Radical d`un idéal

Radical d’un idéal
Soit Iun idéal d’un anneau commutatif (A, +,×). On définit le radical de I:
√I={a∈A / ∃n∈Nan∈I}
1. Montrer que √Iest un idéal de A.
√Icontient I(prendre n= 1), donc n’est pas vide. Soit a, b des éléments de √I,n0, m0deux indices
tels que an0∈Iet bm0∈I; l’anneau étant commutatif,
(a−b)n0+m0=
n0+m0
X
k=0 n0+m0
k(−1)n0+m0−kakbn0+m0−k
Si k≥n0,akbn0+m0−k=an0ak−n0bn0+m0−k∈I(propriété d’absorbance) ; si k < n0, alors n0+m0−k >
m0, donc de même akbn0+m0−k∈I. Et, comme Iest un sous-groupe de (A, +),(a−b)n0+m0∈I. Et
donc a−b∈I.
Si c∈A,(a×c)n0=an0×cn0∈I(propriété d’absorbance), donc a×c∈√I. On conclut bien que
√Iest un idéal.
2. Si A=Zet I=nZ(n≥2), déterminer √I.
1

On décompose nen produit de facteurs premiers ; n=pm1
1. . . pmr
r(les misont non nuls). On vérifie alors
que √I=Z/(p1. . . prZ)
2