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L3 - Biologie g´en´erale - 2005 - 2006 - Math´ematiques
TD n08 : Equations diophantiennes - Nombres premiers
1 Equations diophantiennes
Exercice 1.1. Examen juin 2002. Pour chacune des ´equations suivantes, dire si elle admet ou n’admet
pas de solutions enti`eres dans Z( et justifier pourquoi) :
1) 9x+ 15y= 1
2) 9x+ 15y= 12
Si elle admet des solutions enti`eres, la justification pourra ˆetre d’en donner une.
Exercice 1.2. R´esoudre dans Z×Z, les ´equations :
– a) 5x+ 3y= 1
– b) 26x+ 65y= 13
– c) 25x−21y= 3
2 Nombres premiers
Exercice 2.1. [Lyon 2004] Un nombre entier strictement sup´erieur `a 1, divisible seulement par 1 et par
lui-mˆeme, est un nombre :
A - fondamental B - initial C - parfait D - premier E - transcendant
Exercice 2.2.[Rennes 2005] Un nombre est premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et par lui-mˆeme.
Ainsi 7 est-il premier, alors que 6 ne l’est pas. Parmi les nombres suivants, lequel n’est pas premier ?
A ) 49 357 B ) 3 289 C ) 733 D ) 71 301 E ) 34 017
Exercice 2.3. [Terracher] D´eterminer `a l’aide de divisions successives si les nombres suivants sont pre-
miers et si non, donner leur d´ecomposition en produits de nombres premiers :
97 ; 109 ; 117 ; 271 ; 317 ;
319 ; 1187 ; 1411 ; 1763 ; 2557.
Exercice 2.4. [Rennes 2002] L’expession 212 ×122est ´egale `a
A - 9 ×216 B - 2414 C - 1424 D - 2424 E - 214 ×36
Exercice 2.5. [Aquitaine 2003] Les filets anti-mar´ee noire ont la structure suivante :
maille
noeud
flotteur
On compte 12 mailles, 6 nœuds et 14 flotteurs. Les mailles contiennent les filets qui r´ecoltent le mazout.
Un filet plus grand comporte 24 mailles et 15 nœuds. Combien de flotteurs poss`ede-t-il ? (1 r´eponse
correcte)
A - 20 B - 22 C - 28 D - 29 E - 50

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Exercice 2.6. Examen Juin 2001 Dans un coll`ege, on veut regrouper les ´el`eves par classes de 27 ou 39,
selon les activit´es. A chaque fois, il en reste 11.
1. Donner deux ´egalit´es diff´erentes que doit v´erifier le nombre d’´el`eves du coll`ege.
2. Sachant que ce coll`ege compte entre 1000 et 1400 ´el`eves, d´eterminer le nombre d’´el`eves du coll`ege.
3. Est-il possible de les regrouper en classes ayant un nombre ´egal d’´el`eves, entre 20 et 30 ?
Si oui, donner ce nombre.
Exercice 2.7. Partiel avril 2002.
1. On sait que 2002 = 6 ×331 + 16. Donner les r´esultats de la division euclidienne de 2002 par 6.
2. D´ecomposer 2002 en facteurs premiers.
3. Donner les dix premiers multiples de 13.
4. Calculer les six premi`eres puissances de 10 modulo 13, dans un tableau comme le suivant :
10 102103104105106
10 9
Les nombres trouv´es doivent ˆetre entre 1 et 12.
5. En utilisant les formules sur les puissances :
ab×c= (ab)cam+n=am×an
calculer 102002 modulo 13.
Exercice 2.8. [Terracher] Soit n≥2 un entier.
a) Etablir l’´egalit´e n4+ 4 = (n2+ 2)2−4n2.
b) L’entier n4+ 4 peut-il ˆetre premier ?
Exercice 2.9. [Bordas-S] Existe-t-il un entier ntel que le nombre asoit un nombre premier dans chacun
des cas suivants :
a) a=n2−1 b) a = n3−1 c) a=n3+ 1
Exercice 2.10. [Bordas-S]
1. Quel le plus petit entier qui, multipli´e par 1998, est un carr´e parfait ?
2. Mˆeme question lorsque le multiplicateur est 5246.
Exercice 2.11. Parmi les propositions suivantes, dire celle qui est vraie ou celles qui sont vraies :
A : si un nombre est pair et multiple de 6, alors il est divisible par 12,
B : si un nombre est multiple de 24, alors il est divisible par 2, par 3, par 4, par 8, par 16 et par 24,
C : pour qu’un nombre soit multiple de 45, il faut et il suffit qu’il soit `a la fois multiple de 3 et de 15,
D : si un nombre est `a la fois multiple de 3, de 4 et de 5, alors il est multiple de 12, de 15, de 20 et de
60.
Exercice 2.12. [Alsace]
1. Ecrire 60 sous la forme d’une somme de trois nombres cons´ecutifs.
2. Ecrire 60 sous la forme d’un produit de trois nombres cons´ecutifs.
Exercice 2.13. [Rennes 1999] Parmi les nombres suivants un seul est divisible par 24, lequel ?
A - 224 444 B - 242 421 C - 424 242 D - 634 896 E - 551 754
Exercice 2.14. [Orl´eans-Tours 2001] On veut remplir chaque case de la grille ci-contre par un nombre
entier de 1 `a 9 de telle fa¸con que les neuf nombres soient utilis´es. La forme et la disposition des cases
font que certains nombres sont align´es. Le produit des nombres dispos´es selon certains alignements est
indiqu´e sur le dessin.
Ainsi, 7 et 8 sont align´es et leur produit est 56.
On cherche l’entier qui occupe la case o`u se trouve le point d’interrogation. Combien y a-t-il de solutions ?

3
7
8
56
126 6
?
80
9
A - aucune solution B - une solution C - deux solutions D - trois solutions
Exercice 2.15. [TangArith] On prend un nombre premier pdiff´erent de 2 et 3. On l’´el`eve au carr´e et on
lui ajoute 11. Quel est le reste de la division du nombre obtenu par 24 ?
Exercice 2.16. [Terracher] Nombre de diviseurs
a) Soit n≥2, admettant la d´ecomposition en facteurs premiers n=pα1
1. . . pαr
r, o`u p1,...prsont des
nombres premiers distincts et αi>0 pour 1 ≤i≤r.
Montrer que le nombre de diviseurs de nest :
d(n) = (α1+ 1) . . . (αr+ 1).
b) D´eterminer le nombre de diviseurs des entiers suivants :
1000 ; 1515 ; 1850 ; 100100
pn, avec ppremier ; 2n.pm, avec ppremier impair.
Exercice 2.17. [Limousin 2004] Parmi les propositions suivantes, quelle est ou quelles sont celles qui
sont fausses ?
A : La somme des carr´es de deux entiers cons´ecutifs est toujours un nombre impair.
B : Le produit de quatre entiers cons´ecutifs est toujours divisible par 8
C : Le produit de trois entiers cons´ecutifs est toujours divisible par 6.
D : Le nombre 60 a exactement 10 diviseurs.
E : 143 n’a que deux diviseurs.
Exercice 2.18. [Annales] Je suis un nombre entier. Lorsqu’on additionne tous mes diviseurs positifs, on
trouve mon double.
Parmi ces nombres quel(s) est(sont) celui(ceux) pour qui l’affirmation est vraie :
A : 6 B : 12 C : 24 D : 28 E : 36
Exercice 2.19. Combien faut-il mettre de 0, apr`es le 8, pour que le nombre 80....0 admette 88 diviseurs ?
Exercice 2.20. [Rennes 1997] Avec 12 tuiles carr´ees, je peux construire au choix trois rectangles diff´erents.
Avec 120 tuiles, combien puis-je construire de rectangles diff´erents ?
A - 5 rectangles B - 8 rectangles C - 15 rectangles
D - 16 rectangles E - 30 rectangles
Exercice 2.21. [Rennes 1996] Soit al’arˆete d’un cube, son volume est a×a×a, son aire est 6 ×a×a.
Un cube a pour volume 216 cm3.
A - Son aire est inf´erieure `a 216 cm2
B - Son aire est ´egale `a 216 cm2
C - Son aire est sup´erieure `a 216 cm2
D - On ne peut pas savoir.

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Exercice 2.22. [Loire 2001] On consid`ere les parall´el´epip`edes rectangles de volume 12 cm3et dont les
mesures en centim`etres des trois dimensions sont des nombres entiers naturels. Combien y a-t-il de tels
parall´el´epip`edes?
A : 1 B : 3 C : 4 D : 6 E : 21
Exercice 2.23. [Terracher] Une boˆıte, de forme parall´el´epip´edique, a des dimensions qui s’expriment, en
centim`etres, par des nombres premiers. Son volume est 22,661 dm3.
Quelles sont ses dimensions ?
Exercice 2.24. Montrer que, pour tout nentier, n7−nest divisible par 42.
Exercice 2.25. [Terracher] Quel est le plus petit entier ´ecrit en base 10 uniquement avec des 7 qui est
divisible par 3 ? par 9 ?
Exercice 2.26. On appelle nombre de Mersenne (1588 - 1648) tout nombre de la forme Mn= 2n−1.
Calculer Mnpour quelques valeurs de n. Montrer que si Mpest un nombre premier alors pest un nombre
premier.
La recherche des nombres premiers de Mersenne se poursuit encore aujourd’hui, grˆace aux ordinateurs.
En 1998, on a trouv´e M859433 qui n’a pas moins de 258 716 chiffres.
3 Th´eor`eme de Gauss
Exercice 3.1. [Terracher]
1. D´eterminer les restes des divisions de :
– 1024 par 11 et par 31
– 4 ×1024 par 21
– 10242par 41
2. En d´eduire que le nombre 260 −1 est divisible par 11 ×21 ×31 ×41.
4 Culture math´ematique
Exercice 4.1. [Lyon 2004] Laquelle (lesquelles) de ces affirmations est (sont) vraie(s) ?
A : Descartes a ´etabli la th´eorie de la relativit´e.
B : Eratosth`ene a ´enonc´e le postulat selon lequel :”Par un point ext´erieur `a une droite, on ne peut tracer
qu’une parall`ele `a cette droite”.
C : Copernic a mis en ´evidence le fait que les plan`etes tournent autour du soleil.
D : Newton a ´etabli la loi de l’attraction universelle, selon laquelle tout corps exerce une force d’attraction
sur tout autre corps.
E : Pascal a ´ecrit le ”Discours de la m´ethode”.
Exercice 4.2. [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s) ?
A : Le prix Nobel de math´ematiques a ´et´e attribu´e `a un fran¸cais
B : Il n’existe pas de prix Nobel de math´ematiques.
C : La m´edaille Fields est d´ecern´ee tous les 4 ans `a des math´ematiciens ˆag´es de moins de quarante ans.
D : L’alg`ebre est le domaine des math´ematiques qui s’occupe de l’´etude des nombres entiers.
E : Euclide a ´ecrit le premier trait´e de g´eom´etrie analytique.
Exercice 4.3. [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s) ?
A : La d´ecision d’utiliser le syst`eme m´etrique en France a ´et´e prise en 1795.
B : Le pr´efixe centi signifie que l’unit´e est multipli´ee par 100.
C : Le pr´efixe giga signifie que l’unit´e est multipli´ee par 1000 000.
D : Le radian est une unit´e de mesure d’angle
E : L’are est une unit´e de mesure agraire qui vaut 1 m2.