Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . K désigne R ou C. I - Anneau K[X] KN désigne l’ensemble des suites à valeurs dans K, K(N) l’ensemble des suites à valeurs dans K à support fini (i.e. nulles à partir d’un certain rang, dites aussi presque nulles). Définition : on appelle polynôme à coefficients dans K, toute suite à valeurs dans K à support fini. Notations : pour n ∈ N, on désigne par en la suite (δ n,k )k∈N (dont tous les termes sont nuls sauf le n-ième qui vaut 1). La suite (an )n∈N à support dans [[0, p]] s’écrit qu’il s’agit en fait d’une somme finie). p n=0 an en , ou encore +∞ n=0 an en (étant entendu Produit de deux polynômes : Si P = p ai ei et Q = i=0 q p+q bj ej , alors P × Q est le polynôme j=0 ck ek où : k=0 k pour 0 ≤ k ≤ p + q, ck = k ai bj = i+j=k ai bk−i = i=0 ak−j bj . j=0 Notation définitive : on vérifie qu’en posant X = e1 on a : ∀n ∈ N, X n = en . L’ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X]. La suite P = (an )n∈N à support dans [[0, p]] s’écrit alors P = p n=0 an X n = +∞ n=0 an X n . Théorème : (K[X], + , ×) est un anneau commutatif. II - Degré, valuation 1) Degré Définition : soit P = +∞ n=0 an X n ∈ K[X]. Si P = 0, on appelle degré de P l’entier naturel max {n ∈ N / an = 0} , noté deg P . Soit p = deg P , ap est appelé le coefficient dominant de P. On dit que P est normalisé ou unitaire si et seulement si ap = 1. Si P = 0, on pose deg P = −∞. Propriétés : soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K. 1) deg (P + Q) ≤ max (deg P, deg Q). 2) Si deg P = deg Q, alors deg(P + Q) = max (deg P, deg Q). 3) deg (P Q) = deg P + deg Q (addition dans N ∪ {−∞} ). Conséquence : un produit de polynômes est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ((K [X] , +, ×) est un anneau intègre). Théorème : pour tout p ∈ N, on pose Kp [X] = {P ∈ K[X] / deg P ≤ p} = Vect 1, X, X 2 , . . . , X p ; K p [X] est un sous-espace vectoriel de dimension p + 1 de K[X] (mais n’est pas stable pour la multiplication, dès que p ≥ 1 !). Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 2 2) Valuation (hors programme) Définition : soit P ∈ K[X], P = +∞ n=0 an X n . Si P = 0, on pose val P = min {n ∈ N / an = 0}. Si P = 0 on pose val P = +∞. III - Division euclidienne Théorème et définition : soient A et B deux éléments de K[X] tels que B = 0. Il existe un unique couple (Q, R) de (K [X])2 tel que A = BQ + R et deg R < deg B. Q et R sont appelés respectivement quotient et reste dans la division euclidienne de A par B. Définition : soient A et B deux éléments de K[X] ; on dit que A est divisible par B, ou que B divise A, si et seulement s’il existe Q dans K[X] tel que A = BQ. Propriété : si B = 0, A est divisible par B si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul (le quotient est alors dit quotient exact, noté A/B). IV - Fonctions polynomiales et notion de racine 1) Fonction polynomiale Définition : la fonction polynomiale associée à P = p an X n est l’application P̃ : K → K n=0 p x→ n=0 . an xn 2) Racines d’un polynôme Définition : soient P ∈ K [X] et α ∈ K . On dit que α est racine (ou zéro) de P si et seulement si P̃ (α) = 0. Théorème : soit P ∈ K[X] ; P̃ (α) est le reste de la division euclidienne de P par X − α ; α est racine de P si et seulement si P est divisible par X − α. Conséquences : 1) Soit P un élément de K[X] et α1 , . . . , αn n scalaires distincts deux à deux ; n α1 , . . . , αn sont racines de P si et seulement si P est divisible par (X − αk ). k=1 2) Soient P un élément de K[X] et n ∈ N ; si deg P ≤ n et P a au moins n + 1 racines distinctes, alors P est le polynôme nul. Si P admet une infinité de racines, alors P est le polynôme nul. K étant un corps infini, l’application P → P̃ définit un isomorphisme de K-algèbres de K[X] sur l’ensemble des fonctions polynomiales ; on identifie souvent P et P̃ . 3) Algorithme de Horner Soient P = p n=0 an X n et α ∈ K. On pose : bp = ap et pour k = p − 1, . . . , 0 bk = αbk+1 + ak . Alors b0 = P (α), ce qui permet de calculer P (α) au prix de p additions et p multiplications seulement ! p−1 bn+1 X n est le quotient de la division euclidienne de P par X − α. De plus, Q = n=0 Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 3 4) Ordre de multiplicité d’une racine Définition : soient P ∈ K [X], α ∈ K et k ∈ N∗ ; on dit que α est une racine de multiplicité (ou d’ordre) k de P si et seulement si (X − α)k divise P et (X − α)k+1 ne divise pas P ; autrement dit k = max j ∈ N / (X − α)j divise P . 5) Dérivation formelle Définition : on appelle dérivation dans K[X] l’unique endomorphisme D de K[X] tel que : D(1) = 0 et ∀n ∈ N∗ D(X n ) = nX n−1 . Pour P dans K[X], D(P ) est aussi noté P ′ , et, si k ∈ N, Dk (P ) est noté P (k) (dérivation à l’ordre k). NB : sur R, la fonction polynomiale associée à P ′ coïncide bien avec la dérivée de la fonction polynomiale associée à P ! Propriétés : 1) D est surjectif, non injectif ; Ker D = K (ensemble des polynômes constants). 2) ∀(P, Q) ∈ K[X]2 (P Q)′ = P ′ Q + P Q′ . 3) Formule de Leibniz : n 2 ∀(P, Q) ∈ K[X] (n) ∀n ∈ N (P Q) n k = .P (n−k) Q(k) . k=0 p an X n , de degré p ; si k > p, alors P (k) = 0 ; si k ≤ deg P , alors 4) Soit P = n=0 deg P (k) = p − k et plus précisément : p P (k) = n=k p−k n! (n + k)! an X n−k = an+k X n . (n − k)! n! n=0 Formule de Mac-Laurin pour les polynômes : si P est un polynôme de degré p, alors p +∞ P (n) (0) n P (n) (0) n P = X = X . n! n! n=0 n=0 Formule de Taylor pour les polynômes : soient P ∈ K[X] et α ∈ K, +∞ P (X) = P (n) (α) (X − α)n n! n=0 +∞ et P (α + X) = Conséquence : pour tout p de N et tout α de K, (X − α)n P (n) (α) n X . n! n=0 0≤n≤p est une base de K p [X]. 6) Caractérisation des racines multiples d’un polynôme Théorème : soient P ∈ K [X], α ∈ K et k ∈ N∗ . 1) α est racine d’ordre k de P si et seulement si : ∀j ∈ {0, 1, . . . , k − 1} P (j) (α) = 0 et P (k) (α) = 0. 2) Si α est racine d’ordre k de P , alors, pour ℓ ≤ k − 1, α est racine d’ordre k − ℓ de P (ℓ) . Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 4 V - Polynômes scindés 1) Définitions Un polynôme P de K[X] est dit scindé sur K si et seulement si P est constant ou admet des racines dans K dont la somme des multiplicités vaut p = deg P . Tout polynôme scindé non constant s’écrit sous la forme m (X − αj )kj , P =λ j=1 avec λ dans C∗ , les αj dans C, distincts deux à deux, les kj dans N∗ . {α1 , . . . , αm } est l’ensemble des m racines de P , m est le nombre de racines de P (deg P = kj ). j=1 On peut aussi écrire p P =λ (X − ri ). i=1 On dit que (r1 , . . . , rp ) est un système de racines de P : parmi les ri , qui ne sont pas nécessairement distincts, on retrouve chacun des αj , répété autant de fois que son ordre de multiplicité (deg P = p). 2) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé a) Fonctions symétriques élémentaires Soit (r1 , . . . , rp ) ∈ Kp ; les fonctions symétriques élémentaires de r1 , . . . , rp sont les σk = ri1 ri2 . . . rik , 1 ≤ k ≤ p. 1≤i1 <i2 <···<ik ≤p La somme et le produit sont les seules au programme en PCSI : p p σ1 = ri , σp = r1 r2 . . . rp = i=1 ri . i=1 b) Relations entre coefficients et racines Théorème : soient p ≥ 1, P = p n=0 an X n dans K[X], de degré p (ap = 0), et (r1 , . . . , rp ) dans Kp . (r1 , . . . , rp ) est un système de racines de P si et seulement si ap−k ∀k ∈ Np σk = (−1)k . ap ap−1 a0 En particulier, la somme des racines est σ1 = − et leur produit est σp = (−1)p . ap ap Lorsque c’est le cas, on a p p (X − ri ) = ap X p + P = ap i=1 (−1)k σ k X p−k = ap X p − σ1 X p−1 + · · · + (−1)p σ p . k=1 c) Cas p = 2 Pour r1 , r2 dans K, on a : (X − r1 ) (X − r2 ) = X 2 − σ1 X + σ2 où σ1 = r1 + r2 et σ2 = r1 r2 . Il en résulte que, si l’on cherche deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P , ces nombres forment nécessairement un système de racines du polynôme X 2 − SX + P . Ils existent toujours lorsque K = C. Lorsque K = R, ils existent si et seulement si S 2 − 4P ≥ 0. Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 5 VI - Polynômes irréductibles dans C[X], dans R[X] 1) Définition Un polynôme P de K[X] est dit irréductible dans K[X] si et seulement si P est non constant et admet pour seuls diviseurs dans K[X] les λ et les λP , λ ∈ K∗ . Caractérisation : P , non constant, est irréductible dans K[X] si et seulement si P ne peut pas s’écrire sous la forme du produit de deux polynômes non constants. Exemples : les polynômes de degré 1 sont irréductibles ; X 2 + 1 est irréductible dans R[X], mais pas dans C[X] (où X 2 + 1 = (X − i)(X + i)). 2) Irréductibilité dans C[X] a) Théorème de d’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de C [X] admet au moins une racine dans C. b) Conséquences 1) Tout polynôme de C [X] est scindé sur C. 2) Les polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré 1. 3) Tout polynôme non constant P de C [X] se décompose en produit de facteurs irréductibles dans C[X] sous la forme m (X − αj )kj , P =λ j=1 avec λ dans C∗ , les αj dans C, les kj dans N∗ . c) Exemple fondamental Soit n ∈ N∗ ; les racines du polynôme X n − 1 sont les racines n-ièmes de l’unité : n−1 Xn − 1 = X − e2ikπ/n . k=0 3) Irréductibilité dans R[X] Propriétés : soient P ∈ R[X], α ∈ C. 1) P (α) = P (α). 2) Si α est racine de P , alors α est racine de P avec la même multiplicité. Conséquences : 1) Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. 2) Tout polynôme non constant P de R [X] se décompose en produit de facteurs irréductibles dans R[X] sous la forme m n (X − αi )ki P =λ i=1 (X 2 + bj X + cj )ℓj , j=1 avec λ dans les αi , bj , cj dans R, tels que : ∀j ∈ Nn b2j − 4cj < 0 et les ki , ℓj ∗ dans N (on peut avoir m ou n nul, le produit correspondant valant alors 1). R∗ , Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 6 VII - Corps K (X) (hors programme en PSI) 1) Présentation On pose E = K[X] × (K[X]\ {0}). Étant donné un couple (A, B) de E, la fraction rationnelle F de représentant (A, B) est l’ensemble des couples (P, Q) de E tels que AQ = BP (ces couples sont les représentants de F ). On convient, si (P, Q) est l’un de ces couples, d’écrire A P F = = . B Q L’ensemble de ces fractions rationnelles, dites à coefficients dans K, est noté K (X). A C et G = , on vérifie que les Étant donnés F, G dans K (X) et (A, B), (C, D) dans E tels que F = B D AD + BC AC fractions rationnelles et restent inchangées si l’on remplace (A, B), (C, D) par d’autres BD BD représentants de F, G respectivement. On peut donc poser AD + BC AC et F × G = . F +G= BD BD On vérifie que les deux lois de composition internes + et × ainsi définies confèrent à K (X) une structure de corps. On convient d’identifier P et P/1. K [X] apparaît ainsi comme un sous-anneau de (K (X) , +, ×). 2) Degré d’une fraction rationnelle A ∈ K (X) (avec A, B dans K [X], B = 0). B L’élément deg A−deg B de Z∪ {−∞} ne dépend pas du choix du représentant (A, B) de F . On l’appelle degré de F , noté deg F . Théorème et définition : soit F = NB : 1) La différence deg A − deg B est bien définie dans Z∪ {−∞} car B est non nul, donc deg B ∈ N. 2) Lorsque F est un polynôme, on retrouve bien son degré ! 3) Représentants irréductibles Définition : soit F ∈ K (X) ; on appelle représentant irréductible de F tout couple (A, B) de polynômes premiers entre eux (i.e. n’ayant aucun facteur irréductible commun dans K [X]) tel que A A F = . On dit aussi que la fraction est irréductible. B B Propriétés : toute fraction rationnelle F admet des représentants irréductibles ; si (A, B) est l’un d’eux, alors l’ensemble des représentants irréductibles de F est {(λA, λB) , λ ∈ K∗ } et l’ensemble des représentants de F est {(AP, BP ) , P ∈ K [X] \ {0}}. 4) Fonctions rationnelles Définition : soient F ∈ K (X) et (A, B) un représentant irréductible de F ; la fonction F̃ de K dans K A(x) qui à x associe F̃ (x) = ne dépend pas du choix de (A, B) parmi les représentants B(x) irréductibles de F . On l’appelle fonction rationnelle associée à F . Son ensemble de définition est K\ {x ∈ K / B(x) = 0}. L’application F → F̃ définit un isomorphisme de corps de K (X) sur l’ensemble des fonctions rationnelles ; on identifie souvent F et F̃ . 5) Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Soient F ∈ K (X), (A, B) un représentant irréductible de F , α ∈ K et k ∈ N∗ . 1) α est un zéro d’ordre k de F si et seulement si α est racine d’ordre k du numérateur A. 2) α est un pôle d’ordre k de F si et seulement si α est racine d’ordre k du dénominateur B. Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 7 6) Décomposition en éléments simples a) Partie entière Toute fraction rationnelle R de K (X) s’écrit de manière unique R = E + F , avec E polynôme de K [X] et F fraction rationnelle de degré strictement négatif. E est la partie entière de R. En outre, E est le quotient de la division euclidienne de A par B pour tout représentant (A, B) de R. b) Partie polaire relative à un pôle α Soit R ∈ K (X) et α ∈ K, k ∈ N∗ tels que α soit un pôle d’ordre k de R. R s’écrit de manière unique k R= j=1 où (λ1 , . . . , λk ) ∈ k j=1 λj (X − α)j Kk λj + R1 (X − α)j et R1 ∈ K (X), R1 n’admettant pas α pour pôle. est la partie polaire de R relative au pôle α. Remarques pratiques : 1) Le coefficient λk s’obtient immédiatement : λk = (X − α)k R (α) (la fraction rationnelle (X − α)k R n’admet plus α pour pôle, on peut donc évaluer la fonction rationnelle associée en α !). A , avec A, Q polynômes tels que A(α) = 0, Q(α) = 0, alors Si R = (X − α)k Q A(α) . λk = Q(α) λk Itération : une fois λk déterminé, on peut réduire au même dénominateur et simplifer R− , (X − α)k dont α est pôle d’ordre strictement inférieur à k ! On peut alors appliquer les remarques précédentes à cette nouvelle fraction rationnelle et réitérer jusqu’à ce que α ne soit plus pôle. . . A , avec A, B polynômes tels que B = (X − α) Q, A(α) = 0, B λ Q(α) = 0, alors la partie polaire de R relative au pôle simple α se réduit à , avec X −α A(α) . λ= ′ B (α) 2) Cas d’un pôle simple : si R = 3) Cas d’un pôle double : si R admet α comme pôle d’ordre 2, la partie polaire correspondante est de λ1 λ2 la forme + , avec X − α (X − α)2 ′ λ2 = (X − α)2 R (α) et λ1 = (X − α)2 R (α) (en effet (X − α)2 R est de la forme : λ2 + (X − α) λ1 + (X − α)2 R1 , où R1 n’admet pas α pour pôle). 4) Penser aussi que, lorsqu’il ne manque qu’un ou deux coefficients, on peut obtenir une relation en évaluant R en un point bien choisi. Lorsque deg R < 0, on peut également déterminer la limite en +∞ de la fonction rationnelle x → xR (x). Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . . Page 8 c) Décomposition en éléments simples dans C (X) Théorème : toute fraction rationnelle R de C (X) est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires. On obtient ainsi l’existence et l’unicité de la décomposition en éléments simples de R sous la forme m ki λi,j R=E+ j (X − α ) i i=1 j=1 où : • E est un polynôme de C [X] (la partie entière de R) ; • les complexes αi sont les pôles de R, ki étant l’ordre de multiplicité de αi ; • les λi,j sont des nombres complexes, coefficients des différentes parties polaires de R. P′ P Soit P ∈ C [X] et (r1 , . . . , rp ) un système de racines de P (répétées selon leur multiplicité !). Ainsi, en notant ap le coefficient dominant de P , on a : Exemple fondamental : décomposition en éléments simples de p P = ap (X − ri ) P′ = P et i=1 En effet, p i=1 1 . X − ri p P ′ = ap (X − rj ) . i=1 j=i De même, en regroupant les racines multiples, notant {α1 , . . . , αm } l’ensemble des racines de P et kj la multiplicité de αj pour tout j de [[1, m]], on a : m (X − αj )kj P = ap j=1 et P′ = P m j=1 kj . X − αj d) Décomposition en éléments simples dans R (X) Toute fraction rationnelle R de R (X) se décompose sous la forme m ki n ℓi µ X + ν λ i,j i,j i,j + R=E+ j 2 + a X + b )j (X − α ) (X i i i i=1 j=1 i=1 j=1 où : • E est un polynôme de R [X] (la partie entière de R) ; • les réels αi sont les pôles de R, ki étant l’ordre de multiplicité de αi ; • les λi,j sont des nombres réels, coefficients des différentes parties polaires de R ; • les termes de la dernière somme sont les éléments simples de seconde espèce, associés aux éventuels facteurs irréductibles du second degré du dénominateur de R dans R [X] ; les µi,j , ν i,j , ai , bi sont des réels tels que, pour tout i, a2i − 4bi < 0. e) Cas particulier important A Si le dénominateur de R admet un unique facteur irréductible B (R = k avec A ∈ K [X] et k ∈ N∗ ), B alors la décomposition en éléments simples de R s’obtient en effectuant la division euclidienne de A par B, soit A = BQ1 + R1 , puis la division euclidienne de Q1 par B, soit Q1 = BQ2 + R2 , etc. En effet on a alors : Q1 R1 Q2 R2 R1 A R = k = k−1 + k = k−2 + k−1 + k = · · · B B B B B B Tant que Qj = 0, on a deg Qj = deg A − j deg B. Or on stoppe bien sûr les calculs dès que Qj = 0 ou j = k. Par conséquent, l’itération s’arrête au pire avec le calcul de Qk , qui est la partie entière de R.