Douine – Première ES – Activités – Chapitre 6 – Probabilités

Douine – Première ES – Activités – Chapitre 6 – Probabilités
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Pile ou face ?
« On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On décide que le résultat de cette expérience
est égal au nombre de fois où la pièce tombe sur pile moins le nombre de fois où la pièce tombe
sur face ».
Reproduire et compléter l’arbre des probabilités et indiquer toutes les éventualités possibles.
Quelle est la probabilité pour que le résultat soit égal à +3 ? +1 ? –1 ? –3 ? Dans ce jeu on ne
gagne que si pile sort plus de fois que face. Quelle est la probabilité de gagner ?
Avec des lettres
Dans une boite on place quatre cartons portant chacun une des lettres
T
,
O
,
M
et
E
. On tire
au hasard un carton et on le pose à l’endroit à coté de la boite. On recommence l’opération deux
autres fois et, à chaque nouveau tirage, on place la lettre tirée à droite de la précédente. On
obtient ainsi un mot de trois lettres (il n’est pas nécessaire que ce mot figure dans le dictionnaire).
1. Combien de mots peut-il ainsi former ?
2. Déterminer la probabilité d’obtenir le mot «
MET
».
On note
A
l’événement « le mot commence par une consonne » et
B
l’événement « le mot
obtenu comporte une voyelle en son milieu ».
3. Calculer la probabilité de l’événement
A
. Calculer la probabilité de l’événement
B
.
4. Calculer la probabilité pour que le mot commence par une consonne et comporte une
voyelle en son milieu. Savez-vous comment se note cet événement ?

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Xavier ou Yves ?
Quatre personnes votent pour élire un candidat parmi deux : Xavier ou Yves. Un candidat ne sera
élu au premier tour que s’il obtient la majorité absolue c’est à dire : « au moins trois voix ».
Chacun des votants doit voter pour un seul des deux candidats. » Après avoir recopié et complété
l’arbre des probabilités proposé ci-dessus, calculer la probabilité pour que le candidat Xavier soit
élu au premier tour.
Avec un jeu de cartes
« On pioche une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes »
 On note
A
l’événement « j’ai tiré un roi ».
 On note
B
l’événement « j’ai tiré un trèfle ».
1. Calculer
pA
. Calculer
pB
.
2. Que signifie
AB
? Calculer
p A B
.
3. Que signifie
AB
? Calculer
p A B
.
4. Que signifie
A
. Calculer
pA
. Que signifie
B
. Calculer
pB
.
Avec deux dés
On lance deux dés et on s’intéresse à la somme des deux résultats obtenus.
Déterminer l’univers de cette expérience aléatoire. Réfléchir à un mode de
représentation de cet univers. Est-il préférable de parier sur « obtenir six »
ou « obtenir sept » ? Expliquer de manière précise votre raisonnement.

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Une expérience aléatoire
Un sac contient 20
jetons unicolores :
 9 rouges,
 4 verts,
 4 jaunes,
 3 noirs.
Un joueur prend au hasard un jeton du sac :
 Si le jeton est noir il gagne 5 €,
 S’il est vert ou jaune il gagne 3 €,
 S’il est rouge il perd 2 €.
Une variable aléatoire
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique du joueur.
Evènement exprimé à l’aide de
la variable aléatoire X.
Evènement exprimé en
compréhension.
Probabilité de l’événement.
« X = –2 »
« X = 3 »
« X = 5 »
Deux remarques importantes
 P( « X = –2 » ) + P( « X = 3 » ) + P( « X = 5 » ) =
 La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant :
xi
–2
3
5
pi
Trois formules à connaître
 Espérance :
E(X) = 
i
pi  xi
 Variance :
V(X) = 
i
pi  ( xi – E(x) )2
 Ecart type :
 X = V (X)
xi
–2
3
5
pi
( xi – E(X) )2
Calculer l’espérance, la variance puis l’écart type de la variable aléatoire X. On pourra s’aider du
tableau ci-dessus afin d’organiser les différents calculs. Que représente l’espérance ?

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Avec un cube
On dispose d’un cube en bois de 3 cm d’arête
peint en bleu. On le découpe, parallèlement
aux faces, en 27 cubes de 1 cm d’arête. On
place ces 27 cubes dans un sac. On tire au
hasard l’un des 27 cubes du sac. On suppose
que les tirages sont équiprobables. Soit
X
la
variable aléatoire qui à chaque tirage associe le
nombre de faces peintes sur le cube tiré.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X
.
2. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire
X
.
Avec une roulette
On considère une roulette que l’on fait tourner. Lorsqu’elle s’arrête on peut considérer que la
flèche s’immobilise au hasard sur l’un des quinze numéros. On suppose que les quinze secteurs
angulaires sont égaux. On notera
G
la variable aléatoire représentant le gain du joueur. Les règles
du jeu sont les suivantes :
 On mise 2€ sur un numéro (la mise est automatiquement perdue),
 Si le numéro misé sort, on gagne 20€, si l’un des numéros voisins sort, on gagne 3€,
 Sinon on ne gagne rien.
1. Déterminer les différentes valeurs prises par la variable aléatoire
G
.
2. Etablir dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire
G
.
3. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire ? A quoi correspond cette valeur ?
Avec des boules
Une urne contient 2 boules vertes, 5 boules blanches et 8 boules rouges. Après avoir misé, un
joueur tire au hasard une boule de l’urne. La mise est un nombre réel noté
m
.
Les règles du jeu sont les suivantes :
 Si la boule est verte il reçoit 16€,
 Si elle est blanche il récupère sa mise,
 Si elle est rouge il perd sa mise.
On appelle
X
la variable aléatoire représentant le gain du joueur à l’issue de la partie.
1. Déterminer la loi de probabilité de
X
.
2. Déterminer la mise
m
pour que le jeu soit équitable.

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Approche de la loi binomiale
On fait tourner la roue de loterie présentée ci-
contre : on obtient la couleur « rouge » avec la
probabilité 0,75 et la couleur « bleu » avec la
probabilité 0,25. Le joueur est gagnant lorsque
la flèche s’arrête sur la zone bleue comme sur
la figure ci-contre.
On décide de noter S (comme succès) cette
éventualité et de noter E (comme échec)
l’éventualité contraire c’est-à-dire « la flèche
tombe sur la zone rouge ».
Cas n = 3
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X
qui compte le nombre de succès
obtenus lorsque l’on fait tourner de manière indépendante 3 roues identiques à celle proposée
ci-dessus. Déterminer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire.
Cas n = 4
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
Y
qui compte le nombre de succès
obtenus lorsque l’on fait tourner de manière indépendante 4 roues identiques à celle proposée
ci-dessus. Déterminer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire.
Vocabulaire
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues
possibles appelées « succès » noté
S
ou « échec » noté
ES
de probabilités respectives
p
et
1qp
. Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes (c'est-à-dire que l’issue d’une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes).