Radical d’un idéal Soit I un idéal d’un anneau commutatif (A, +, ×). On définit le radical de I : √ I = {a ∈ A / ∃n ∈ N an ∈ I} 1. Montrer que √ √ I est un idéal de A. I contient I (prendre n = 1), donc n’est pas vide. Soit a, b des éléments de √ I, n0 , m0 deux indices tels que an0 ∈ I et bm0 ∈ I ; l’anneau étant commutatif, n0 +m0 (a − b) = nX 0 +m0 k=0 n0 + m0 (−1)n0 +m0 −k ak bn0 +m0 −k k Si k ≥ n0 , ak bn0 +m0 −k = an0 ak−n0 bn0 +m0 −k ∈ I (propriété d’absorbance) ; si k < n0 , alors n0 +m0 −k > m0 , donc de même ak bn0 +m0 −k ∈ I. Et, comme I est un sous-groupe de (A, +), (a − b)n0 +m0 ∈ I. Et donc a − b ∈ I. Si c ∈ A, (a × c)n0 = an0 × cn0 ∈ I (propriété d’absorbance), donc a × c ∈ √ I est un idéal. 2. Si A = Z et I = nZ (n ≥ 2), déterminer √ I. 1 √ I. On conclut bien que mr 1 (les mi sont non nuls). On vérifie alors On décompose n en produit de facteurs premiers ; n = pm 1 . . . pr que √ I = Z/(p1 . . . pr Z) 2