ALGÈBRE GÉNÉRALE 1 Dans la liste des ensembles ci

ALGÈBRE GÉNÉRALE
DOSSIER D’EXERCICES (1)
Thème : théorie des groupes
1Dans la liste des ensembles ci-dessous déterminer qui est sous-groupe de qui?
(1) GLn(K),K=R,C,Q.
(2) SLn(K) =def {M∈Mn(K) : det M= 1},K=R,C,Q.
(3) SLn(Z) =def {M∈SLn(Q) : tous les coefficients de Msont dans Z}
(4) On(R) =def {A∈Mn(R) : tA.A =I}
(5) O+
n(R) =def {A∈On(R) : det A > 0}
(6) Tn(K) =def {M∈GLn(K) : Mest triangulaire supérieure},K=R,C,Q.
(7) UTn(K) =def {M∈Tn(K) : Ma des 1sur la diagonale},K=R,C,Q.
(On rappelle que Mn(K)désigne l’ensemble des matrices carrées à nlignes et n
colonnes dont les coefficients sont dans K.)
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a — [Etude du groupe diédral D3].
Dans le plan euclidien Pon place les points Mj,j= 0,1,2d’affixe respectif zi=
exp(2ijπ/3). Ce sont les sommets d’un triangle équilatéral. On note T={M0,M1,M2}
et on appelle D3l’ensemble des isométries du plan qui conservent T:
D3=def {f∈Is(P) : f(T) = T}.
i) Montrer que D3est un sous-groupe de (Is(P),◦).
ii) Montrer que D3est formé de 6éléments. Donner deux éléments aet btels que
D3=ha,bi.
iii) Faire une table de D3. (C’est un tableau à double entrée, avec la liste des éléments
de D3et leur produit — comme dans une table de multiplication élémentaire. )
b — [Etude du groupe diédral D4]
On considère maintenant les points Nj,j= 0,1,2,3d’affixe respectif zi= exp(2ijπ/4).
Ce sont les sommets d’un carré. On note C={N0,N1,N2,N3}et on appelle D4l’en-
semble des isométries du plan qui conservent C:
D4=def {f∈Is(P) : f(C) = C}.
i) Montrer que D4est un sous-groupe de (Is(P),◦).
ii) Montrer que D4est formé de 8éléments. Donner deux éléments aet btels que
D4=ha,bi.
iii) Faire une table de D4.
Pour aller plus loin →Plus généralement, si Pndésigne le polygone régulier à nsommets,
d’affixes respectifs zj= exp(2ijπ/n),j= 0, . . . ,n −1, on appelle Dnle sous-groupe de Is(P)
formé des isométries qui laissent Pnglobalement invariant. Dncontient 2néléments, il est
engendré par une rotation ad’ordre net une réflexion bvérifiant abab =e. (eest l’isométrie
identique.)
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2Exercices d’algèbre générale
3Soit (G,∗)un groupe. On définit le sous-ensemble Z(G)par
Z(G) = {u∈G:gu =ug pour tout g∈G}
Autrement dit, uest un élément de Z(G)s’il commute avec tous les éléments de G.
a — Montrer que Z(G)est un sous-groupe de G. (On l’appelle le centre de G.) A quelle(s)
condition(s) a-t-on G=Z(G)?
b — Dans cette partie, on cherche Z(GL2(R)).
i) Soit
A=a b
c d∈Z(GL2(R)).
En utilisant le fait que Acommute avec les matrices Jet Kdonnées par
I=1 1
0 1et 1 1 1 0
montrer qu’on a nécessairement a=det b= 0 = c.
ii) En déduire Z(GL2(R)).
c — Déterminer les centres des groupes diédraux D3et D4.
d — Montrer que si φest un isomorphisme de (G,∗)sur (G0,.)alors φ(Z(G)) = Z(G0).
Pour aller plus loin →Déterminer, par exemple en utilisant une récurrence, le centre de
GLn(R).
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a — Soit (G,.)un groupe. On suppose que a∈Gest un élément d’ordre 2et bun élément
d’ordre 3tels que ab =ba. Ecrire la liste des éléments de ha,biet montrer que ha,bi=habi.
Généraliser au cas ou 2est remplacé par set 3par tavec set tpremiers entre eux.
b — Dans le groupe SL2(Z)on considère les éléments aet bdéfinis par
a=0 1
−1−1et b=0 1 −1 0.
Montrer que aest d’ordre 3et bd’ordre 4mais montrer que ha,bicontient une infinité
d’éléments.
5Soit pun nombre premier. On définit l’ensemble Qppar
Qp=def m
pn:m∈Z,n ∈N.
Un élément de Qps’appelle une fraction p-aire.
a — Montrer que Qpest un sous-groupe de (Q,+).
b — Montrer que si pet p0sont deux nombres premiers distincts alors il n’existe pas d’isomor-
phisme entre Qpet Qp0.
6Soient (G,.)un groupe abélien et A,Bdeux sous-groupes de G. On définit l’ensemble AB
par
AB ={ab :a∈A,b ∈B}.
a — Montrer que AB est un sous-groupe de G.
b — À quelle condition AB sera-t-il un groupe si Gn’est plus supposé abélien.
7L’ensemble Cp∞est défini par
Cp∞=def ∪∞
n=1Upn.
a — Montrer que Cp∞est un sous-groupe infini de (U,.)dont tous les éléments sont d’ordre
fini.

Jean-Paul Calvi 3
b — Trouver un homomorphisme entre Qpet Cp∞
8[Recherche des générateurs de GL2(K),K=R,Qou C.]
Pour α∈Ket β∈K?on définit les matrices
t12(α) = 1α
0 1, t21(α) = 1 0 α1, d11 =β0 0 1et d22(β) = 1 0 0β
a — si A=a b
c dcalculer tij (α)Aet Atij (α).
b — Montrer que si d6= 0 alors
t12 −b
d. A . t21 −c d=a−bc
d0
0d.
En déduire que
A∈ htij (α),dii(β) : (α,β)∈K×K?i
c — Montrer, en se ramenant au cas d6= 0 que les tij (α),dii(β) : (α,β)∈K×K?forment un
ensemble générateur de GL2(K).
Pour aller plus loin →Trouver un ensemble générateur pour GL3(K)et plus généralement de
GLn(K).
9Soit Gun groupe d’ordre 4. Quel peut être l’ordre d’un élément de G? Montrer que G'Z/4Z
ou bien G'Z/2Z×Z/2Z.
10 Montrer que si met nsont premiers entre eux alors Unm 'Un×Um. Le résultat demeure-
t-il si met nne sont plus supposés premiers entre eux?
11 Soit (G,.)un groupe. Montrer que l’ensemble Aut(G)formé de tous les automorphismes
de Gest un groupe lorsqu’on le munit de la loi de composition des applications. Montrer que
Int(G)≤Aut(G)et que Int(G)'G/Z(G).Int(G)est-il un sous-groupe distingué de Aut(G)?
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Montrer en utilisant des homomorphismes bien choisis les formules suivantes :
(1) Pour tout entier premier p > 1,Qp/Z'Cp∞.
(2) Pour tout n≥2,Tn(K)/UTn(K)'(K?)n
13 Soient Aet Bdeux groupes et G=A×Ble produit (direct) de ces deux groupes. On
considère A1un sous-groupe distingué de Aet B1un sous-groupe distingué de B.
a — Montrer que A1×B1est un sous-groupe distingué de G.
b — Montrer en utilisant un morphisme bien choisi que
G/(A1×B1)'(A/A1)×(B/B1).
c — Est-il légitime d’écrire G/A 'B?
14 Montrer que S3'D3. A-t-on S4'D4?
15 [Générateurs des groupes symétriques et alternés]
a — Soit n≥2. Montrer les égalités suivantes
(1) Sn=h(1,2),(1,2, . . . ,n)i
(2) Sn=h(1,2),(1,3), . . . ,(1,n)i.

4Exercices d’algèbre générale
b — Soit n≥3. Montrer que (a,b)(a,c)=(a,b,c)puis (a,b)(a,c)=(a,c,b)et (a,b)((c,d) =
(a,c,b)(a,c,d). En déduire
(3) Anest engendré par l’ensemble des 3-cycles.
16 Montrer que pour tout n≥2on a Sn/An'Z/2Z.
Thème : Anneaux et corps
17 Montrer que pour n > 1, l’anneau (Mn(K),+,·)(K=Q,Rou C) n’est pas intègre.
18 Soit (A, +,·)un anneau. Le centre c(A)est défini par
c(A) = {x∈A:∀a∈A a ·x=x·a}.
Montrer que c(A)est un sous-anneau de A. Quel est le centre de (M2(R),+,·)?
19 Soit pun nombre premier. Montrer que Qpest un sous-anneau de (Q,+,·). On rappelle
que Qp=def nm
pn:m∈Z,n ∈No.Déterminer (Qp)∗.
20 On définit l’ensemble Mn(Z)par la relation
Mn(Z) = {M∈Mn(R) : tous les coefficients de Msont dans Z}.
Montrer que Mn(Z)est un sous-anneau de (Mn(R),+,·). Déterminer l’ensemble des éléments
inversibles (pour la multiplication) de Mn(Z).
21 On définit Z[i] =def {m+in :m,n ∈Z} ⊂ C.
a — Montrer que (Z[i],+,·)est un anneau commutatif unitaire (on montrera que Z[i]est un
sous-anneau de (C,+,·)).
b — On définit sur Z[i]l’application Npar N(n+im) = n2+m2. Montrer que pour tous αet β
dans Z[i], on a N(α·β) = N(α)·N(β). Montrer que si αest inversible alors N(α) = 1 en déduire
(Z[i])∗, le groupe des éléments inversibles de Z[i]. A quel groupe déjà rencontré ((Z[i])∗,·)est-il
isomorphe?
22 Soit d∈Ztel que p|d| 6∈ Q. Lorsque d < 0on pose √d=def ip|d|. On définit Q(√d)par
Q(√d) = {x+y√d:x,y ∈Q}.
a — Montrer que Q(√d)est un sous-corps de C.
b — Déterminer tous les isomorphismes fde Q(√d)qui coïncident avec l’identité sur Q,
autrement dit tels que f(x) = xpour tout x∈Q.
c — Justifier l’assertion suivante : Q(√d)est le plus petit sous-corps de Cqui contienne à la
fois Qet √d.
d — Les corps Q(√2) et Q(√5) sont-ils isomorphes?
23 Résoudre le système suivant dans Z/7Z
2x+ 3y= 1
3x+ 2y= 5 .
24 Soit pun nombre premier >1.
a — Montrer que pour k= 1, . . . ,p −1,Ck
pest divisible par p.

Jean-Paul Calvi 5
b — Montrer que pour tous x,y ∈Z/pZon a (x+y)p=xp+yp.
25 Déterminer tous les idéaux de (Qp,+,·).
26 Soit m∈N/{0,1}. Montrer que r∈(Z/mZ)∗si et seulement si met rsont premiers entre
eux. On note φ(m)le cardinal de (Z/mZ)∗. Calculer φ(m)pour m= 2,3,4,5,6. Que vaut φ(p)
lorsque pest un nombre premier? Que vaut φ(m)lorsque m=psavec ppremier?
Remarque. L’application φs’appelle l’indicatrice d’Euler.
Pour aller plus loin →Déduire une généralisation du petit théorème de Fermat qui fasse
intervenir la fonction φ.
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a — Soient (A, ⊕A,A)et (B, ⊕B,B)deux anneaux commutatifs unitaires. On définit sur
A×Bles lois +et ·de la manière suivante
(a,b)+(a0,b0) = (a⊕Aa0, b ⊕Bb0)et (a,b).(a0,b0) = (aAa0, b Bb0).
1) Montrer que (A×B, +,·)est un anneau commutatif unitaire. Est-il intègre?
2) Déterminer les éléments inversibles de A×Ben fonction des éléments inversibles de Aet
de B.
b — Dans cette partie on prend A=Z
mZet B=Z nZoù met nsont deux entiers premiers entre
eux.
1) Montrer que l’application fci-dessous est bien définie :
f:Z/mnZ−→ Z/mZ×Z/nZ
clmn(a)7−→ (clm(a),cln(a))
où on utilise la notation cls(a)pour représenter la classe de adans Z/sZ.
2) L’application fest-elle un isomorphisme d’anneau?
3) Utiliser f, la partie a — et l’exercice précédent pour démontrer que lorsque met nsont
premiers entre eux on a φ(mn) = φ(m)φ(n).
4) En déduire, en utilisant l’exercice précédent, une formule générale pour le calcul de φ(m),
mentier positif quelconque.
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a — On travaille avec (R[X],+,·)et (C,+,·)et on considère l’application
f:R[X]−→ C
P7−→ P(i)
où idésigne le nombre complexe habituel. Montrer que fest un morphisme d’anneau. Déter-
miner l’idéal ker f.
b — En déduire R[X]/(X2+ 1) 'C.
c — Que peut-on dire de Q[X]/(X2+ 1)?
d — Pouvez-vous trouver un anneau quotient qui soit isomorphe au corps Q(√d)?
e — Soit P∈R[X]. On considère l’idéal principal I= (P)engendré par P. Montrer que
si Ps’écrit P=P1P2avec deg Pi≥1alors l’anneau R[X]/I n’est pas intègre. A quelle(s)
condition(s) l’anneau quotient R[X]/I sera-t-il un corps?
29 Soit pun nombre premier (≥2). On considère les anneaux Z[X]et Z
pZ[X]. On définit
l’application φpar
φ:Z[X]−→ Z
pZ[X]
P7−→ P
où P=Pn
i=0 aiXisi P=Pn i=0 aiXi.(On rappelle que adésigne la classe de a∈Zdans Z
pZ.)
a — On prend p= 5. Soit f= 5X6+X5+ 3x4+X3+ 4X2−3X−1et g=X2+X+ 1.
Déterminer fet g. Montrer que gdivise f. Est-il vrai que fest divisible par g?