EXERCICE 1

0
0,1
0,2
0,3
0,4
A B C
1S1
EXERCICE 1 :
Révisions sur les droites
1. Déterminer
une équation réduite de chacune des droites tracées ci
contre :
(AB) : y = x + 1, (CD) : y = 
x
et (AH) : y = –2.
2.
Donner l’équation réduite de la droite parallèle à (CD) passant par B.
La droite d a pour équation : y =  x
Or le point B appartient à cette droite, donc ses coordonnées vérifient l’équation de
d : 2 =  + p  p =
L’équation de la parallèle d
à (CD) passant par B est
3. Les droites (CD) et (AB) sont-
elles perpendiculaires
Le produit des coefficients directeurs des deux droites n’est pas égal à
elles ne sont pas perpendiculaires.
Autre méthode :
chercher les coordonnées du point d’intersection L de (AB) et (CD)
1
 , on trouve L 
;
rectangle en L. AL =
√
CL =
√
EXERCICE 2 :
La planche de Galton
Etude du problème simplifié
1.
A l'aide d'un arbre, dénombrer les différents chemins possibles de la bille.
aboutissent à A ? à B ? à C? à D ? à E ?
Il y a 2
4
= 16 chemins possibles, dont :
1 chemin aboutit à A ou à E
; 4 chemins aboutissent à B ou à D et 6 chemins aboutissent à C.
2.
La planche est conçue pour que tous les chemins soient équiprobables.
Déterminer la loi de probabilité associé
Événement A
Probabilité
1
16
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
3.
Déterminer la loi de probabilité associée
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
Événement A
Probabilité
1
32
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
A
B
C
D
D E
CORRIGÉ DEVOIR 4
Révisions sur les droites
une équation réduite de chacune des droites tracées ci
-
x
, (EF) : y =  x  , (EG) : x = –4
Donner l’équation réduite de la droite parallèle à (CD) passant par B.
+ p
Or le point B appartient à cette droite, donc ses coordonnées vérifient l’équation de
à (CD) passant par B est
: y =  x +
elles perpendiculaires
? Justifier.
Le produit des coefficients directeurs des deux droites n’est pas égal à
–1, donc
chercher les coordonnées du point d’intersection L de (AB) et (CD)
en résolvant
. Ensuite
vérifier à l’aide du théorème de Pythagore si le tri
ou DL=
√
et BL =
√
La planche de Galton
A l'aide d'un arbre, dénombrer les différents chemins possibles de la bille.
Combien, parmi ces chemins,
; 4 chemins aboutissent à B ou à D et 6 chemins aboutissent à C.
La planche est conçue pour que tous les chemins soient équiprobables.
Déterminer la loi de probabilité associé
e à cette expérience aléatoire.
B C D
4
16
6
16
4
16
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
Déterminer la loi de probabilité associée
à une planche de Galton possédant cinq
rangées de clous.
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
B C D
5
32
10
32
10
32
Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâton.
E
F
21/12/2012
Pour le 09/01
en résolvant
le système
vérifier à l’aide du théorème de Pythagore si le tri
angle ALC est
Combien, parmi ces chemins,
; 4 chemins aboutissent à B ou à D et 6 chemins aboutissent à C.
E
1
16
rangées de clous.
E F
5
32
1
16

EXERCICE 3 : La cible
10
5
2
1
Un joueur lance des fléchettes sur une cible circulaire formée de 4 régions marquées 1, 2, 5 et 10.
Les régions sont des cercles concentriques de rayons respectifs : r, 2r, 3r et 4r.
Nous admettons que la probabilité que le joueur atteigne la cible est de et que, une fois la cible atteinte, la
probabilité d'atteindre la région i est proportionnelle à l’aire de la région i.
1. Calculer la probabilité d'atteindre la région i pour i =1, 2, 5, 10.
La probabilité d’atteindre la région 10 est : P(i = 10) = ×
!"
=
La probabilité d’atteindre la région 5 est : P(i = 5) = ×
!" #
!"
=
La probabilité d’atteindre la région 2 est : P(i = 2) = ×
!" #!"
!"
=
La probabilité d’atteindre la région 1 est : P(i = 1) = ×
!" #!"
!"
=
2. Si le joueur atteint la région i, il marque i points et 0 point s'il n'atteint pas la cible. Soit la variable aléatoire X :
"nombre de points marqués lors d'un lancer".
a. Donner la loi de probabilités de X.
x
i
0 1 2 5 10
P(X = x
i
)
2
18
7
18
5
18
3
18
1
18
b. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter ce résultat.
E(X) = 0× + 1× + … + 10× ≃ 2,33
Si on lance un grand nombre de fléchettes on obtiendra, en moyenne, un score de 2,33 par fléchette.
3. Le joueur lance deux flèches de suite, les lancers étant indépendants. Soit Y la variable aléatoire " Somme des
points marqués lors des deux lancers".
Donner la loi de Y et son espérance mathématique.
On peut faire un arbre pondéré par les probabilités pour trouver la loi de Y (un arbre à 5×5 branches) :
On peut aussi faire un tableau à double entrée pour trouver la loi de Y.
y
i
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 15 20
P(Y=y
i
)
4
324
28
324
69
324
70
324
25
324
12
324
42
324
30
324
13
324
14
324
10
324
6
324
1
324
Espérance de Y : E(Y) = 0× + 1× + … + 20× ≃ 4,66
Si on lance un grand nombre de fois un couple de deux fléchettes on obtiendra, en moyenne, un score de 4,66 par
couple.
Remarque : E(Y) = 2 E(X) !!!
La moyenne sur beaucoup de lancers de deux fléchettes est le double de la moyenne sur une fléchette, les deux
lancers étant indépendants. Attention, on n’a pas Y = 2 X.
4. Le joueur lance trois flèches de suite. Quelle est la probabilité qu'il marque au moins 20 points ? Justifier.
On fait un arbre partiel : sur les 5×5×5 = 125 branches possibles, on ne garde que les branches qui donneront un
résultat supérieur ou égal à 20.
Les scores possibles sont : (0 ;10 ;10) (1 ;10 ;10) (2 ;10 ;10) (5 ;5 ;10) (5 ;10 ;5) (5 ;10 ;10)
(10 ;0 ;10) (10 ;1 ;10) (10 ;2 ;10) (10 ;5 ;5) (10 ;5 ;10) (10 ;10 ;0) (10 ;10 ;1) (10 ;10 ;2) (10 ;10 ;5) (10 ;10 ;10)
On calcule la probabilité de chaque triplet, par exemple : P [(5 ;10 ;5)] = × × =
Soit A l’événement : « il marque au moins 20 points ». On additionne les probabilités de tous les triplets, on a :
P(A) =
≃ 0,014