analyse numerique non-lineaire

Universit´ e de Metz
Licence de Math´ ematiques - 3` eme ann´ ee
1er semestre
ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
par Ralph Chill
Laboratoire de Math´ ematiques et Applications de Metz
Ann´ ee 2010/11
1

Table des mati` eres
Chapitre 1. Repr´ esentation des nombres 5
Chapitre 2. Interpolation et approximation 9
1. Interpolation selon Lagrange 9
2. Etude de l’erreur d’interpolation 11
3. L’algorithme de Newton 12
4. Approximation hilbertienne 15
5. Approximation uniforme 19
Chapitre 3. Int´ egration et diff´ erentiation num´ erique 21
1. Int´ egration approch´ ee 21
2. Etude de l’erreur d’int´ egration approch´ ee 24
3. La formule d’int´ egration approch´ ee de Gauss 26
4. Diff´ erentiation num´ erique 27
Chapitre 4. R´ esolution num´ erique d’´ equations non-lin´ eaires dans RN31
1. R´ esolution num´ erique d’une ´ equation d’une variable par dichotomie ou
regula falsi 31
2. Approximations successives 32
3. M´ ethode de Newton 32
4. M´ ethode de plus grande descente 32
Chapitre 5. R´ esolution num´ erique d’´ equations diff´ erentielles ordinaires 33
1. Le sch´ ema d’Euler explicite ou implicite 34
3

CHAPITRE 1
Repr´ esentation des nombres
P 1.1. Soit β≥2un entier donn´e (la base). Alors tout nombre r´eel
x∈Rs’´ecrit de la forme
x=(−1)s·
k
X
j=−∞
ajβj
avec s ∈ {0,1}, k ∈Z, a j∈N,0≤aj≤β−1. Si on exige que ak,0, alors la
repr´esentation ci-dessus est unique. On ´ecrit aussi
(1.1) x=akak−1...a0,a−1a−2a−3. . . .
Si β=10, alors la repr´ esentation (1.1) est exactement la repr´ esentation d´ecimale
de x. Autres bases fr´ equentes: β=2 (repr´ esentation binaire), β=8 ou β=16
(repr´ esentation hexad´ ecimale). Pour les ordinateurs, on a typiquement β=2.
Dans l’´ ecriture (1.1), d´ eplacer la virgule d’une position ` a droite (ou ` a gauche)
correspond ` a une multiplication (ou une division) par β. Tout nombre x∈Radmet
donc une unique repr´ esentation sous la forme
(1.2) x=(−1)sak,ak−1ak−2ak−3··· · βk
avec s∈ {0,1},k∈Z,aj∈N, 0 ≤aj≤β−1, ak,0. C’est cette repr´ esentation
scientifique (ou: repr´ esentation en virgule flottante) que l’on va utiliser dans la suite.
Dans cette repr´ esentation on appelle sou (−1)sle signe, la suite ak,ak−1ak−2ak−3. . .
la mantisse et k∈Zl’exposant de x. Ces trois variables caract´ erisent le nombre r´ eel
x.
0.1. Repr´ esentation binaire. Nombres machine. Dans la repr´ esentation bi-
naire (c.` a.d. β=2) on a
s∈ {0,1},
k∈Z,
aj∈ {0,1}(j≤k),et
ak=1.
Comme la m´ emoire d’un ordinateur est limit´ e, on ne peut coder qu’un nombre fini de
nombres r´ eels. Ainsi, la mantisse d’un nombre machine est toujours une suite finie,
et l’ensemble des exposants kest un ensemble fini. Par exemple, avec b bits (binary
5