DS1 - CPGE Brizeux

Samedi 20 septembre PCSI A Devoir surveillé n° 1 Physique Salle Jean Villard
A) Oscillateur harmonique
1) a) Appliquer la RFD à un point matériel de masse m retenu par un ressort horizontal de raideur k en fonction de la variable
d’écart X(t).
b) Donner l'équation canonique d'un oscillateur harmonique et en déduire la pulsation 0 en fonction de k et m.
2) Donner le lien entre la pulsation et la fréquence. 3) Donner le lien entre la fréquence et la période.
4) Donner la solution sous la forme de la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. On fera intervenir des
constantes A et B.
5) Donner la solution sous la forme d'un cosinus avec un déphasage ? On notera l'amplitude C et le déphasage ?
6) Les conditions initiales sont X(t=0)=X0 dX/dt(t=0)=V0. Exprimer A et B en fonction des CI.
7) Les conditions initiales sont toujours X(t=0)=X0 dX/dt(t=0)=V0. Exprimer C , cos , sin et tan en fonction des CI.
8) Donner la forme de l'énergie potentielle élastique d'un ressort .
9) Donner le lien entre force et énergie potentielle .
10) Ecrire la conservation de l'énergie pour le système.
11) En déduire l'équation du mouvement.
12) Donner deux expressions de l'énergie l'une faisant appel à l'élongation maximale l'autre à la vitesse maximale.
B) Mesure de déphasage
CH1 est la tension qui fait 6 divisions crête à crête
1) Quelle est la tension efficace de la voie 1 ?
2) Quelle est la tension efficace de la voie 2 ?
3) Quel est le déphasage de la voie 1 par rapport à la voie 2 ?

C) Onde progressive
1) Donner la définition d’une onde
2) Soit le signal
3
( , ) 7sin(2.510 5.0 )
2
s x t t x
a) Cette onde est OPPH, qu’est ce que cela signifie ?
b) Quels sont les valeurs de , , , ,T et c on nommera aussi ces quantités.
3) Représenter l’onde s(t) en x=0 sur trois périodes temporelles de t=0 à 3T.
4) Représenter l’onde s(t) en x= λ/4 sur trois périodes temporelles de t=0 à 3T.
D) applications
1) Tonnerre de Brest
On notera pour la vitesse de la lumière cL et pour la vitesse du son dans l’air cs
Un observateur A voit l’éclair à une date tL1 et entend le tonnerre à une date ts1
On note = ts1-tL1
Il entend 3 secondes après avoir vu =3s
a) a quelle distance d1 la foudre est elle tombée de cet observateur ?
b) Préciser ts1, tL1 en fonction de cL , cs ,
c) On prend cs=340m/s et cL=3 108m/s AN
d) Un autre observateur B positionné à une distance D=2.5km du premier entend le tonnerre 6 secondes après avoir vu
l’éclair, distance d2 de l’observateur au point d’impact de la foudre?
e) Montrer que 2 positions de l’impact sont possibles
f) On suppose que les deux observateurs sont sur une ligne Est-Ouest et notent chacun l’angle que fait l’éclair avec cette
ligne 1 et 2 . Ils connaissent leur distance mutuelle D . Monter que en mutualisant leurs informations ils peuvent
déterminer la position de la foudre. Triangulation
2) Un télémètre ultrasons émet des salves de 20 sinusoïdes de périodes T0=1/ 0 , de durée ( durée de la salve)
espacées de T=20 . Les sinusoïdes ont pour fréquence 0=40kHz.
L’émetteur et le récepteur sont le même composant, on rappelle que les composants sont réversibles.
A quelle condition sur la distance de la cible n’a-t-on pas de superposition de la salve incidente et de la salve réfléchie ?
Foudre
impact
A
B
1
2
D

1) Appliquer la RFD à un point matériel de masse m retenu par un ressort horizontal de raideur k en fonction de la variable d’écart X(t).
²²²
00
²²²
dX dX
d m d
dp d X d X d X k
dt dt
kX kX m kX m kX m kX X
dt dt dt dt dt dt m
Donner l'équation canonique d'un oscillateur harmonique et en déduire la pulsation 0 en fonction de k et m.
00
²²
0 comparée à ² 0 ²
²²
d X k d X k
X X donne
dt m dt m
2) Donner le lien entre la pulsation et la fréquence.
00
2
3) Donner le lien entre la fréquence et la période.
00
1
T
4) Donner la solution sous la forme de la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. On fera intervenir des constantes A et B :
00
( ) cos( ) sin( )X t A t B t
5) Donner la solution sous la forme d'un cosinus avec un déphasage ? On notera l'amplitude C et le déphasage ?
0
( ) cos( )X t C t
6) Les conditions initiales sont X(t=0)=X0 dX/dt(t=0)=V0. Exprimer A et B en fonction des CI.
0 0 0 0 0
00
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) cos( ) sin( ) ( 0) cos( 0) sin( 0)
( ) sin( ) cos( ) ( 0) sin( 0) cos( 0)
X t A t B t X t A B A XA
dX dX VB
t A t B t t A B B
dt dt
7) Les conditions initiales sont toujours X(t=0)=X0 Exprimer C , cos , sin et tan en fonction des CI.
0
000
00
0
00 0
0
00 0
² ²cos²( )
( ) cos( ) ( 0) cos( ) cos( ) ²
² ² cos²( ) sin²( ) ²
²²sin²( )
sin( ) ²
( 0) sin( )
( ) sin( ) ²
XC
X t C t X t C XC V
X C C C X
V
dX
dX C
VC
tC
t C t dt
dt
0
0
00
0
00
00
0
00 00
0
0
00
²
²²
cos( ) ²
²²
cos( ) sin
tan
sin( ) cos
in( ) ²
²²
V
XX
CV
X
XC V
V
VC X
sV
X
8) Donner la forme de l'énergie potentielle élastique d'un ressort.
1²
2
p
E kX
9) Donner le lien entre force et énergie potentielle.
1²
11
2
( ) ( ) ² 2
22
pd kX
dE d
F X ex F X kX k X kX
dX dX dX
10) Ecrire la conservation de l'énergie pour le système.
2
m
11
² avec E constante dans le temps ou invariante
22
mm
dX
E Ec Ep E m kX
dt
11) En déduire l'équation du mouvement.
2
1 1 1 ² 1 ²
² 0 2 2 0
2 2 2 ² 2 ²
m
d d dX dX d X dX d X
E m kX m kX m kX
dt dt dt dt dt dt dt
12) Donner deux expressions de l'énergie l'une faisant appel à l'élongation maximale l'autre à la vitesse maximale.
2
22
22
00 0 0 0
2
0 0 0
2
0 0 0 m
cos( )
1 1 1 1 1 1
² cos( ) sin( ) cos( )
2 2 2 2 2 2
11
² ²sin ²( ) ²cos²( )
22
11
²sin ²( ) ²cos²( ) puisque ² donc E
22
m
m
d C t
dX
E m kX m k C t m C t k C t
dt dt
m C t kC t
kk
E m C t kC t
mm
22
00
0 0 m 0 0
1 1 1
² cos²( ) sin²( ) ² ²
2 2 2
On rappelle que C est l'amplitude soit l'élongation maximale
11
si on utilise à nouveau ² sous la forme ² E ² = ² ² et comme ets la vi
22
kC t t kC kC
kk m alors kC m C C
mtesse maximale c'est fini

B) Mesure de déphasage
CH1 est la tension qui fait 6 divisions crête à crête
4) Quelle est la tension efficace de la voie 1 ?
5) Quelle est la tension efficace de la voie 2 ?
6) Quel est le déphasage de la voie 1 par rapport à la voie 2 ? 1 est en avance sur 2
2 360
5 1 0.4 1.3 120
2 5 5
t
T ms t ms rad
T
C) Onde progressive
1) Donner la définition d’une onde : Une onde est un phénomène physique dans lequel une perturbation locale se déplace dans l’espace sans
qu’il y ait de déplacement de matière en moyenne. Toute grandeur physique, nulle dans l’état de repos et apparaissant avec la perturbation est
appelée signal physique transporté par l’onde
2) Soit le signal
3
( , ) 7sin(2.510 5.0 )
2
s x t t x
a) Cette onde est OPPH, qu’est ce que cela signifie ?
Onde Plane Progressive harmonique : Plane même état de polarisation dans tout plan perpendiculaire à la direction de polarisation
Progressive d’argument ct-x ou ct+x avec c la vitesse de propagation de l’onde
Harmonique synonyme monochromatique sinusoïdale
b) Quels sont les valeurs de , , , ,T et c on nommera aussi ces quantités.
= 2500 =1250 T=1/1250 =2/2500=8/10000=0.8ms k=5 k=2 / =2/5 =1/ =5/2=2.5 c= /k= 2500 /(5 )= 500m/s
3) Représenter l’onde s(t) en x=0 sur deux périodes temporelles de t=0 à 2T.
3
( , ) 7sin(2.510 5.0 )
2
7sin( ) 7cos( ) ( 0, ) 7cos( )
2
s x t t x
t kx t kx s x t t
4) Représenter l’onde s(t) en x= λ/4 sur deux périodes temporelles de t=0 à 2T.
( , ) 7sin( )
4 4 2
2
7sin( ) 7sin( ) 7sin( )
4 2 2 2
s x t t k
t t t
cos( t)
sin( t)

D) applications
2) Tonnerre de Brest
On notera pour la vitesse de la lumière cL et pour la vitesse du son dans l’air cs
Un observateur A voit l’éclair à une date tL1 et entend le tonnerre à une date ts1 On note = ts1-tL1
Il entend 3 secondes après avoir vu =3s
a) a quelle distance d1 la foudre est elle tombée de cet observateur ?
11
1 1 1 1 1
11
11
()
son son
L S L S
LL s L L S L S
sL
d c t c c c c
d c t d d d
c c c c c c
tt
b) Préciser ts1, tL1 en fonction de cL , cs ,
11
11
S
L
son L
son L S L L S
c
d c d
tt
c c c c c c
c) On prend cs=340m/s et cL=3 108m/s AN
11
LS S
LS
cc
d c km
cc
66
11
11
8
340
3 3 3* 3*1.110 3.3 10 3.3
310
SS
L
son L
son L S L L S L
cc
d c d
t s t s s
c c c c c c c
Commentaire on peut considérer ici que la lumière se propage quasi instantanément
d) Un autre observateur B positionné à une distance D=2.5km du premier entend le tonnerre 6 secondes après avoir vu
l’éclair , distance d2 ? d2=2kms
e) Montrer que 2 positions de l’impact sont possibles
D=2.5kms
d1=1km
d2=2kms
I1
I2
A
B