Résumé de cours : Structures Algébriques - MPSI

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
Résumé de cours sur les structures algébriques
Questions de cours
1. unicité du symétrique
2. L’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C∗,×).
3. Si Hest un sous-groupe de Z, il est de la forme aZ.
4. Si fest un morphisme, alors f(eG) = eHet ∀x∈G, f(x−1) = (f(x))−1
1 Notion de groupe
1. Notion de loi de composition interne (en abrégé LCI)
2. Définition de groupe
Soit Gun ensemble muni d’une LCI notée ∗. On dit que (G, ∗) est un groupe si :
• la loi ∗est asociative : ∀(x, y, z)∈G3,(x∗y)∗z=x∗(y∗z).
• la loi ∗admet un élément neutre : ∃e∈G, ∀x∈G, x ∗e=e∗x=x.
• tout élément xde Gadmet un symétrique pour la loi ∗:∃a∈G, x ∗a=a∗x=e.
Si la loi ∗est commutative, on dit que le groupe Gest commutatif.
Groupes de références :
• pour la loi + : (C,+),(R,+),(Z,+). L’élément neutre est 0.
• pour la loi ×: (C∗,×),(R∗,×),(U,×). L’élément neutre est 1.
• pour la loi ◦: l’ensemble (SE,◦) des bijections de Edans Eest un groupe. L’élément neutre est
l’application identité idE.
• Le groupe (Z/4Z,+) des classes de congruence modulo 4 (programme SPE).
CEX : L’ensemble (Z∗,×) n’est pas un groupe car 2 n’admet pas de symétrique puisque 1
2/∈Z.
Dans un groupe (G, ∗), l’élément neutre eet les symétriques sont uniques, si x∈G, on notera x−1son
symétrique. On a
∀(a, b)∈G2,(a∗b)−1=b−1∗a−1.
On prendra garde aux notations :
loi neutre symétrique n-ième itéré
∗a∗bex−1a∗a∗ · · · ∗ a=an
×a×b1x−1a×a× · · · × a=an
+a+b0−x a +a+···+a=na
3. Sous-groupes
Définition : Une partie Hd’un groupe (G, ∗) est appelée sous-groupe de Gsi :
•Hcontient le neutre ede G
•Hest stable par produit (loi ∗) et par passage au symétrique,
∀(x, y)∈H2, x ∗y∈Het x−1∈H.
Remarquons que si la loi du groupe est noté +, la condition de stabilité s’écrit x−y∈G.
Proposition : si Hest un sous-groupe de (G, ∗), alors (H, ∗) est un groupe.
Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on peut ainsi montrer que c’est un sous-groupe d’un groupe
de référence. Exemples :

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• L’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C∗,×) (en particulier U4=
{±1,±i}est un groupe à 4 éléments dont on dresse la table de groupes).
• L’ensemble 5Zdes multiples de 5 est un sous-groupe de (Z,+).
• Réciproquement tout sous-groupe Hde Zest de la forme aZ(on pose a= min H∩N∗et si x∈H,
on écrit x=aq +r, avec 0 6r < a. On a alors r=x−aq ∈H, donc r= 0).
4. Notion de morphisme (programme de SPE)
Définition : une application fdu groupe (G, ∗) vers le groupe (H, •) est un morphisme de groupe si
∀(x, y)∈G2, f(x∗y) = f(x)•f(y).
On a alors
f(eG) = eHet ∀x∈G, f(x−1) = (f(x))−1.
Si de plus le morphisme fest bijectif, on dit que fest un isomorphisme de Gsur H. Les groupes Get H
sont dits isomorphes.
• L’application exp est un isomorphisme de (R,+) vers (R∗,×).
• Les groupes (3Z,+) et ({5n|n∈Z},×) sont isomorphes.
• Le groupe U4et le groupe de Klein ne sont pas isomorphes.
2 Notion d’anneau
1. Définition : Soit Aun ensemble muni de deux LCI + et ×. On dit que (A, +,×) est un anneau si :
• (A, +) est un groupe commutatif.
• La loi ×est associative.
• La loi ×est distributive par rapport à +.
• la loi ×admet un élément neutre noté 1Aou 1.
Anneaux de référence :
• (Z,+,×),(R,+,×),(Q,+,×),(C,+,×)
• (K[X],+,×)
•F(R,R) l’ensemble des fonctions de Rdans R
• les anneaux de congruence modulo n(Z/nZ,+,×) (hors-programme)
Attention : les éléments de Ane sont pas forcément inversibles pour la loi ×. Exemples :
• dans Z, les seuls inversibles sont ±1.
• dans K[X] les inversibles sont les polynômes constants non nuls
• dans Z/4Z,3 est inversible car 3 ×3 = 9 ≡1 mod 4 donc 3 ×3 = 1, mais 2 n’est pas inversible.
2. Groupe des inversibles d’un anneau :
L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la loi ×.
3. Règles de calcul dans l’anneau (A, +,×)
Pour aet bdans A, on a : a×0A= 0A×a= 0A, a ×(−b) = (−b)×b=−(a×b).
De plus si aet bcommutent (a×b=b×a), on a la formule du binôme de Newton.
4. Sous-anneau
Définition : une partie Bde Aest appelée sous-anneau de (A, +,×) si :
• (B, +) sous groupe de (A, +).
•Bcontient l’élément unité 1A

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•Best stable par produit (pour la loi ×)
L’ensemble (B, +,×) est alors un anneau.
Exemple : l’anneau des entiers de Gauss est un sous-anneau de C.
5. Notion d’intégrité :
Définition : un anneau Aest intègre s’il vérifie la propriété suivante :
∀(x, y)∈A2,(x×y= 0 ⇒(x= 0 ou y= 0)) .
Remarquons qu’il s’agit de la fameuse propriété apprise au collège : si un produit est nul alors l’un des
facteurs est nul.
Exemples :
• L’anneau K[X] est intègre
•F(R,R) pas intègre
•Z/4Znon intègre car 2×2 = 0
3 Notion de corps
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.
Corps de référence : (C,+,×),(R,+,×),(Q,+,×).
L’année prochaine, vous verrez que l’anneau Z/nZest un corps ssi nest un nombre premier.
Tout corps est intègre.