Arithmétique

Pr´eparation CAPES 2007-2008 Page 1
Arithm´etique
Sur le pgcd
Comment d´efinir le pgcd de deux entiers ? Pouvez-vous donner des propri´et´es ca-
ract´eristiques du pgcd ?
Quelle r`egle permet de calculer efficacement le pgcd de deux entiers ?
Calculer :
- pgcd(792,318) ;
- pgcd(11a+ 5b, 13a+ 6b) pour a, b ∈Z;
- pgcd(n!+1,(n+ 1)! + 1) , n∈N.
Connaissez-vous le lemme de Gauss ? Sa d´emonstration ?
Montrer que tout entier n∈Ns’´ecrit de mani`ere unique comme le produit d’un
carr´e et d’un entier sans facteur carr´e (un entier est dit sans facteur carr´e si 1 est le
seul carr´e qui le divise).
Nombres premiers
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Quel est le th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique ?
Savez-vous montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers ?
Connaissez-vous une autre d´emonstration ? (cf. exercice 1)
Connaissez-vous une autre d´emonstration (encore) ? (cf. exercice 2)
Savez-vous montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k−1 ?
`
A propos de Z/mZ
Soit m∈Z, que savez-vous de Z/mZ? Pouvez-vous le d´emontrer ?
Que dire de Z/mZlorsque mest un nombre premier ?
Comment caract´erisez-vous les ´el´ements inversibles de l’anneau Z/mZ?
Calculer l’inverse de 29 modulo 461.
Qu’est-ce que ϕ(m) ? Pouvez-vous donner une formule pour ϕ(m) ?
Pouvez-vous la d´emontrer ? (cf. exercice 3)
Connaissez-vous la preuve par 9 ? Sa justification ?
On pose A= 44444444,Best la somme des chiffres de A,Cest la somme des chiffres
de B,Dest la somme des chiffres de C. Que vaut D?
Th´eor`eme de Wilson
Que dit le th´eor`eme de Wilson ?
Savez-vous le d´emontrer ? (cf. exercice 4)
Que dire de la r´eciproque du th´eor`eme de Wilson ?

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(petit) th´eor`eme de Fermat
Que dit le th´eor`eme de Fermat ?
Savez-vous le d´emontrer ? (cf. exercice 5)
Que dire de la r´eciproque du th´eor`eme de Fermat ? (cf. exercice 6)
Pourquoi dit-on “petit” th´eor`eme de Fermat ? Pouvez-vous d´emontrer le “grand”
th´eor`eme de Fermat ?
G´en´eralisations
Comment peut-on g´en´eraliser le th´eor`eme de Fermat ?
Trouver les deux derniers chiffres (en base 10) de 7979 ? De 797979 ?
Montrer que si nest impair alors n|2n!−1.
Soit mun entier impair non multiple de 5. Montrer qu’il existe un multiple de m
dont l’´ecriture en base 10 ne comporte que des 9 (que des 1).
Nombres de Mersenne
Qu’est-ce qu’un nombre de Mersenne ?
Que pouvez-vous dire sur les nombres de Mersenne ? (cf. exercice 7)
Que pouvez-vous dire sur les diviseurs premiers d’un nombre de Mersenne ? (cf.
exercice 7)
Nombres de Fermat
Qu’est-ce qu’un nombre de Fermat ?
Que pouvez-vous dire sur les nombres de Fermat ? (cf. exercice 8)
Diverses questions
Savez-vous r´esoudre les ´equations de la forme ax+by =cavec a,bet centiers fix´es ?
R´esoudre l’´equation 6x+ 10y+ 15z= 1.
Cryptographie et arithm´etique
Quels sont les quatre principaux buts de la cryptographie ?
Connaissez-vous le syt`eme RSA ?
Pouvez-vous justifier la faisabilit´e des calculs dans l’´elaboration et l’utilisation d’un
syst`eme RSA ? (cf. exercice 9)
Que pouvez-vous dire sur la s´ecurit´e du syst`eme RSA ? (cf. exercice 10)
Connaissez-vous le probl`eme du logarithme discret ? (cf. exercice 11). ` A quoi peut-il
servir ?
Refaire l’exercice 11 en utilisant l’algorithme Baby-Steps/Giant Steps.
Exercice 1
On note π(x) le nombre des nombres premiers ≤x.
Combien peut-on former d’entiers sans facteurs carr´es `a partir des nombres pre-
miers ≤x?

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Combien existe-t-il de carr´es ≤x?
En d´eduire que π(x)≥log x/(2 log 2).
Exercice 2
On consid`ere un entier N > 2 et on pose h=π(N). On note p1,p2,· · · ,phla suite
des nombres premiers ≤N.
Soit pun nombre premier, montrer que la s´erie 1 + 1/p + 1/p2+· · · est une s´erie
convergente.
Montrer que l’on a :
1 + 1
p1
+1
p2
1
+· · · 1 + 1
p2
+1
p2
2
+· · · · · · 1 + 1
ph
+· · · >1+ 1
2+1 3+· · ·+1 N
En d´eduire que :
1
1−1/p1 1 1−1/p2· · · 1 1−1/ph>log N
Puis que :
−log(1 −1/p1)−log(1 −1/p2)− · · · − log(1 −1/ph)>log log N
Montrer que :
−log 1−1
p<1 p−1=1 p+1 p−1−1 p
Puis que :
1
p1−1+1 p1+1 p2−1+1 p2+· · · +1 ph−1+1 ph<1−1/N
En d´eduire que : 1
p1
+1
p2
+· · · +1
ph
>(log log N)−1
Conclure.
Exercice 3
Soit pun nombre premier. Que vaut ϕ(p) ? ϕ(pr) ?
Soit met ndeux entiers premiers entre eux. Montrer que les anneaux Z/mnZet
Z/mZ×Z/nZsont isomorphes.
En d´eduire que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) lorsque met nsont deux entiers premiers entre
eux.
Conclure.
Exercice 4
Soit pun nombre premier. On note (Z/pZ)×les ´el´ements inversibles de Z/pZ. Mon-
trer que l’application :
σ: (Z/pZ)×−→ (Z/pZ)×
a7−→ (a)−1

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est une involution. Quels sont les ´el´ements aqui v´erifient σ(a) = a?
Conclure.
Exercice 5
Soit pun nombre premier. Montrer que le coefficient binomial k
pest divisible par p
pour tout 1 ≤k≤p−1.
Montrer par r´ecurrence sur n∈Nque l’on a np≡n(mod p).
Conclure.
Exercice 6
Le nombre 341 est-il premier ? Montrer que 2340 ≡1 (mod 341) ?
Calculer 3340 (mod 341)
Soit mun entier, on dit que mest a-pseudo-premier si l’on a :
am−1≡1 (mod m)
Si mest premier alors mest a-pseudo-premier pour tout apremier avec m. La
r´eciproque est fausse (ex. m= 341 et a= 2). Si aest fix´e, on va d´emontrer qu’il
existe une infinit´e de nombres mnon premiers qui sont a-pseudo-premiers.
Soit pun nombre premier impair ne divisant ni ani a2−1. On pose
mp=m=a2p−1
a2−1.
1. Pourquoi existe-t-il une infinit´e de tels nombres mp?
2. Montrer que a2−1 divise ap−1−1.
3. En d´eduire que 2p(a2−1) divise (ap−1−1)(ap+a) et que donc le nombre
2p(a2−1) divise a(ap−1−1)(ap+a).
4. En conclure que 2p|m−1.
5. Montrer que am−1≡1 (mod m).
6. Montrer que ap+1
a+1 ∈Z; pourquoi mn’est-il pas un nombre premier ?
D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’il existe une infinit´e de nombres compos´es mtels que
am−1≡1 (mod m).
Le nombre 561 est-il premier ? Soit aun entier premier avec 561, montrer que l’on
aa560 ≡1 (mod 561). Comment s’appelle un tel nombre ? On peut d´emontrer qu’il
existe une infinit´e de nombres de Carmichael
Exercice 7
Soit Mn= 2n−1, le nombre de Mersenne d’indice n. Montrer que si Mnest premier
alors nest premier.
Soit nun nombre premier, montrer que les diviseurs premiers pdu nombre de Mer-
senne Mn= 2n−1 sont de la forme p=kn + 1.

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Exercice 8
Montrer que si 2m+ 1 est premier, alors mest une puissance de 2.
On d´efinit la suite des nombres de Fermat par Fn= 22n+ 1.
1. Montrer que les Fnsont deux `a deux premiers entre eux. Indication : si m<n
alors Fmdivise Fn−2.
2. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de premiers.
3. Montrer que les diviseurs premiers de Fnsont de la forme 2n+1k+ 1.
Exercice 9
Soit Gun groupe (multiplicatif de neutre 1) dans lequel on peut “calculer” effica-
cement (multiplier deux ´el´ements et calculer l’inverse d’un ´el´ement). Pour g∈Get
n∈Z, on veut calculer gnefficacement.
Remarquer que l’on peut supposer que n > 0.
On consid`ere l’algorithme suivant :
´
Etape 1 (initialisation) Faire p←1, N←net q←g.
´
Etape 2 (Nimpair ?) Si Nest impair, faire p←p·q.
´
Etape 3 (boucle) Faire N← bN/2c. Si N= 0 retourner pet finir l’algorithme.
Sinon, faire q←q2et aller `a l’´etape 2.
Montrer que cet algorithme se termine. Montrer qu’`a chaque fois que l’on ‘d´ebute’
l’´etape 2, on a l’´egalit´e gn=p·qN. En d´eduire que l’algorithme retourne gn.
Montrer que la longueur de la boucle est inf´erieur `a dlog2(n)e+ 1.
Exercice 10
La cl´e publique d’un syst`eme RSA est not´ee (N, e) (N=pq est le produit de deux
nombres premiers et eest un entier premier avec ϕ(N)).
Montrer qu’il est aussi difficile de factoriser Nque de calculer ϕ(N).
Alice envoie le mˆeme message M`a trois destinataires diff´erents ayant des modules
RSA (N1,3), (N2,3) et (N3,3). Montrer qu’une personne qui observe les trois com-
munications peut retrouver le message Md’Alice.
Soit (N, 3) un module RSA, montrer que l’on peut factoriser Nen connaissant la
cl´e secr`ete ddu syst`eme.
Exercice 11
Soit Gun groupe, g∈Get n∈Z. Connaissant get n, on peut calculer gnen
O(log(n)) multiplications dans G. Le probl`eme du logarithme discret est de retrou-
ver nen connaissant get gn.
Que pensez-vous de ce probl`eme lorsque G= (Z/NZ,+) ?
R´esoudre les ´equations suivantes :
2x≡7 (mod 83) ,2x≡3 (mod 83)