©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 2
• L’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C∗,×) (en particulier U4=
{±1,±i}est un groupe à 4 éléments dont on dresse la table de groupes).
• L’ensemble 5Zdes multiples de 5 est un sous-groupe de (Z,+).
• Réciproquement tout sous-groupe Hde Zest de la forme aZ(on pose a= min H∩N∗et si x∈H,
on écrit x=aq +r, avec 0 6r < a. On a alors r=x−aq ∈H, donc r= 0).
4. Notion de morphisme (programme de SPE)
Définition : une application fdu groupe (G, ∗) vers le groupe (H, •) est un morphisme de groupe si
∀(x, y)∈G2, f(x∗y) = f(x)•f(y).
On a alors
f(eG) = eHet ∀x∈G, f(x−1) = (f(x))−1.
Si de plus le morphisme fest bijectif, on dit que fest un isomorphisme de Gsur H. Les groupes Get H
sont dits isomorphes.
• L’application exp est un isomorphisme de (R,+) vers (R∗,×).
• Les groupes (3Z,+) et ({5n|n∈Z},×) sont isomorphes.
• Le groupe U4et le groupe de Klein ne sont pas isomorphes.
2 Notion d’anneau
1. Définition : Soit Aun ensemble muni de deux LCI + et ×. On dit que (A, +,×) est un anneau si :
• (A, +) est un groupe commutatif.
• La loi ×est associative.
• La loi ×est distributive par rapport à +.
• la loi ×admet un élément neutre noté 1Aou 1.
Anneaux de référence :
• (Z,+,×),(R,+,×),(Q,+,×),(C,+,×)
• (K[X],+,×)
•F(R,R) l’ensemble des fonctions de Rdans R
• les anneaux de congruence modulo n(Z/nZ,+,×) (hors-programme)
Attention : les éléments de Ane sont pas forcément inversibles pour la loi ×. Exemples :
• dans Z, les seuls inversibles sont ±1.
• dans K[X] les inversibles sont les polynômes constants non nuls
• dans Z/4Z,3 est inversible car 3 ×3 = 9 ≡1 mod 4 donc 3 ×3 = 1, mais 2 n’est pas inversible.
2. Groupe des inversibles d’un anneau :
L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la loi ×.
3. Règles de calcul dans l’anneau (A, +,×)
Pour aet bdans A, on a : a×0A= 0A×a= 0A, a ×(−b) = (−b)×b=−(a×b).
De plus si aet bcommutent (a×b=b×a), on a la formule du binôme de Newton.
4. Sous-anneau
Définition : une partie Bde Aest appelée sous-anneau de (A, +,×) si :
• (B, +) sous groupe de (A, +).
•Bcontient l’élément unité 1A