3 ème−PGCD− Nombres premiers entre eux−Fractions irréductibles

3
ème
−
−−
−PGCD−
−−
− Nombres premiers entre eux−
−−
−Fractions irréductibles
I) Multiples −
−−
− diviseurs.
Définition n°1:
Exemples : • diviseurs de 8 :
• diviseur de 12 :
• diviseurs de 34 :
Remarque: Si
a
est multiple de b , alors b est diviseur de
a
, et réciproquement.
Définition n°2:
Exemples : • 1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.
• Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b .
Définition n°3 :
Exemples : • Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.
• PGCD(84 ;56)=28.
II) Recherche du PGCD à l’aide de l’Algorithme d’Euclide
Algorithme d’Euclide :
Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut appliquer la méthode illustrée par l’exemple suivant :
Trouver le PGCD de 646 et de 697 :
On pose la division de 697(le plus grand) par 646 :
..donc 697=646×
××
×1+51
On pose la division de 646 (diviseur précédent) par 51 (reste précédent)
..donc 646=51×
××
×12+34, et donc 697=(51×12+34)×1+51=51×
××
×13+34×
××
×1
On pose la division de 51 (diviseur précédent) par 34 (reste précédent)
..donc 51=34×
××
×1+17, donc 646=(34×1+17)×12+34=34×
××
×13+17×
××
×12 et
697=(34×1+17)×13+34×1=34×
××
×14+17×
××
×13
On pose la division de 34 (diviseur précédent) par 17 (reste précédent)
..donc 34=17×
××
×2+0, donc 646= 17×2×13+17×12=17×
××
×38 et
697=17×2×14+17×13=17×
××
×41
Le restant étant égale à 0 on a fini, et le PGCD est le dernier diviseur (ici 17).
( les divisions de 646 par 17 et de 697 par 17 tombent justes ).
Démonstration d’une partie de la validité de l’algorithme sur l’exemple :
17 est le plus grand diviseur de 17, donc 17 est le PGCD de 34 et 17
Si a est diviseur de b et de c, il est aussi diviseur de b+c, et de ub+vc
17 est donc diviseur de 34 et de 51 (car 51=2 × 17+17)
17 est donc diviseur de 51 et de 646 (car 646=3 × 17 × 12+2 × 17)
17 est donc diviseur de 697 et de 646…
Il reste à démontrer que c’est le plus grand…
III) Nombres premiers entre eux.
Définition n°4 :
Exemples :
• 24 et 35 sont premiers eux : 35=24×1+11 ; 24=11×2+2 ; 11=2×5+1 ; 2=1×2+0, donc
PGCD(24 ;35)=1.
Un diviseur d’un nombre a est un nombre entier qui divise a (= la division
euclidienne de a par ce nombre « tombe juste »)
Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b .
Parmi les diviseurs communs à a et b , l’un d’eux est plus grand que les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.
On le note
: PGCD(
a
;
b
)
Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.

• 24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3.
IV) Fractions irréductibles.
Définition n°5 :
Exemples :
18
7
est une fraction irréductible,
34
48
n’est pas une fraction irréductible (car PGCD(48 ;34)
ý1).
Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide :
41
38
41
17
3817
697
646 =
×
×
=
Priopriété n°1 :
Une fraction est dite irréductible si le PGCD de son numérateur
et de son dénominateur vaut 1.
a
b
est irréductible si PGCD( a ; b )=1
Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de
son dénominateur, on obtient une fraction irréductible.
Si PGCD(a;b)=c, alors a÷c
b÷c
est irréductible