Radical d`un idéal

Radical d’un idéal
Soit I un idéal d’un anneau commutatif (A, +, ×). On définit le radical de I :
√
I = {a ∈ A / ∃n ∈ N an ∈ I}
1. Montrer que
√
√
I est un idéal de A.
I contient I (prendre n = 1), donc n’est pas vide. Soit a, b des éléments de
√
I, n0 , m0 deux indices
tels que an0 ∈ I et bm0 ∈ I ; l’anneau étant commutatif,
n0 +m0
(a − b)
=
nX
0 +m0
k=0
n0 + m0
(−1)n0 +m0 −k ak bn0 +m0 −k
k
Si k ≥ n0 , ak bn0 +m0 −k = an0 ak−n0 bn0 +m0 −k ∈ I (propriété d’absorbance) ; si k < n0 , alors n0 +m0 −k >
m0 , donc de même ak bn0 +m0 −k ∈ I. Et, comme I est un sous-groupe de (A, +), (a − b)n0 +m0 ∈ I. Et
donc a − b ∈ I.
Si c ∈ A, (a × c)n0 = an0 × cn0 ∈ I (propriété d’absorbance), donc a × c ∈
√
I est un idéal.
2. Si A = Z et I = nZ (n ≥ 2), déterminer
√
I.
1
√
I. On conclut bien que
mr
1
(les mi sont non nuls). On vérifie alors
On décompose n en produit de facteurs premiers ; n = pm
1 . . . pr
que
√
I = Z/(p1 . . . pr Z)
2