Chapitre 12 Espaces probabilisés
Chapitre 12
Espaces probabilisés
12.1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités
12.1.1 L’univers
On considère une expérience aléatoire ( = expérience dont le résultat ne peut pas être
prédit ou calculé à l’avance).
On désigne par Ωl’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.
Ωest appelé univers ou encore espace des possibles,espace des réalisations ou espace
des observations. Les éléments ωΩsont appelés observations ou réalisations de l’expé-
rience aléatoire.
Exemple :On lance un dé à 6 faces : Ω={1;2;3;4;5;6} =1,6. Un élément ωΩest un chiffre
entre 1 et 6 qui représente le chiffre obtenu en lançant le dé.
Exemple :On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω={1;2;3;4;5;6} ×{1;2;3;4;5;6} =
1,62. Un élément ωΩest un couple (ω1,ω2) où ω1représente le chiffre obtenue avec
le premier dé, et ω2le chiffre obtenu avec le second.
Exemple :On lance 1 fois une pièce : Ω={P,F} ou Ω={0,1} avec la convention que « 1 »
représente « pile », et « 0 » représente « face ».
Exemple :Soit nN. On lance nfois une pièce : Ω={P,F}nou Ω={0,1}navec la convention
que « 1 » représente « pile », et « 0 » représente « face ». Un élément ω=(ω1,...,ωn)Ωest
un n-uplet qui représente la liste des résultats obtenus aux nlancers. Par exemple pour 6
lancers, on peut avoir ω=(P,P,F,P,F,P) qui se note aussi ω=(1,1,0,1,0,1).
Exemple :On lance une infinité de fois une pièce : Ω={P,F}Nou Ω={0,1}N. Un élément
ω=(ωn)nNΩest une suite réelle qui représente la liste des résultats obtenus aux lancers,
le terme de rang n(ie ωn) représentant le résultat du n-ième lancer. Par exemple n’obtenir
que des « pile » se note ω=(1,1,1,...).
Exemple :Soit (n,N)N2.
•On effectue ntirages successifs avec remise d’une boule, dans une urne de Nboules :
Ω=1,Nn. Ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de 1 à N; un élément ω=
(ω1,...,ωn)Ωest un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω=(6,2,2,6,4,3,5) pour 7 tirages avec remise dans une urne de 6 boules.
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CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS
•On effectue ntirages successifs sans remise d’une boule, dans une urne de Nboules
(dans ce cas nN) : Ω=ensemble des arrangements de néléments de 1,N= ensemble
des n-uplets ω=(ω1,...,ωn) 1,Nndont les composantes sont deux à deux distinctes.
Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de 1 à N; un élément
ω=(ω1,...,ωn)Ωest un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω=(6,2,3) pour 3 tirages sans remise dans une urne de 10 boules.
•On effectue 1 tirage de nboules prises simultanément dans une urne de Nboules (dans ce
cas nN) : Ω=ensemble des combinaisons de néléments de 1,N= ensemble des parties
ω={ω1,...,ωn} 1,N. Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de
1 à N; un élément ω={ω1,...,ωn}Ωest une partie qui représente les numéros tirés.
Par exemple ω={6,2,3} pour 1 tirage de 3 boules prises simultanément dans une urne de 10
boules.
Exemple :On mélange une jeu de ncartes : Ω={ω:1,n 1,n/ωbijective }. Ceci sous-
entend qu’on a numéroté les cartes de 1 à nen fonction de leur position initiale. Pour la carte
numéro i, l’entier omeg a(i) représente sa position après le mélange ω.
12.1.2 Évènements
Intuitivement, un évènement Aest défini par une phrase qui peut être vraie ou fausse
selon le résultat de l’expérience aléatoire.
Exemple :On lance un dé à 6 faces : Ω=1,6.
A= « obtenir un 6 » donne la partie de Ω:A={6}
B= « obtenir un nombre pair » donne la partie de Ω:B={2;4;6}
Exemple :On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω=1,62.
A= « obtenir un double 6 » donne la partie de Ω:A={(6,6)}
B= « obtenir un double » donne la partie de Ω:
B={(i,i)/i 1,6}
={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
C= « obtenir au moins un 6 » donne la partie de Ω:
C={(i,6)/i 1,6}{(6, j)/ j 1,6}
={(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6,6);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5)}
Exemple :On mélange un jeu de ncartes : Ω={ω:1,n 1,n/ωbijective }.
A= « la première carte se retrouve dans la première moitié du paquet » donne la partie de Ω:
A=ω:1,n 1,nbijective ω(1) =n
2
Pour i 1,rfixé, Bi= « la carte numéro in’a pas changé de place » donne la partie de Ω:
B=ω:1,n 1,nbijective ω(i)=i
On voit sur ces exemples qu’un évènement Aest nécessairement une partie de Ω, ie que
AP(Ω).
Si on note Fl’ensemble de tous les évènements qu’on peut associer à l’expérience aléa-
toire, alors FP(Ω).
Une question vient naturellement : a-t-on l’égalité F=P(Ω) ?
Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/
12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS
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•Si Ωest fini : oui, dans ce cas on peut prendre F=P(Ω), ie que toute partie de Ωpeut être
considérée comme un évènement dont on pourra calculer la probabilité.
•Si Ωest infini : dans certains cas on aura F�P(Ω), ie que certaines parties de Ωne
peuvent pas être considérées comme des évènements et on ne pourra pas calculer leur pro-
babilité.
Dans ce dernier cas, Fne sera pas précisée, par souci de simplicité. La seule chose à
savoir sera que Freprésente l’ensemble de toutes les parties de Ωqui sont des évènements,
ie dont on peut calculer la probabilité.
Vocabulaire :
•On dit que l’observation ωΩréalise l’évènement Alorsque ωA. Inversement, si ωA,
on dit que l’observation ωne réalise pas A.
•L’évènement est appelé évènement impossible.
•L’évènement Ωest appelé évènement certain.
Il est clair qu’aucune observation ne réalise l’évènement impossible , et que toutes les
observations réalisent l’évènement certain Ω.
Définition 12.1 Évènements élémentaires
On appelle évènements élémentaires les singletons de Ω, ie les évènements de la forme {ω}
avec ωΩ.
Une remarque importante : tout évènement Aest réunion d’évènements élémentaires.
En effet, on a :
A=
ωA
{ω}
12.1.3 Opérations sur les évènements
Définition 12.2 Opérations sur les évènements
Soient Aet Bdeux évènement, c’est-à-dire (A,B)F2.
1. Contraire. L’évènement ΩA=Aest appelé contraire de A.
Pour tout ωΩ:ωA ωA
Autrement dit : Aest réalisé An’est pas réalisé
2. Union. Pour tout ωΩ:ωAB ωAou ωB
Autrement dit : ABest réalisé Aest réalisé ou Best réalisé
3. Intersection. Pour tout ωΩ:ωAB ωAet ωB
Autrement dit : ABest réalisé Aest réalisé et Best réalisé
4. Différence. Pour tout ωΩ:ωA\B ωAet ωB
Autrement dit : A\Best réalisé Aest réalisé et Bn’est pas réalisé
5. Implication.ABsignifie que, pour tout ωΩ:ωA=ωB
Autrement dit : Aest réalisé =Best réalisé
On peut aussi remarquer que la différence symétrique A∆Bpermet de définir un « ou »
exclusif.
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CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS
Rappels : Si A,Bet Csont des évènements :
AB A BAAB
A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)
AB=BA A B=BA
A =A A =
AΩ=ΩAΩ=A
AB=AB A B=AB
Généralisation pour (Ai)iIfamille d’évènements :
iI
Ai=
iI
Ai
iI
Ai=
iI
Ai
B
iI
Ai=
iI
(BAi)B
iI
Ai=
iI
(BAi)
Définition 12.3 Évènements incompatibles
Deux évènements Aet Bsont dits incompatibles lorsqu’ils sont disjoints, ie lorsque AB=
.
Intuitivement, Aet Bsont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simulta-
nément.
Exemple :Lorsqu’on lance un dé à 6 faces les évènements A= « obtenir un chiffre pair » et B
= « obtenir un chiffre impair » sont incompatibles.
12.1.4 La tribu des évènements
On va préciser la nature de l’ensemble Fqui est composé de tous les évènements qu’on
peut associer à l’expérience aléatoire.
Définition 12.4 Tribu d’évènements
Soit Fune collection de parties de Ω,ieFP(Ω). On dit que Fest une tribu d’évènements
lorsque :
(i) ΩF;
(ii) Fest stable par passage au complémentaire :
AF,AF
(ii) Fest stable par union dénombrable :
(An)nNFN,
+
n=0
AnF
Précisons quelques notations :
•FNdésigne l’ensemble des suites d’évènements, donc (An)nNFNsignifie simplement
que AnFpour tout nN.
•
+
n=0
Anest égal à
nN
An.
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12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS
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Théorème 12.5 Propriétés d’une tribu d’évènements
Soit Fune tribu d’évènements. Alors :
(iv) F;
(v) Fest stable par union finie :
nN,(A1,...,An)Fn,
n
k=1
AkF
(vi) Fest stable par intersection dénombrable :
(An)nNFN,
+
n=0
AnF
(vii) Fest stable par intersection finie :
nN,(A1,...,An)Fn,
n
k=1
AkF
Exemple :Pour tout univers Ω, on a les tribus {,Ω} et P(Ω).
En pratique si Ωest fini ou dénombrable (ie en bijection avec N), on choisira F=P(Ω).
Dans les autres cas (par exemple Ω=R), on ne précisera pas la tribu Fpar souci de simpli-
cité.
Définition 12.6 Espace probabilisable
Un espace probabilisable est un couple (Ω,F) où Ωest l’univers et Fest la tribu des évène-
ments.
12.1.5 Système complet d’évènements
On se donne un espace probabilisable (Ω,F).
Définition 12.7 Système complet d’évènements
Soit (Ai)iIune famille d’évènements de Ω. On dit que (Ai)iIest un système complet d’évè-
nements ( = s.c.e.) lorsque :
(i) les (Ai)iIsont deux à deux incompatibles :
(i,j)I2,i=j=AiAj=
(ii)
iI
Ai=Ω
(iii) iI,Ai=
Intuitivement, un s.c.e. correspond à une disjonction des cas, suivant le résultat de l’ex-
périence aléatoire.
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