Bac Blanc 2012
Mathématiques - Terminale ES
ig
at
oi
16 mai 2012
re
Candidats n’ayant pas choisi la spécialité maths
O
bl
Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications
entrent pour une large part dans l’appréciation des copies, sauf mention
explicite du contraire dans l’énoncé.
Le barème est donné à titre indicatif.
Les calculatrices sont autorisées.
Aucune sortie définitive n’est autorisée avant 11h00.
1
TES 1 et 3
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Exercice 1 (4 points).
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ] − ∞ ; 6[.
On note f 0 la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ] − ∞ ; 6[ et Cf la courbe
représentative de f dans un repère du plan.
On donne le tableau de variations de la fonction f ci-dessous.
x
f
−∞
1
−2
1
5
6
& 0 % & −∞
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant
la réponse.
1.
2.
3.
4.
Pour tout nombre de l’intervalle ] − ∞ ; 1], on a f 0 (x) > 0.
La courbe Cf admet une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées.
La droite d’équation y = 5 est tangente à la courbe Cf .
Si h est la fonction définie sur ] − ∞ ; 6[ par h(x) = ef (x) , on a lim h(x) = −∞.
x→6
Exercice 2 (5 points).
À l’occasion d’un festival culturel, une agence de voyages propose trois types de transport pour
permettre à chaque client de se rendre dans la ville organisatrice afin d’assister à la cérémonie
d’ouverture.
Les trois moyens de transport proposés sont l’avion, le train ou le car.
À chacun des clients qui achètent un billet de transport, l’agence propose de souscrire une
assurance multirisque qui permet, sous certaines conditions, une indemnisation en cas de retard
ou de vol de bagages.
Une enquête montre que 55 % des clients choisissent l’avion, que 40 % choisissent le train et
que les autres choisissent le car.
De plus, parmi les clients ayant choisi l’avion, 20 % ont souscrit l’assurance multirisque ; ils
sont 8 % à choisir cette assurance parmi ceux qui ont choisi le voyage en train et seulement 4 %
parmi ceux qui ont choisi le car.
On prend au hasard le dossier d’un client qui se rendra à la cérémonie d’ouverture du festival,
chaque dossier ayant la même probabilité d’être choisi.
On note :
• A l’évènement : « Le client a acheté un billet d’avion » ;
• T l’évènement : « Le client a acheté un billet de train » ;
• C l’évènement : « Le client a acheté un billet de car » ;
• S l’évènement : « Le client a souscrit une assurance multirisque » et S son évènement
contraire.
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d’un client qui voyagera en train et
qui a souscrit une assurance multirisque. On donnera la valeur exacte de cette probabilité.
3. Montrer que la probabilité de l’évènement S est égale à 0,144.
4. On prend un dossier au hasard parmi les clients n’ayant pas souscrit une assurance multirisque.
Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d’un client voyageant en train. Le résultat
sera donné arrondi au millième.
TES 1 et 3
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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On choisit trois dossiers au hasard, indépendamment les uns des autres.
Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au moins deux des dossiers concernent
un client ayant souscrit l’assurance multirisque.
Exercice 3 (6 points).
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par
f (x) = 18 ln x − x2 + 16x − 15.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet
que f (x) représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f 0 sa fonction dérivée.
PARTIE A
1. Calculer f 0 (x). Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], on
a:
f 0 (x) =
−2x2 + 16x + 18
x
2. Étudier le signe de f 0 (x) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction
f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
3. a. Calculer f (1).
b. Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α.
Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10−2 près.
c. En déduire le signe de f (x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].
4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit
produire et vendre pour être bénéficiaire ?
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 e ? Justifier la réponse.
PARTIE B
1. On admet que la fonction G définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par G(x) = x ln x − x est
une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle ]0 ; +∞[. En déduire une
primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
2. Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b], où a < b.
La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ; b] est le nombre réel m défini par
1 Zb
m=
f (x) dx
b−a a
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la centaine
d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires.
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Exercice 4 (5 points).
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i, ~j) d’unité graphique 2 cm.
On s’intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l’ensemble des réels R par
f (x) = −1 + xex .
On note C sa courbe représentative dans le repère (O;~i, ~j).
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Déterminer la limite de la fonction f en −∞. Interpréter graphiquement cette limite.
(On rappelle le résultat : lim xex = 0)
x→−∞
2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f 0 sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout nombre réel x on a f 0 (x) = (x + 1)ex .
b. Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l’extremum sera arrondie
à 10−2 ).
3. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 1].
Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2 .
4. Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est
y = x − 1.
5. Dans le repère (O;~i, ~j) tracer la droite T et la courbe C.
TES 1 et 3
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Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1.
1. Faux : car f est décroissante sur ] − ∞; −2] donc f 0 (x) ≤ 0 sur cet intervalle.
2. Vrai : la droite d’équation x = 6 car limx→6 f (x) = −∞.
3. Vrai : car f est dérivable en 1 et qu’en ce point, il y a un changement de signe de la
dérivée donc f 0 (1) = 0 et de plus f (1) = 5 donc T5 : y = 5.
4. Faux : on a vu que limx→6 f (x) = −∞ ; de plus limX→−∞ eX = 0 donc limx→6 ef (x) = 0
(composition de limites).
Corrigé de l’exercice 2.
1.
0,2
S
0,8
S
0,08
S
0,92
S
0,04
S
0,96
S
A
5
0,5
Ω
0,4
T
0,0
5
C
2. On cherche p(T ∩ S) = p(T ) × pT (S) = 0,4 × 0,08 = 0,032.
3. D’après la formule des probabilités totales, on a :p(S) = p(T ∩ S) + p(A ∩ S) + p(C ∩ S) =
0,11 + 0,032 + 0,002 = 0,144.
4. On cherche pS (T ) =
p(S∩T )
p(S)
=
0,4×0,92
1−0,144
≈ 0,430.
5. On répète trois fois la même expérience aléatoire ayant deux issues : S ou S. Il s’agit
donc d’une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,144. En dressant un arbre des
possibilités, on constate que trois branches aboutissent à deux « S » et une seule à trois
« S ». On a donc la probabilité cherchée qui vaut :
3 × 0,1442 × (1 − 0,144) + 1 × 0,1443 ≈ 0,056
Corrigé de l’exercice 3.
Partie A
1. Pour x ∈ [0,5; 25] on a f 0 (x) = 18 ×
1
x
− 2x + 16 =
18−2x2 +16x
x
2
=
−2x2 +16x+18
.
x
2. Sur [0,5; 25] on a x > 0 donc f 0 (x) est du signe de −2x + 16x + 18 dont le discriminant
vaut ∆ = 400 > 0. Ce trinome a donc deux racines : x1 = −16−20
= 9 et x2 = −1. On
−4
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obtient donc :
0,5
x
f 0 (x)
f
9
25
0
−
≈ 87,6
≈ −19,7 %
& ≈ −182
+
3. a. f (1) = 0.
b. Sur [18; 19] la fonction f est strictement décroissante et continue (car dérivable) de
plus f (18) ≈ 1,03 > 0 et f (19) ≈ −19 < 0 donc d’après le théorème de la valeur
intermédiaire, l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans [18; 19].
En utilisant la calculatrice, on obtient : 18 < α < 18,1 puis 18,05 < α < 18,06 et enfin
18,053 < α < 18,054 donc α ≈ 18,05.
c. En utilisant les résultats des deux questions précédentes, on obtient :
x 0,5
f (x)
1
α
− 0 +
0
25
−
4. Pour que l’entreprise réalise du bénéfice (éventuellement nul), on doit avoir f (x) ≥ 0 soit
x ∈ [1; α]. L’entreprise doit donc produire et vendre entre 100 et 1 805 panneaux solaires.
5. L’entreprise réalise un bénéfice de 100 000 e si f (x) = 100. Or d’après les variations de f ,
son maximum est environ 87,6. Il n’est donc pas possible de réaliser un bénéfice supérieur
à 87 600 e.
Partie B
1. Une primitive de f sur [0,5; 25] est la somme de G et d’une primitive de la fonction
polynome x 7→ −x2 + 16x − 15 ; on peut donc prendre :
F (x) = 18x ln(x) − 18x −
1
1
× x3 + 8x2 − 15x = 18x ln(x) − x3 + 8x2 − 33x
3
3
2. On a :
1 Z 18
f (x)dx
18 − 1 1
1
=
× [F (x)]18
1
17
1
=
× (F (18) − F (1))
17
≈ 59,8
m =
Le bénéfice moyen mensuel de l’entreprise pour une production (vendue) entre 100 et
1 800 panneaux solaires est donc de 59 800 e.
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Corrigé de l’exercice 4.
1. a. lim xex = +∞ donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
x
b. On a lim xe = 0 donc lim f (x) = −1. Donc la droite ∆ d’équation y = −1 est
x→−∞
x→−∞
asymptote horizontale à C en +∞.
2. a. Pour x ∈ R on a f 0 (x) = 0 + 1 × ex + x × ex = (x + 1)ex .
b. Pour tout x ∈ R on a ex > 0 donc f 0 (x) est du signe de x + 1 :
x −∞
f 0 (x)
−1
−
0
+∞
+
−1
f
+∞
& −1,37 %
3. La fonction f est strictement croissante sur [0; 1] et continue (car dérivable) de plus
f (0) = −1 < 0 et f (1) = −1 + e ≈ 1,7 > 0 donc d’après le théorème de la valeur
intermédiaire l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [0; 1].
Avec la calculatrice on obtient 0,56 < α < 0,57.
4. T : f 0 (0)(x − 0) + f (0). Or f 0 (0) = 1 et f (0) = −1 donc T : y = x − 1.
5.
C
~j
~i
T
∆