Résumé de cours sur les structures algébriques 1 Notion de groupe

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
Résumé de cours sur les structures algébriques
Questions de cours
1. unicité du symétrique
2. L’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C,×).
3. Si Hest un sous-groupe de Z, il est de la forme aZ.
4. Si fest un morphisme, alors f(eG) = eHet xG, f(x1) = (f(x))1
1 Notion de groupe
1. Notion de loi de composition interne (en abrégé LCI)
2. Définition de groupe
Soit Gun ensemble muni d’une LCI notée . On dit que (G, ) est un groupe si :
la loi est asociative : (x, y, z)G3,(xy)z=x(yz).
la loi admet un élément neutre : eG, xG, x e=ex=x.
tout élément xde Gadmet un symétrique pour la loi :aG, x a=ax=e.
Si la loi est commutative, on dit que le groupe Gest commutatif.
Groupes de références :
pour la loi + : (C,+),(R,+),(Z,+). L’élément neutre est 0.
pour la loi ×: (C,×),(R,×),(U,×). L’élément neutre est 1.
pour la loi : l’ensemble (SE,) des bijections de Edans Eest un groupe. L’élément neutre est
l’application identité idE.
Le groupe (Z/4Z,+) des classes de congruence modulo 4 (programme SPE).
CEX : L’ensemble (Z,×) n’est pas un groupe car 2 n’admet pas de symétrique puisque 1
2/Z.
Dans un groupe (G, ), l’élément neutre eet les symétriques sont uniques, si xG, on notera x1son
symétrique. On a
(a, b)G2,(ab)1=b1a1.
On prendra garde aux notations :
loi neutre symétrique n-ième itéré
abex1aa · · · a=an
×a×b1x1a×a× · · · × a=an
+a+b0x a +a+···+a=na
3. Sous-groupes
Définition : Une partie Hd’un groupe (G, ) est appelée sous-groupe de Gsi :
Hcontient le neutre ede G
Hest stable par produit (loi ) et par passage au symétrique,
(x, y)H2, x yHet x1H.
Remarquons que si la loi du groupe est noté +, la condition de stabilité s’écrit xyG.
Proposition : si Hest un sous-groupe de (G, ), alors (H, ) est un groupe.
Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on peut ainsi montrer que c’est un sous-groupe d’un groupe
de référence. Exemples :
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L’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C,×) (en particulier U4=
1,±i}est un groupe à 4 éléments dont on dresse la table de groupes).
L’ensemble 5Zdes multiples de 5 est un sous-groupe de (Z,+).
Réciproquement tout sous-groupe Hde Zest de la forme aZ(on pose a= min HNet si xH,
on écrit x=aq +r, avec 0 6r < a. On a alors r=xaq H, donc r= 0).
4. Notion de morphisme (programme de SPE)
Définition : une application fdu groupe (G, ) vers le groupe (H, ) est un morphisme de groupe si
(x, y)G2, f(xy) = f(x)f(y).
On a alors
f(eG) = eHet xG, f(x1) = (f(x))1.
Si de plus le morphisme fest bijectif, on dit que fest un isomorphisme de Gsur H. Les groupes Get H
sont dits isomorphes.
L’application exp est un isomorphisme de (R,+) vers (R,×).
Les groupes (3Z,+) et ({5n|nZ},×) sont isomorphes.
Le groupe U4et le groupe de Klein ne sont pas isomorphes.
2 Notion d’anneau
1. Définition : Soit Aun ensemble muni de deux LCI + et ×. On dit que (A, +,×) est un anneau si :
• (A, +) est un groupe commutatif.
La loi ×est associative.
La loi ×est distributive par rapport à +.
la loi ×admet un élément neutre noté 1Aou 1.
Anneaux de référence :
• (Z,+,×),(R,+,×),(Q,+,×),(C,+,×)
• (K[X],+,×)
F(R,R) l’ensemble des fonctions de Rdans R
les anneaux de congruence modulo n(Z/nZ,+,×) (hors-programme)
Attention : les éléments de Ane sont pas forcément inversibles pour la loi ×. Exemples :
dans Z, les seuls inversibles sont ±1.
dans K[X] les inversibles sont les polynômes constants non nuls
dans Z/4Z,3 est inversible car 3 ×3 = 9 1 mod 4 donc 3 ×3 = 1, mais 2 n’est pas inversible.
2. Groupe des inversibles d’un anneau :
L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la loi ×.
3. Règles de calcul dans l’anneau (A, +,×)
Pour aet bdans A, on a : a×0A= 0A×a= 0A, a ×(b) = (b)×b=(a×b).
De plus si aet bcommutent (a×b=b×a), on a la formule du binôme de Newton.
4. Sous-anneau
Définition : une partie Bde Aest appelée sous-anneau de (A, +,×) si :
• (B, +) sous groupe de (A, +).
Bcontient l’élément unité 1A
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Best stable par produit (pour la loi ×)
L’ensemble (B, +,×) est alors un anneau.
Exemple : l’anneau des entiers de Gauss est un sous-anneau de C.
5. Notion d’intégrité :
Définition : un anneau Aest intègre s’il vérifie la propriété suivante :
(x, y)A2,(x×y= 0 (x= 0 ou y= 0)) .
Remarquons qu’il s’agit de la fameuse propriété apprise au collège : si un produit est nul alors l’un des
facteurs est nul.
Exemples :
L’anneau K[X] est intègre
F(R,R) pas intègre
Z/4Znon intègre car 2×2 = 0
3 Notion de corps
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.
Corps de référence : (C,+,×),(R,+,×),(Q,+,×).
L’année prochaine, vous verrez que l’anneau Z/nZest un corps ssi nest un nombre premier.
Tout corps est intègre.
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