Fichier PDF P.G.C.D.

1) Vocabulaire :
Plus Grand Diviseur Commun.
a) Divisible / Multiple: Soit a et b deux nombres entiers naturels différents de zéro : dire que a est
a
divisible par b signifie que  k , avec k nombre entier naturel.
b
a
Or : Si  k , alors a  kb , ce qui se traduit par « a est un multiple de k ».
b
b) Critères de divisibilité :
Par
2
Critère
Le chiffre des unités est pair
Le nombre formé par les chiffres dizaine+unité est dans la
table de 4. (00 convient également.)
La somme des chiffres du nombre est dans la table de 3.
Le chiffre des unités est 0 ou 5.
La somme des chiffres du nombre est dans la table de 9.
Le chiffre des unités vaut 0.
4
3
5
9
10
Exemple
102.
680 ; 144, 316.
141 ; 102 ; 441.
305 ; 150.
441 ; 684 ; 6 669
3 250
c) Diviseurs d’un nombre : Les diviseurs d’un nombre sont ceux par lequel il est divisible.
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, il suffit le décomposer en produit de 2 facteurs
entiers et de trouver la liste complète de ces produits.
Exemple : Recherche des diviseurs de 120.
120  1 120  2  60  3  40  4  30  5  24  6  20  8  15  10 12
Les diviseurs de 120 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 120.
2) Division euclidienne :
a) La division euclidienne est la division avec reste et quotient entier.
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que 0  b  a.
Alors il existe un seul couple de nombre entier Q.et.R tels que :
a  Qb  R
avec
0r b
Q est le quotient, R est le reste de la division euclidienne de a par b.
b) Les calculatrices possèdent une touche permettant d’afficher le quotient et le reste.
c) Exemple :
127
10
13
9
127  9  13  10
3) P.G.C.D. : Plus grand diviseur commun.
a) Le P.G.C.D de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux.
Recherchons les diviseurs de 78 et de 208.
208  1 208
78  1 78
208  2  104
78  2  39
208  4  52
78  3  26
208  8  26
78  6  13
208  13  16
Les diviseurs de 78 sont :
Ceux de 208 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26 ; 39 ; 78.
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ; 26 ; 52 ; 104 ; 208.
1 ; 2 ; 13 et 26 sont les diviseurs communs de 78 et 208.
Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de
208.
Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26
b) Utilité : La connaissance du P.G.C.D. d’un couple de nombre entier permet de simplifier en une
fraction irréductible une fraction dont ils sont les numérateur et dénominateurs.
En effet : on simplifie une fraction par un nombre k en divisant numérateur et dénominateur par
un même nombre, k est donc forcément un diviseur commun.
Pour avoir la fraction irréductible, il faut diviser par le plus grand nombre possible : il faut donc
diviser par le P.G.C.D.
Exemple :
78 26  3 3


208 26  8 8
c) Nombres premiers entre eux : Cherchons le P.G.C.D. de 140 et de 297.
140  1 140
140  2  70
297  1 297
140  5  28
140  7  20
297  11 27
140  4  35
140  10 14
Diviseurs de 140 :
Diviseurs de 297 :
297  3  99
297  9  33
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 20 ; 28 ; 35 ; 70 ; 140.
1 ; 3 ; 9 ; 11 ; 27 ; 33 ; 99 ; 297.
140 et 297 ont pour seul diviseur commun 1, qui est donc leur P.G.C.D.
On dit que 140 et 297 sont premiers entre eux.
Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand leur P.G.C.D
est égal à 1.
On en déduit donc que la fraction
140
est irréductible, puisque seul 1 divise 140 et 297.
297
Or : 140  1  140 et 297  1  297 , et simplifier par 1 ne modifie ni le numérateur ni le
dénominateur !
4) Recherche méthodique du P.G.C.D : La décomposition en produit de deux facteurs
n’est pas des plus évidentes pour trouver le P.G.C.D.
Exemple : Amusons-nous à chercher les diviseurs communs à 2 993 et à 3 723.
2993  1 2993
2993  2  ?; non
2993  3  ?; non
ni 4, ni 5, ni 6, et pourtant, il y en a...
Même chose pour 3 723. A moins d’utiliser un tableur et de programmer une feuille de calculs, il
serait très fastidieux de trouver que 2993  41 73 et que 3723  51 73
Exercice : programmer une feuille de calcul pour trouver tous les diviseurs d’un nombre.
Heureusement, la puissance des mathématiques est là pour fournir deux méthodes très simples
qui chacune repose sur une propriété de la divisibilité.
a) Première méthode : Par soustractions successives. (Algorithme des
soustractions)
* Propriété utilisée : Soit a, b et k trois nombres entiers tels que 0 < b < a.
Si k divise a et b, alors il divise d’office leur différence a – b.
Exemple : 8 est un diviseur commun à 88 et 64.
88-64 =24, et 8 est bien un diviseur de 24.
* Démonstration de cette propriété :
Soit k, un nombre entier positif, diviseur commun de a et de b, deux autres nombres entiers
positifs, avec a  b. ( k, a et b différents de zéro.)
Alors il existe a’ et b’, entiers naturels tels que : a  ka ' et b  kb '
Posons la différence a-b :
a  b  ka ' kb '  k (a ' b ')
Conclusion : a – b est bien un multiple de k, k est bien un diviseur de la différence de a et de b.
* Exemple N° 1 : Cherchons les diviseurs communs de 2 993 et de 3723
3723
2993
2263
1533
803
730
657
584
511
438
365
292
219
146
73
-
2993
730
730
730
730
73
73
73
73
73
73
73
73
73
73
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
730
2263
1533
803
73
657
584
511
438
365
292
219
146
73
0
Un diviseur commun de 3 723 et de
2 993 divisera aussi leur différence, soit
730.
Comme il sera commun au trois nombres, il
le sera aussi avec la différence de 2 993 et
de 730, soit, 2 663.
Mais donc aussi avec la différence de 2 663
et de 730, etc…
Au bout du compte, on cherche les
diviseurs de 73 !
Mais au fait, quel est le plus grand diviseur
de 73 ?
73, bien sûr !
Finalement, le P.G.C.D est la dernière différence non-nulle !
Dans le cas ci-dessus : comme le P.G.C.D est différent de 1, on en déduit que les nombres 3 723 et
3723
2 993 ne sont pas premiers entre eux et que la fraction
n’est pas une fraction irréductible.
1993
Pour la simplifier, il suffit d’utiliser le P.G.C.D :
3723 73  51 51


2993 73  41 41
* Remarque / exercice : Un élève de 6ème exécute à la calculatrice la division suivante : 588  128 et
147
sa calculatrice affiche la fraction
. Comment en déduire le P.G.C.D. des nombres 588 et 128 ?
32
b) Seconde méthode : par divisions euclidiennes successives. (Algorithme d’Euclide).
*
Propriété utilisée :
Si un nombre entier naturel est un diviseur commun à deux nombres a et b
(On supposera 0 < b < a), alors il est aussi un diviseur du reste de la division
euclidienne de a par b.
*Exemple : 9 est un diviseur de 459 et de 171
la division euclidienne de 459 par 171 aboutit à :
459
117
171
2  soit la décomposition suivante : 459  2  171  117 .
Et 9 est bien un diviseur de 117. (Voir critère de divisibilité)
*
Utilisation de cette propriété pour la recherche du P.G. C.D :
Les diviseurs de 459 et de 171 sont donc aussi diviseurs de 459, 171 et 117.
En particulier de 171 et de 117, donc du reste dans la division euclidienne de 171 par 117.
On pose alors une nouvelle division :
Puis :
171
54
117
1
117
9
54
2
et enfin :
54
0
9
6
 171  1 117  54
 117  2  54  9
 Le travail de division est fini, il n’y a plus qu’à conclure.
Le P.G.C.D de 459 et de 171 est donc un aussi un diviseur de 117 ; 54 et 9, le dernier reste
non-nul. Or : quel est le plus grand diviseur de 9 ? Evidemment 9 !
Conclusion : dans l’algorithme d’Euclide, le P.G.C.D. des deux nombres est le
dernier reste non-nul !
* Autre exemple : P.G.C.D. de 3 737 et de 666.
A
=
=
3737
3737
=
666
B
666
x
5
+
407
666
=
407
x
1
+
259
259
=
148
x
1
+
111
407
148
111
=
=
=
259
111
37
x
x
x
1
1
3
+
+
+
148
37
0
P.G.C.D.
=
37
* Programmation de feuille de calculs : Si les conditions sont propices, une activité tableur et
P.G.C.D. est envisageable en salle multimédia.