Correction probabilités conditionnelles. Loi

Correction exercices 17 mars 2015
Correction probabilités
conditionnelles. Loi binomiale
Équiprobabilité et variable aléatoire
Exercice 1
1) Il y a 10 possibilités de tirer deux boules simultanément. 3 possibilités de tirer 2 boules
rouges, 1 possibilité de tirer 2 boules vertes et 10 −3−1=6 possibilités de tirage
bicolore. On a alors :
P(R)=0.3 et P(V)=0.1
2) On a la loi de probabilité suivante : X 0 1 2
P(X =xi) 0,3 0,6 0,1
E(X) =0,3×0+0,6×1+0,1×2=0,8
V(X) =0,3×02+0,6×12+0,1×22−0,82=0,36 donc σ(X) =0,6
Exercice 2
1) On pose : A ="le participant est un adulte", J ="le participant est un jeune", E ="le
participant est un enfant" PN ="le participant a apporté son pique-nique". On peut
faire l’arbre suivant :
A
58
PN
20e
29
PN
32e
29
J
17
PN
13e
10
PN
20e
7
E
12
PN
7e
3
PN
11e
9
2) Les valeurs possibles prises par X sont : 32, 20, 13, 11, 7
3) a) On obtient la loi de probabilité suivante :
X 32 20 13 11 7
P(X =xi)29
87 36 87 =12 29 10 87 9 87 =3 29 3 87 =1 29
b) E(X) =29
87 ×32 +36 87 ×20 +10 87 ×13 +9 87 ×11 +3 87 ×7=1898 87 ≃21,82.
Le tarif moyen par adhérent est donc de 21,82 e.
paul milan 1 Terminale S

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Probabilités conditionnelles
Exercice 3
1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande :
DDtotal
A 48 1152 1200
B 24 776 800
total 72 1928 2000
2) Calculer les probabilités suivantes :
a) p(D) =72
2000 =0,036, p(A ∩D) =48 2000 =0,024 et pD(A) =48 72 =2 3
b) p(D) =1928
2000 =0,964, p(D∩B) =776 2000 =0,388 et p¯
D(B) =776
1928 =97 241
c)
D
0,036 A
2
3
B
1
3
D
0,964 A
144
241
B
97
241
Exercice 4
1) pA(B) =p(A ∩B)
p(A) =
1
10
1
2
=1
5et pB(A) =p(A ∩B) p(B) =
1
10
1
4
=2
5
2) p(A ∩B) =p(A) +p(B) −p(A ∪B=1
2+1 3−2 3=1 6
pA(B) =p(A ∩B)
p(A) =
1
6
1
2
=1
3=p(B) et pB(A) =p(A ∩B) p(B) =
1
6
1
3
=1
2=p(A)
Les événement A et B sont donc indépendants.
3) On peut faire l’arbre suivant :
A
1
3
B
1
4
B
3
4
A
2
3
A
1
2
B
1
2
p(B) =p(A ∩B) +p(A ∩B) =1
3×1 4+2 3×1 2=5 12
paul milan 2 Terminale S

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4) a) pA(B) =p(A ∩B)
p(A) =
2
5
1
2
=4
5et pB(A) =p(A ∩B) p(B) =
2
5
3
4
=8
15
b) p(A∩B) =p(A ∪B) =1−p(A∪B) =1−p(A)−p(B)+p(A∩B) =1−1
2−3 4+2 5=3 20
p¯
A(B) =p(A ∩B)
1−p(A) =
3
20
1
2
=3
10.
Exercice 5
On pose : O : "la personne est opposée à la construction du barrage" et E : "la personne
est écologiste".
1) P(O) =0,65, PO(E) =0,70 et PO(E) =0,20.
O
0,65
E
0,70
E
0,30
O
0,35
E
0,20
E
0,80
2) P(O ∩E) =P(O) ×PO(E) =0,65 ×0,70 =0,455
3) P(O∩E) =P(O) ×PO(E) =0,35 ×0,20 =0,07
4) P(E) =P(O ∩E) +P(O∩E) =0,45 +0,07 =0,462
Exercice 6
1) On a l’arbre suivant :
T1
0,5
Or
0,5
Ag
0,5
T2
Or
0,4
Ag
0,6
2) P(T1∩Or) =0,5×0,5=0,25 et P(T2∩Or) =0,5×0,4=0,2
3) P(Or) =P(T1∩Or) +P(T2∩Or) =0,45
4) POr(T1)=P(T1∩Or)
P(Or) =0,25 0,45 =5 9
En effet, il y a 9 pièces d’or dont 5 sont dans T1!
paul milan 3 Terminale S

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Exercice 7
1) P(M) =0,12, P(S) =0,71, PM(H) =0,67 et PS(F) =0,92
M
0,12
H
0,67
F
0,33
S
0,71
H
0,08
F
0,92
AT
0,17
H
0,37
F
0,63
2) P(S ∩F) =P(S) ×PS(F) =0,71 ×0,92 =0,6532
P(M ∩F) =P(M) ×PM(F) =0,12 ×0,33 =0,0396
3) •P(F) =P(F ∩M) +P(F ∩S) +P(F ∩AT) donc
P(F ∩AT) =P(F) −P(F ∩M) −P(F ∩S) =0,8−0,0396 −0,6532 =0,1072
•PAT(F) =P(F ∩AT)
P(AT) =0,1072 0,17 =0,6306
Exercice 8
On appelle l’événement D « le dé est parfait ».
1) On a alors l’arbre ci-contre :
P(S) =P(D ∩S) +P(D∩S)
=8
10 ×1 6+2 10 ×1 2=7 30
2) PS(D) =P(S ∩D)
P(S) =
1
10
7
30
=3
7
D
0,8
S
1
6
S
5
6
D
0,2S
1
2
S
1
2
Exercice 9
On appelle : V ="la personne est vaccinée" et M ="la personne est malade".
D’après l’énoncé, on a : P(V) =1
4,PV(M) =1 12 ,PM(V) =1 5
1) Calculer :
a) PM(V) =1−PM(V) =1−1
5=4 5
b) P(V ∩M) =P(V) ×PV(M) =1
4×1 12 =1 48
c) P(M) =P(M ∩V)
PM(V) =1 48 ×5 4=5 192
paul milan 4 Terminale S

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2) PV(M) =P(M ∩V)
P(V) =
1
5×5 192
1−1
4
=1
192 ×4 3=1 144
Une personne non vaccinée a donc moins de chance de tomber malade qu’une per-
sonne vaccinée!
Exercice 10
On a : P(F) =0,2, P(G) =0,5, PF(G) =0,7
1) P(A) =P(F ∩G) =P(F) ×PF(G) =0,2×0,7=0,14
2) P(B) =P(F ∪G) =P(F) +P(G) −P(F ∩G) =0,2+0,5−0,14 =0,56
3) P(C) =P(F∪G) =1−P(F ∪G) =1−0,56 =0,44
4) P(D) =PG(F) =P(F ∩G)
P(G) =0,14 0,5=0,28
5) P(E) =PG(F) =P(F ∩G)
P(G) =P(F) −P(F ∩G)
1−P(G) =0,2−0,14 1−0,5=0,06 0,5=0,12
6) P(H) =PF(G) =P(G ∩F)
P(F) =P(G) −P(F ∩G)
1−P(F) =0,5−0,14 1−0,2=0,36 0,8=0,45
On peut alors remplir les deux arbres suivants :
F
0,2
G
0,7
G
0,3
F
0,8G
0,45
G
0,55
G
0,5
F
0,28
F
0,72
G
0,5F
0,12
F
0,88
Exercice 11
Affirmation fausse :
Il faut retourner l’arbre.
P(B) =P(A ∩B) +P(A∩B)
=0,2×0,68 +0,8×0,6=0,616
A
0,2
B
0,68
B
0,32
A
0,8B
0,6
B
0,4
On a alors : PB(A) =P(A ∩B)
P(B) =0,136 0,616 =0,22
paul milan 5 Terminale S