I - Anneau K[X] II

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Polynômes de PCSI et fractions rationnelles de MPSI. . .
K désigne R ou C.
I - Anneau K[X]
KN désigne l’ensemble des suites à valeurs dans K, K(N) l’ensemble des suites à valeurs dans K à support
fini (i.e. nulles à partir d’un certain rang, dites aussi presque nulles).
Définition : on appelle polynôme à coefficients dans K, toute suite à valeurs dans K à support fini.
Notations : pour n ∈ N, on désigne par en la suite (δ n,k )k∈N (dont tous les termes sont nuls sauf le
n-ième qui vaut 1).
La suite (an )n∈N à support dans [[0, p]] s’écrit
qu’il s’agit en fait d’une somme finie).
p
n=0
an en , ou encore
+∞
n=0
an en (étant entendu
Produit de deux polynômes :
Si P =
p
ai ei et Q =
i=0
q
p+q
bj ej , alors P × Q est le polynôme
j=0
ck ek où :
k=0
k
pour 0 ≤ k ≤ p + q,
ck =
k
ai bj =
i+j=k
ai bk−i =
i=0
ak−j bj .
j=0
Notation définitive : on vérifie qu’en posant X = e1 on a :
∀n ∈ N,
X n = en .
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X].
La suite P = (an )n∈N à support dans [[0, p]] s’écrit alors P =
p
n=0
an X n =
+∞
n=0
an X n .
Théorème : (K[X], + , ×) est un anneau commutatif.
II - Degré, valuation
1) Degré
Définition : soit P =
+∞
n=0
an X n ∈ K[X].
Si P = 0, on appelle degré de P l’entier naturel max {n ∈ N / an = 0} , noté deg P .
Soit p = deg P , ap est appelé le coefficient dominant de P.
On dit que P est normalisé ou unitaire si et seulement si ap = 1.
Si P = 0, on pose deg P = −∞.
Propriétés : soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K.
1) deg (P + Q) ≤ max (deg P, deg Q).
2) Si deg P = deg Q, alors deg(P + Q) = max (deg P, deg Q).
3) deg (P Q) = deg P + deg Q (addition dans N ∪ {−∞} ).
Conséquence : un produit de polynômes est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul
((K [X] , +, ×) est un anneau intègre).
Théorème : pour tout p ∈ N, on pose Kp [X] = {P ∈ K[X] / deg P ≤ p} = Vect 1, X, X 2 , . . . , X p ;
K p [X] est un sous-espace vectoriel de dimension p + 1 de K[X] (mais n’est pas stable
pour la multiplication, dès que p ≥ 1 !).
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2) Valuation (hors programme)
Définition : soit P ∈ K[X], P =
+∞
n=0
an X n .
Si P = 0, on pose val P = min {n ∈ N / an = 0}.
Si P = 0 on pose val P = +∞.
III - Division euclidienne
Théorème et définition : soient A et B deux éléments de K[X] tels que B = 0.
Il existe un unique couple (Q, R) de (K [X])2 tel que
A = BQ + R et
deg R < deg B.
Q et R sont appelés respectivement quotient et reste dans la
division euclidienne de A par B.
Définition : soient A et B deux éléments de K[X] ; on dit que A est divisible par B, ou que B divise
A, si et seulement s’il existe Q dans K[X] tel que A = BQ.
Propriété : si B = 0, A est divisible par B si et seulement si le reste de la division euclidienne de A
par B est nul (le quotient est alors dit quotient exact, noté A/B).
IV - Fonctions polynomiales et notion de racine
1) Fonction polynomiale
Définition : la fonction polynomiale associée à P =
p
an X n est l’application P̃ : K → K
n=0
p
x→
n=0
.
an xn
2) Racines d’un polynôme
Définition : soient P ∈ K [X] et α ∈ K .
On dit que α est racine (ou zéro) de P si et seulement si P̃ (α) = 0.
Théorème : soit P ∈ K[X] ; P̃ (α) est le reste de la division euclidienne de P par X − α ;
α est racine de P si et seulement si P est divisible par X − α.
Conséquences : 1) Soit P un élément de K[X] et α1 , . . . , αn n scalaires distincts deux à deux ;
n
α1 , . . . , αn sont racines de P si et seulement si P est divisible par
(X − αk ).
k=1
2) Soient P un élément de K[X] et n ∈ N ; si deg P ≤ n et P a au moins n + 1 racines
distinctes, alors P est le polynôme nul.
Si P admet une infinité de racines, alors P est le polynôme nul.
K étant un corps infini, l’application P → P̃ définit un isomorphisme de K-algèbres de K[X] sur
l’ensemble des fonctions polynomiales ; on identifie souvent P et P̃ .
3) Algorithme de Horner
Soient P =
p
n=0
an X n et α ∈ K. On pose : bp = ap
et pour k = p − 1, . . . , 0 bk = αbk+1 + ak .
Alors b0 = P (α), ce qui permet de calculer P (α) au prix de p additions et p multiplications seulement !
p−1
bn+1 X n est le quotient de la division euclidienne de P par X − α.
De plus, Q =
n=0
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4) Ordre de multiplicité d’une racine
Définition : soient P ∈ K [X], α ∈ K et k ∈ N∗ ; on dit que α est une racine de multiplicité (ou
d’ordre) k de P si et seulement si (X − α)k divise P et (X − α)k+1 ne divise pas P ;
autrement dit k = max j ∈ N / (X − α)j divise P .
5) Dérivation formelle
Définition : on appelle dérivation dans K[X] l’unique endomorphisme D de K[X] tel que :
D(1) = 0 et ∀n ∈ N∗
D(X n ) = nX n−1 .
Pour P dans K[X], D(P ) est aussi noté P ′ , et, si k ∈ N, Dk (P ) est noté P (k) (dérivation
à l’ordre k).
NB : sur R, la fonction polynomiale associée à P ′ coïncide bien avec la dérivée de la fonction polynomiale associée à P !
Propriétés : 1) D est surjectif, non injectif ; Ker D = K (ensemble des polynômes constants).
2) ∀(P, Q) ∈ K[X]2 (P Q)′ = P ′ Q + P Q′ .
3) Formule de Leibniz :
n
2
∀(P, Q) ∈ K[X]
(n)
∀n ∈ N (P Q)
n
k
=
.P (n−k) Q(k) .
k=0
p
an X n , de degré p ; si k > p, alors P (k) = 0 ; si k ≤ deg P , alors
4) Soit P =
n=0
deg P (k) = p − k et plus précisément :
p
P
(k)
=
n=k
p−k
n!
(n + k)!
an X n−k =
an+k X n .
(n − k)!
n!
n=0
Formule de Mac-Laurin pour les polynômes : si P est un polynôme de degré p, alors
p
+∞
P (n) (0) n
P (n) (0) n
P =
X =
X .
n!
n!
n=0
n=0
Formule de Taylor pour les polynômes : soient P ∈ K[X] et α ∈ K,
+∞
P (X) =
P (n) (α)
(X − α)n
n!
n=0
+∞
et P (α + X) =
Conséquence : pour tout p de N et tout α de K, (X − α)n
P (n) (α) n
X .
n!
n=0
0≤n≤p
est une base de K p [X].
6) Caractérisation des racines multiples d’un polynôme
Théorème : soient P ∈ K [X], α ∈ K et k ∈ N∗ .
1) α est racine d’ordre k de P si et seulement si :
∀j ∈ {0, 1, . . . , k − 1}
P (j) (α) = 0
et P (k) (α) = 0.
2) Si α est racine d’ordre k de P , alors, pour ℓ ≤ k − 1, α est racine d’ordre k − ℓ de P (ℓ) .
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V - Polynômes scindés
1) Définitions
Un polynôme P de K[X] est dit scindé sur K si et seulement si P est constant ou admet des racines
dans K dont la somme des multiplicités vaut p = deg P .
Tout polynôme scindé non constant s’écrit sous la forme
m
(X − αj )kj ,
P =λ
j=1
avec λ dans
C∗ ,
les αj dans C, distincts deux à deux, les kj dans N∗ . {α1 , . . . , αm } est l’ensemble des
m
racines de P , m est le nombre de racines de P (deg P =
kj ).
j=1
On peut aussi écrire
p
P =λ
(X − ri ).
i=1
On dit que (r1 , . . . , rp ) est un système de racines de P : parmi les ri , qui ne sont pas nécessairement
distincts, on retrouve chacun des αj , répété autant de fois que son ordre de multiplicité (deg P = p).
2) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé
a) Fonctions symétriques élémentaires
Soit (r1 , . . . , rp ) ∈ Kp ; les fonctions symétriques élémentaires de r1 , . . . , rp sont les
σk =
ri1 ri2 . . . rik
,
1 ≤ k ≤ p.
1≤i1 <i2 <···<ik ≤p
La somme et le produit sont les seules au programme en PCSI :
p
p
σ1 =
ri
,
σp = r1 r2 . . . rp =
i=1
ri .
i=1
b) Relations entre coefficients et racines
Théorème : soient p ≥ 1, P =
p
n=0
an X n dans K[X], de degré p (ap = 0), et (r1 , . . . , rp ) dans Kp .
(r1 , . . . , rp ) est un système de racines de P si et seulement si
ap−k
∀k ∈ Np σk = (−1)k
.
ap
ap−1
a0
En particulier, la somme des racines est σ1 = −
et leur produit est σp = (−1)p .
ap
ap
Lorsque c’est le cas, on a
p
p
(X − ri ) = ap X p +
P = ap
i=1
(−1)k σ k X p−k
= ap X p − σ1 X p−1 + · · · + (−1)p σ p .
k=1
c) Cas p = 2
Pour r1 , r2 dans K, on a : (X − r1 ) (X − r2 ) = X 2 − σ1 X + σ2
où σ1 = r1 + r2
et σ2 = r1 r2 .
Il en résulte que, si l’on cherche deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P , ces nombres
forment nécessairement un système de racines du polynôme X 2 − SX + P . Ils existent toujours lorsque
K = C. Lorsque K = R, ils existent si et seulement si S 2 − 4P ≥ 0.
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VI - Polynômes irréductibles dans C[X], dans R[X]
1) Définition
Un polynôme P de K[X] est dit irréductible dans K[X] si et seulement si P est non constant et admet
pour seuls diviseurs dans K[X] les λ et les λP , λ ∈ K∗ .
Caractérisation : P , non constant, est irréductible dans K[X] si et seulement si P ne peut pas s’écrire
sous la forme du produit de deux polynômes non constants.
Exemples : les polynômes de degré 1 sont irréductibles ; X 2 + 1 est irréductible dans R[X], mais pas
dans C[X] (où X 2 + 1 = (X − i)(X + i)).
2) Irréductibilité dans C[X]
a) Théorème de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de C [X] admet au moins une racine dans C.
b) Conséquences
1) Tout polynôme de C [X] est scindé sur C.
2) Les polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré 1.
3) Tout polynôme non constant P de C [X] se décompose en produit de facteurs irréductibles dans
C[X] sous la forme
m
(X − αj )kj ,
P =λ
j=1
avec λ dans C∗ , les αj dans C, les kj dans N∗ .
c) Exemple fondamental
Soit n ∈ N∗ ; les racines du polynôme X n − 1 sont les racines n-ièmes de l’unité :
n−1
Xn − 1 =
X − e2ikπ/n .
k=0
3) Irréductibilité dans R[X]
Propriétés : soient P ∈ R[X], α ∈ C.
1) P (α) = P (α).
2) Si α est racine de P , alors α est racine de P avec la même multiplicité.
Conséquences : 1) Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes
de degré 2 à discriminant strictement négatif.
2) Tout polynôme non constant P de R [X] se décompose en produit de facteurs
irréductibles dans R[X] sous la forme
m
n
(X − αi )ki
P =λ
i=1
(X 2 + bj X + cj )ℓj ,
j=1
avec λ dans
les αi , bj , cj dans R, tels que : ∀j ∈ Nn b2j − 4cj < 0 et les ki , ℓj
∗
dans N (on peut avoir m ou n nul, le produit correspondant valant alors 1).
R∗ ,
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VII - Corps K (X) (hors programme en PSI)
1) Présentation
On pose E = K[X] × (K[X]\ {0}). Étant donné un couple (A, B) de E, la fraction rationnelle F de
représentant (A, B) est l’ensemble des couples (P, Q) de E tels que AQ = BP (ces couples sont les
représentants de F ). On convient, si (P, Q) est l’un de ces couples, d’écrire
A
P
F =
= .
B
Q
L’ensemble de ces fractions rationnelles, dites à coefficients dans K, est noté K (X).
A
C
et G = , on vérifie que les
Étant donnés F, G dans K (X) et (A, B), (C, D) dans E tels que F =
B
D
AD + BC
AC
fractions rationnelles
et
restent inchangées si l’on remplace (A, B), (C, D) par d’autres
BD
BD
représentants de F, G respectivement. On peut donc poser
AD + BC
AC
et F × G =
.
F +G=
BD
BD
On vérifie que les deux lois de composition internes + et × ainsi définies confèrent à K (X) une structure
de corps.
On convient d’identifier P et P/1. K [X] apparaît ainsi comme un sous-anneau de (K (X) , +, ×).
2) Degré d’une fraction rationnelle
A
∈ K (X) (avec A, B dans K [X], B = 0).
B
L’élément deg A−deg B de Z∪ {−∞} ne dépend pas du choix du représentant (A, B) de F . On l’appelle degré de F , noté deg F .
Théorème et définition : soit F =
NB : 1) La différence deg A − deg B est bien définie dans Z∪ {−∞} car B est non nul, donc deg B ∈ N.
2) Lorsque F est un polynôme, on retrouve bien son degré !
3) Représentants irréductibles
Définition : soit F ∈ K (X) ; on appelle représentant irréductible de F tout couple (A, B) de polynômes
premiers entre eux (i.e. n’ayant aucun facteur irréductible commun dans K [X]) tel que
A
A
F = . On dit aussi que la fraction
est irréductible.
B
B
Propriétés : toute fraction rationnelle F admet des représentants irréductibles ; si (A, B) est l’un
d’eux, alors l’ensemble des représentants irréductibles de F est {(λA, λB) , λ ∈ K∗ } et
l’ensemble des représentants de F est {(AP, BP ) , P ∈ K [X] \ {0}}.
4) Fonctions rationnelles
Définition : soient F ∈ K (X) et (A, B) un représentant irréductible de F ; la fonction F̃ de K dans K
A(x)
qui à x associe F̃ (x) =
ne dépend pas du choix de (A, B) parmi les représentants
B(x)
irréductibles de F . On l’appelle fonction rationnelle associée à F .
Son ensemble de définition est K\ {x ∈ K / B(x) = 0}.
L’application F → F̃ définit un isomorphisme de corps de K (X) sur l’ensemble des fonctions rationnelles ; on identifie souvent F et F̃ .
5) Zéros et pôles d’une fraction rationnelle
Soient F ∈ K (X), (A, B) un représentant irréductible de F , α ∈ K et k ∈ N∗ .
1) α est un zéro d’ordre k de F si et seulement si α est racine d’ordre k du numérateur A.
2) α est un pôle d’ordre k de F si et seulement si α est racine d’ordre k du dénominateur B.
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6) Décomposition en éléments simples
a) Partie entière
Toute fraction rationnelle R de K (X) s’écrit de manière unique R = E + F , avec E polynôme de K [X]
et F fraction rationnelle de degré strictement négatif. E est la partie entière de R.
En outre, E est le quotient de la division euclidienne de A par B pour tout représentant (A, B) de R.
b) Partie polaire relative à un pôle α
Soit R ∈ K (X) et α ∈ K, k ∈ N∗ tels que α soit un pôle d’ordre k de R. R s’écrit de manière unique
k
R=
j=1
où (λ1 , . . . , λk ) ∈
k
j=1
λj
(X − α)j
Kk
λj
+ R1
(X − α)j
et R1 ∈ K (X), R1 n’admettant pas α pour pôle.
est la partie polaire de R relative au pôle α.
Remarques pratiques :
1) Le coefficient λk s’obtient immédiatement :
λk = (X − α)k R (α)
(la fraction rationnelle (X − α)k R n’admet plus α pour pôle, on peut donc évaluer la fonction
rationnelle associée en α !).
A
, avec A, Q polynômes tels que A(α) = 0, Q(α) = 0, alors
Si R =
(X − α)k Q
A(α)
.
λk =
Q(α)
λk
Itération : une fois λk déterminé, on peut réduire au même dénominateur et simplifer R−
,
(X − α)k
dont α est pôle d’ordre strictement inférieur à k ! On peut alors appliquer les remarques précédentes
à cette nouvelle fraction rationnelle et réitérer jusqu’à ce que α ne soit plus pôle. . .
A
, avec A, B polynômes tels que B = (X − α) Q, A(α) = 0,
B
λ
Q(α) = 0, alors la partie polaire de R relative au pôle simple α se réduit à
, avec
X −α
A(α)
.
λ= ′
B (α)
2) Cas d’un pôle simple : si R =
3) Cas d’un pôle double : si R admet α comme pôle d’ordre 2, la partie polaire correspondante est de
λ1
λ2
la forme
+
, avec
X − α (X − α)2
′
λ2 = (X − α)2 R (α) et λ1 = (X − α)2 R (α)
(en effet (X − α)2 R est de la forme : λ2 + (X − α) λ1 + (X − α)2 R1 , où R1 n’admet pas α pour
pôle).
4) Penser aussi que, lorsqu’il ne manque qu’un ou deux coefficients, on peut obtenir une relation en
évaluant R en un point bien choisi. Lorsque deg R < 0, on peut également déterminer la limite en
+∞ de la fonction rationnelle x → xR (x).
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c) Décomposition en éléments simples dans C (X)
Théorème : toute fraction rationnelle R de C (X) est égale à la somme de sa partie entière et de ses
parties polaires.
On obtient ainsi l’existence et l’unicité de la décomposition en éléments simples de R sous la forme


m
ki
λi,j


R=E+
j
(X
−
α
)
i
i=1
j=1
où :
• E est un polynôme de C [X] (la partie entière de R) ;
• les complexes αi sont les pôles de R, ki étant l’ordre de multiplicité de αi ;
• les λi,j sont des nombres complexes, coefficients des différentes parties polaires de R.
P′
P
Soit P ∈ C [X] et (r1 , . . . , rp ) un système de racines de P (répétées selon leur multiplicité !). Ainsi, en
notant ap le coefficient dominant de P , on a :
Exemple fondamental : décomposition en éléments simples de
p
P = ap
(X − ri )
P′
=
P
et
i=1
En effet,
p
i=1
1
.
X − ri
p
P ′ = ap
(X − rj ) .
i=1 j=i
De même, en regroupant les racines multiples, notant {α1 , . . . , αm } l’ensemble des racines de P et kj la
multiplicité de αj pour tout j de [[1, m]], on a :
m
(X − αj )kj
P = ap
j=1
et
P′
=
P
m
j=1
kj
.
X − αj
d) Décomposition en éléments simples dans R (X)
Toute fraction rationnelle R de R (X) se décompose sous la forme




m
ki
n
ℓi
µ
X
+
ν
λ
i,j
i,j
i,j

+


R=E+
j
2 + a X + b )j
(X
−
α
)
(X
i
i
i
i=1
j=1
i=1
j=1
où :
• E est un polynôme de R [X] (la partie entière de R) ;
• les réels αi sont les pôles de R, ki étant l’ordre de multiplicité de αi ;
• les λi,j sont des nombres réels, coefficients des différentes parties polaires de R ;
• les termes de la dernière somme sont les éléments simples de seconde espèce, associés aux éventuels
facteurs irréductibles du second degré du dénominateur de R dans R [X] ; les µi,j , ν i,j , ai , bi sont des
réels tels que, pour tout i, a2i − 4bi < 0.
e) Cas particulier important
A
Si le dénominateur de R admet un unique facteur irréductible B (R = k avec A ∈ K [X] et k ∈ N∗ ),
B
alors la décomposition en éléments simples de R s’obtient en effectuant la division euclidienne de A par
B, soit A = BQ1 + R1 , puis la division euclidienne de Q1 par B, soit Q1 = BQ2 + R2 , etc.
En effet on a alors :
Q1
R1
Q2
R2
R1
A
R = k = k−1 + k = k−2 + k−1 + k = · · ·
B
B
B
B
B
B
Tant que Qj = 0, on a deg Qj = deg A − j deg B.
Or on stoppe bien sûr les calculs dès que Qj = 0 ou j = k.
Par conséquent, l’itération s’arrête au pire avec le calcul de Qk , qui est la partie entière de R.
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