EXERCICE 1

1S1
21/12/2012
CORRIGÉ DEVOIR 4
Pour le 09/01
EXERCICE 1 : Révisions sur les droites
1. Déterminer une équation réduite de chacune des droites tracées cici
contre :
(AB) : y = x + 1,
(CD) : y =
x
, (EF) : y =
x
, (EG) : x = –4
et
(AH) : y = –2.
2. Donner l’équation réduite de la droite parallèle à (CD) passant par B.
La droite d a pour équation : y =
x + p
Or le point B appartient à cette droite, donc ses coordonnées vérifient l’équation de
d:2=
+p
p=
L’équation de la parallèle d à (CD) passant par B est : y =
x +
3. Les droites (CD) et (AB) sont-elles
elles perpendiculaires ? Justifier.
Le produit des coefficients directeurs des deux droites n’est pas égal à –1, donc
elles ne sont pas perpendiculaires.
Autre méthode : chercher les coordonnées du point d’intersection L de (AB) et (CD) en résolvant le système
1
, on trouve L
; . Ensuite vérifier à l’aide du théorème de Pythagore si le triangle
tri
ALC est
√
rectangle en L. AL =
CL =
√
ou DL=
√
et BL =
√
EXERCICE 2 : La planche de Galton
Etude du problème simplifié
1. A l'aide d'un arbre, dénombrer les différents chemins possibles de la bille. Combien, parmi ces chemins,
aboutissent à A ? à B ? à C? à D ? à E ?
Il y a 24 = 16 chemins possibles, dont :
1 chemin aboutit à A ou à E ; 4 chemins aboutissent à B ou à D et 6 chemins aboutissent à C.
2. La planche est conçue pour que tous les chemins soient équiprobables.
Déterminer la loi de probabilité associée
associé à cette expérience aléatoire.
Événement
A
B
C
D
E
1
6
1
4
4
Probabilité
16
16
16
16
16
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A
B
C
D
E
3. Déterminer la loi de probabilité associée à une planche de Galton possédant cinq rangées de clous.
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
Événement
A
B
C
D
E
1
10
10
5
5
Probabilité
32
32
32
32
32
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A
B
C
D
E
F
F
1
16
EXERCICE 3 : La cible
10
5
2
1
Un joueur lance des fléchettes sur une cible circulaire formée de 4 régions marquées 1, 2, 5 et 10.
Les régions sont des cercles concentriques de rayons respectifs : r, 2r, 3r et 4r.
Nous admettons que la probabilité que le joueur atteigne la cible est de et que, une fois la cible atteinte, la
probabilité d'atteindre la région i est proportionnelle à l’aire de la région i.
1.
Calculer la probabilité d'atteindre la région i pour i =1, 2, 5, 10.
La probabilité d’atteindre la région 10 est : P(i = 10) = ×
La probabilité d’atteindre la région 5 est : P(i = 5) = ×
La probabilité d’atteindre la région 2 est : P(i = 2) = ×
La probabilité d’atteindre la région 1 est : P(i = 1) = ×
=
! "
! " #
! "
! " # !
! "
! " # !
! "
=
"
=
"
=
2. Si le joueur atteint la région i, il marque i points et 0 point s'il n'atteint pas la cible. Soit la variable aléatoire X :
"nombre de points marqués lors d'un lancer".
a. Donner la loi de probabilités de X.
xi
0
1
2
5
10
7
2
3
1
5
P(X = xi)
18
18
18
18
18
b. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter ce résultat.
E(X) = 0× + 1× + … + 10× ≃ 2,33
Si on lance un grand nombre de fléchettes on obtiendra, en moyenne, un score de 2,33 par fléchette.
3. Le joueur lance deux flèches de suite, les lancers étant indépendants. Soit Y la variable aléatoire " Somme des
points marqués lors des deux lancers".
Donner la loi de Y et son espérance mathématique.
On peut faire un arbre pondéré par les probabilités pour trouver la loi de Y (un arbre à 5×5 branches) :
On peut aussi faire un tableau à double entrée pour trouver la loi de Y.
yi
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
15
20
28
69
70
12
42
30
13
14
10
6
1
4
25
P(Y=yi)
324
324
324
324
324
324
324
324
324
324
324
324
324
Espérance de Y : E(Y) = 0×
+ 1×
+ … + 20×
≃ 4,66
Si on lance un grand nombre de fois un couple de deux fléchettes on obtiendra, en moyenne, un score de 4,66 par
couple.
Remarque : E(Y) = 2 E(X) !!!
La moyenne sur beaucoup de lancers de deux fléchettes est le double de la moyenne sur une fléchette, les deux
lancers étant indépendants. Attention, on n’a pas Y = 2 X.
4. Le joueur lance trois flèches de suite. Quelle est la probabilité qu'il marque au moins 20 points ? Justifier.
On fait un arbre partiel : sur les 5×5×5 = 125 branches possibles, on ne garde que les branches qui donneront un
résultat supérieur ou égal à 20.
Les scores possibles sont : (0 ;10 ;10) (1 ;10 ;10) (2 ;10 ;10) (5 ;5 ;10) (5 ;10 ;5) (5 ;10 ;10)
(10 ;0 ;10) (10 ;1 ;10) (10 ;2 ;10) (10 ;5 ;5) (10 ;5 ;10) (10 ;10 ;0) (10 ;10 ;1) (10 ;10 ;2) (10 ;10 ;5) (10 ;10 ;10)
On calcule la probabilité de chaque triplet, par exemple : P [(5 ;10 ;5)] = × × =
Soit A l’événement : « il marque au moins 20 points ». On additionne les probabilités de tous les triplets, on a :
≃ 0,014
P(A) =