Morphologie mathématique - Fondements théoriques et filtrage

Morphologie mathématique - Fondements théoriques et
filtrage
Isabelle Bloch
http://perso.telecom-paristech.fr/˜bloch
T´ el´ ecom ParisTech - CNRS LTCI
Paris - France
Morphologie math ´ ematique II – p.1/22

Fondements mathématiques de la morphologie
mathématique
•Théorie des ensembles
•relations (⊆,∩,∪...)
•élément structurant
•Topologie
•topologie en tout ou rien (topologie de Fell)
•topologie myope
•distance de Hausdorff
•Théorie des treillis
•adjonctions
•opérations algébriques
•Probabilités
•P(A∩K6=∅)
•ensembles fermés aléatoires
Morphologie math ´ ematique II – p.2/22

Topologie en tout ou rien
•topologie sur les fermés
•engendrée par les FKet FG(Kcompact et Gouvert) :
FK={F∈ F, F ∩K=∅}
FG={F∈ F, F ∩G6=∅}
•convergence dans F:(Fn)n∈Nconverge vers F∈ F si :
(∀G∈ G, G ∩F6=∅,∃N, ∀n≥N, G ∩Fn6=∅
∀K∈ K, K ∩F=∅,∃N′,∀n≥N′, K ∩Fn=∅
Morphologie math ´ ematique II – p.3/22

Topologie en tout ou rien
•topologie sur les fermés
•engendrée par les FKet FG(Kcompact et Gouvert) :
FK={F∈ F, F ∩K=∅}
FG={F∈ F, F ∩G6=∅}
•convergence dans F:(Fn)n∈Nconverge vers F∈ F si :
(∀G∈ G, G ∩F6=∅,∃N, ∀n≥N, G ∩Fn6=∅
∀K∈ K, K ∩F=∅,∃N′,∀n≥N′, K ∩Fn=∅
La réunion est une opération continue de F × F dans Fmais pas l’intersection
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semi-continuité
Morphologie math ´ ematique II – p.3/22

Semi-continuité
f: Ω → F
•fsemi-continue supérieurement (s.c.s.) si ∀ω∈Ωet ∀(ωn)n∈N∈Ωconvergeant
vers ω:
limf(ωn)⊆f(ω)
•fsemi-continue inférieurement (s.c.i.) si :
limf(ωn)⊇f(ω)
lim/lim =∪/∩des points d’adhérence
fcontinue ssi fs.c.i. et s.c.s.
L’intersection est s.c.s.
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