Leçon N° 6 : La fonction dérivée

Leçon N° 6 : La fonction dérivée
En première, tu as appris la fonction dérivée d’une fonction, il faut réapprendre tous les
théorèmes vus mais avant revenant sur la définition du nombre dérivée d’une fonction en
x0 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b], le nombre dérivé de f en chaque point x0
sera calculé en faisant :
lim
f ( x 0 + h) − f (x 0 )
= f ' (x 0 )
h
(h étant un réel petit 0,1 ou – 0,001 par exemple)
h0
par définition, f ’(x0) s’appelle le nombre dérivé de f en x0.
On peut alors construire la fonction dérivée sur l’intervalle [a ;b] :
Pour tout x0 ∈ [a ;b], x0 y = f ’(x0).
Une chose très importante : la fonction dérivée f ’donne la vitesse instantanée de f en
toute valeur de l’intervalle où elle est définie.
Un exemple : f(x) = x2 avec x∈[1 ; 3].
Cette fonction est parfaitement définie pour tout x de l’intervalle [1 ; 3], nous pouvons
calculer le nombre dérivé de f en x0 , x0∈[1 ; 3] :
f(x0 + h) = (x0 + h)2 ; f(x0) = x02 ; h un réel petit voisin de 0.
(x 0 + h) 2 − x 0 2
x 0 2 + 2x 0 h + h 2 − x 0 2
f (x 0 + h) − f (x 0 )
lim
= lim
= lim
h
h
h
h0
h0
h0
2x 0 h + h 2
h (2x 0 + h )
= lim
= lim 2 x 0 + h = 2x0.
h
h
h0
h0
h0
2
La fonction dérivée de f(x) = x est donc f ’(x) = 2x pour tout x∈
∈[a ;b].
La vitesse instantanée de f sera donc donnée par 2x soit si x = 1, f ‘(1) = 2 ; si x = 2, f ‘(2) = 4,
la fonction accélère etc…
Ceci est facile à vérifier :
f(1) = 12 = 1 ; f(1,5) = 1,52 = 2,25, la fonction a augmenté de 1,25 quand x augmente de 0,5.
f(2) = 22 = 4 ; f(2,5) = 2,52 = 6,25, la fonction a augmenté de 2,25 quand x augmente de 0,5.
On peut dire que f augmente plus vite en x = 2 quand x =1.
lim
La valeur de la fonction dérivée f’ de f en x0 peut se voir sur un graphique en traçant en x0 la
tangente à la courbe (Cf) en effet, l’équation de la tangente en x0 à la courbe (Cf) a pour
équation : (Tx0) y = f ‘(x0)( x – x0) + f(x0).
f ‘(x0) représente le coefficient directeur de la tangente (Tx0)
Voyons cela sur la parabole représentant f(x) = x2
Représentons (T1), (T2) et (T3)
(T1) y = 2(x – 1) + 1 soit y = 2x – 1 (f ’(1) = 2(1) = 2 et f(1) = 12 = 1)
(T2) y = 4(x – 2) + 4 soit y = 4x – 4 (f ‘(2) = 2(2) = 4 et f(2) = 22 = 4)
(T3) y = 6(x – 3) + 9 soit y = 6x – 9 (f ‘(3) = 2(3) = 6 et f(3) = 32 = 9)
Nous voyons bien que les tangentes se redressent et donc que la vitesse de f grandit ;
La fonction dérivée de f sert à étudier le sens de variations de cette fonction f.
Croissance − décroissance
En termes simples, une fonction est croissante sur un intervalle I, si, sur tout cet intervalle,
l’image f(x) varie dans le même sens que la variable x c’est-à-dire si x augmente, f(x)
augmente mais si x diminue alors f(x) diminue.
Exemple : en voiture, à la cinquième vitesse, si j’augmente la vitesse, la consommation
augmente, la consommation est alors une fonction croissante de la vitesse.
Une fonction est décroissante sur un intervalle I, si, sur tout cet intervalle, l’image varie en
sens contraire de la variable x.
Exemple : en avion, la température est une fonction décroissante de l’altitude, en effet, si
l’altitude augmente, la température extérieure diminue mais si l’altitude diminue alors la
température extérieure augmente.
En première, nous avons vu que :
Théorème important
Soit une fonction f, définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle :
Si pour tout x∈ I, f ‘(x)> 0 , alors sera strictement croissante sur I.
Si pour tout x∈ I, f ‘(x)< 0, alors f sera strictement décroissante sur I.
Si pour tout x∈ I, f ‘(x) = 0, alors f sera constante sur I.
Il reste les théorèmes suivants à bien connaître :
Si f(x) = ax + b alors f ’(x) = a, pour tout x réel.
Si f(x) = ax2 + bx + c alors f ’(x) = 2ax + b, pour tout x réel.
Et j’ajoute aussi :
1
1
Si f(x) = , x ≠ 0, alors f ’(x) = − 2 , x ≠ 0.
x
x
Si f(x) = ku(x), avec k réel, alors f ’(x) = ku ’(x).
u' ( x )
1
, avec u(x) ≠ 0 alors f ’(x) = −
avec u(x) ≠ 0.
Si f(x) =
u( x )
[ u( x )] 2
En terminale pour le BAC, il y a des théorèmes nouveaux :
Théorème 1 : Dérivée d’une somme de fonctions dérivables
(u(x) + v(x)) ‘ = u ‘(x) + v ‘(x) ou plus simplement (u + v) ‘ = u ‘+ v ‘.
Exemple :
1
Si f(x) = x +
x
2
x ≠ 0 alors f ‘(x) = 2x −
1
x2
=
2x 3 − 1
x2
Théorème 2 : Dérivée d’un produit de deux fonctions dérivables
(u(x) v(x))’ = u ‘(x) v(x) + u(x) v ‘(x) ou plus simplement (uv)’ = u’v + u v’.
Exemple :
Si f(x) = 3x(x2 + 1) alors f ‘(x) = 3(x2 + 1) + 3x(2x) = 3x2 + 3 + 6x2 = 9x2 + 3.
(Vérification, il y a une autre façon de faire f(x) = 3x3 + 3x donc f ‘(x) = 9x2 + 3.
Théorème 3 : Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables
'
 u( x )  u' ( x )v( x ) − u( x )v' ( x )

 =
[ v( x )] 2
 v( x ) 
v(x) ≠ 0
'
ou plus simplement
 u  u' v − uv'
.
  =
v
v2
Exemple :
Si f(x) =
2x
2
x∈R (Le dénominateur ne s’annule pas, x2 ≥ 0 et donc x2 + 1 ≥ 1 > 0)
x +1
Nous posons u(x) = 2x donc u ‘(x) = 2
v(x) = x2 + 1 donc v ‘(x) = 2X
f ‘(x) =
=
u ' v − uv'
v2
2(1 − x 2 )
=
=
2( x 2 + 1) − 2 x (2 x )
( x 2 + 1) 2
2(1 − x )(1 + x )
=
2x 2 + 2 − 4x 2
( x 2 + 1) 2
=
2 − 2x 2
( x 2 + 1) 2
valable pour tout réel x.
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
Remarque : nous devons factoriser à la fin du calcul de la fonction dérivée car n’oublions pas
le théorème important vu ci-dessus, nous devons étudier le signe de f ‘ pour déterminer le
sens de variations de f.
Théorème 4 : dérivée d’une fonction composée
[v(u(x)] ‘ = v ‘(u(x)) (u ‘(x))
Exemple :
Si f(x) = (3x – 5)2 , nous avons bien x 3x – 5 puis (3x – 5)2 (Fonction composée)
Alors f ‘(x) = 2(3x – 5) (3) car la dérivée de u2 est 2u et (3x – 5) ‘ = 3
f ‘(x) = 6(3x – 5) = 18x – 30
(Nous pouvons vérifier en dérivant d’une autre manière, f(x) = 9x2 – 30 x + 25 et donc
f ‘(x) = 18x – 30 )
1
1
u(x) ≠ 0 (fonction composée xu(x)
) alors
Ce théorème explique que, si f(x) =
u(x)
u(x)
1
u ' (x )
f ‘(x) = −
× u' (x) = −
2
(u ( x ))
(u ( x )) 2
Exemple :
1
1
1
2
Si f(x) =
x ≠ − alors, f ‘(x) = −
x≠ − .
2x + 1
2
2
(2 x + 1) 2
Vous aurez deux nouveaux théorèmes lorsque vous apprendrez les nouvelles fonctions
logarithme népérien f(x) = ln x et la fonction exponentielle g(x) = ex.
Passons aux exercices.
Il s’agit souvent d’étudier une fonction économique pour déterminer un maximum ou un
minimum en utilisant le tableau de variations donc calcul de la fonction dérivée, étude du
signe de cette dérivée puis construction du tableau.
Mais il faut en premier lieu s’entraîner à calculer et à utiliser des fonctions dérivées.
TERMINALE STG
FICHE DERIVATIONS
Exercice 1
Reprenons les fonctions étudiées dans la leçon précédente et calculons la fonction dérivée
dans chaque cas pour en déduire le tableau de variations.
f(x) = (2x + 5)2 – (2x – 7)2
x∈[0 ;3]
2
2
g(x) = 4x – (5 – x)
x∈[0;7]
2
h(x) = x − 1 + (x − 1)(2x – 5)
x∈[0;3]
5
j(x) = 1 +
x∈[0 ;8]
x−4
mais il y a aussi une fonction affine toute simple : f(x) = 5 – 3x x∈[0 ;20] ou encore :
f(x) = 4x2 + x − 5 avec x∈[−2 ; 2] de l’exercice 2.
2x − 3
g(x) =
x∈[−5 ; 5] de l’exercice 3.
x +1
30
x∈[0 ;10] de l’exercice 5 de la leçon précédente.
V(t) =
0,5t + 1
Exercice 2
Dans une entreprise, le coût total en K€, en fonction du nombre q d’objets fabriqués, est
donné par la fonction suivante : C(q) = q2 + 8q + 64
q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30]
C (q )
On veut étudier le coût moyen de fabrication, CM(q) =
. Expliciter cette fonction CM.
q
Etudier CM sur l’intervalle [1 ; 30]. Quel le coût moyen minimal ?
On veut étudier aussi le coût marginal (Cm(q) = C(q+1) – C(q)) pour montrer que la fonction
dérivée de C est une approximation de cette fonction.
Enfin, nous voulons étudier le bénéfice réalisé par la vente des objets fabriqués. On suppose
qu’une centaine d’objets est vendue 31,2 K€.
a) Soit R la recette, donner R en fonction de q.
b) Tracer sur un même graphique les courbes représentant R et C.
Comment peut-on analyser ce graphique ?
c) On appelle B le bénéfice, exprimer B en fonction de q et étudier cette fonction.
Déterminer le bénéfice maximum.
Exercice 3
Une entreprise qui fabrique des objets estime que le coût total, en milliers d’euros de
production de x tonnes d’objets est donnée par la fonction C :
C(x) = x3 – 12x2 + 50x
x∈[0 ;300]
1) Etudier les variations de C sur [0 ; 300] (On montrera que la fonction dérivée de C,
2

peut se mettre sous la forme C ’(x) = 3( x − 4) 2 +  et on en déduira le signe de C ’)
3

2) Tracer la représentation graphique de C (En abscisse : 1 unité pour 50 tonnes et en
ordonnée : 1 unité pour 1000 milliers d’euros).
3) L’entreprise vend sa production 50 000 euros la tonne.
Vérifier que le bénéfice B est donné par B(x) = – x3 + 12x2.
Etudier les variations de B(x) et déterminer le bénéfice maximal ?
Exercice 4 – QCM
Question 1
Nous avons la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
y
2
1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
Nous donnons la représentation de 3 fonctions dérivées f ‘ possibles. Quelle est la bonne ?
y
y
2
2
1
1
y
3
2
1
0
-1
1
2
3
4
x
0
-1
-2
-2
-3
-3
Réponse 1
Question 2
3
, x ≠ 0.
x
La fonction dérivée de f est :
9
Réponse 1 : f ‘(x) = −
x ≠ 0.
x2
3
Réponse 2 : f ‘(x) = −
x ≠ 0.
x2
3
x ≠ 0.
Réponse 3 : f ‘(x) =
x2
Soit la fonction f(x) =
1
2
3
4 x
-1
0
-1
1
2
-2
Réponse 2
Réponse 3
3
4 x
Question 3
Voici la représentation graphique d’une fonction économique f définie pour x∈[0 ;10] :
Voici trois tableaux de variations, trouver celui de f.
x
0
10
250
f(x)
x
125
0
10
250
f(x)
0
x
0
250
10
f(x)
0
Réponse 1
0
Réponse 2
Question 4
Soit f(x) = (2 – x)3, x∈R.
La fonction dérivée est :
Réponse 1 : f ‘(x) = 3(2 – x)2 x∈R
Réponse 2 : f ‘(x) = −3(2 – x)2 x∈R
Réponse 3 : f ‘(x) = −2(2 –x)2 x∈R
Question 5.
x2
Soit g(x) =
avec x positif.
x+2
La fonction dérivée g ‘ est :
Réponse 1 : g ‘(x) =
Réponse 2 : g ‘(x) =
x 2 + 4x
( x + 2) 2
− x 2 − 4x
( x + 2) 2
avec x positif.
avec x positif.
Réponse 3
Réponse 3 : g ‘(x) =
2x
( x + 2) 2
avec x positif.
Exercice 5
Nous voulons trouver une fonction f définie sur R sachant que f est un polynôme de degré 3
de la forme f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c et d étant des réels et que sa courbe (Cf) passe par
le point A(0 ;3) et le point B(1 ;5). D’autre part, nous savons que la dérivée de f en x = 0 vaut
2 et que une équation de la tangente à la courbe pour x = 1 est y = 3x + 2.
a) Placer les points A et B sur la courbe puis
chercher une équation de la tangente en
x = 0. Tracer les deux tangentes en x = 0
et x = 1.
b) En utilisant les informations données dans
l’énoncé, écrire un système sur les
inconnues a,b ,c et d.
c) Trouver la fonction f.
y
5
4
3
2
1
-1
0
-1
1
2x
Correction
Exercice 1
f(x) = (2x + 5)2 – (2x – 7)2
x∈[0 ;3]
Nous allons utiliser le théorème donnant [u2(x)] ‘ = 2 u(x) u ‘(x) ou plus simplement :
(u2) ‘ = 2 uu’ ( u étant une fonction dérivable).
f ’(x) = 2(2x + 5)(2) – 2(2x – 7)(2) (Si g(x) = (2x + 5)2 alors, u(x) = 2x + 5 et g ‘(x) = 2(2x + 5)(2))
f ’(x) = 4(2x + 5) – 4(2x – 7)
f ’(x) = 8x + 20 – 8x + 28
f ’(x) = 48.
En fait, dans la leçon 6, nous avions trouvé f(x) = 48x – 24, x∈[0 ; 3] et donc f ‘(x) = 48 .La
représentation graphique sera bien un segment de droite un segment de droite.
f ’(x) = 48 > 0 donc f sera croissante sur [0 ; 3].
x
0
3
120
f(0) = – 24 et f(3) = 120.
f(x)
−24
(Trace la courbe sur ta calculette pour t’entraîner).
g(x) = 4x2 – (5 – x)2 x∈[0;7]
Même théorème
g ’(x) = 4(2x) – 2(5 – x)(− 1)
(Si la fonction est (5 – x)2, sa dérivée est 2(5 – x)(− 1))
g ’(x) = 8x + 2(5 – x)
((− 1) étant la dérivée de (5 – x))
g ’(x) = 8x + 10 – 2x
g ’(x) = 6x + 10
x∈
∈[0;7].
(Vérification, si vous avez développé g(x) = 3x2 + 10x – 25 alors on a bien g ’(x) = 6x + 10.)
Pour x∈[0 ;7], 6x + 10 sera toujours positif et donc la fonction sera croissante sur cet
intervalle.
x
0
7
g(0) = 3(0)2 + 10(0) – 25 = − 25.
192
g(7) = 3(7)2 + 10(7) – 25 = 192
g(x)
− 25
(A la calculette, nous voyons un morceau de parabole entre 0 et 7)
h(x) = x2 − 1 + (x − 1)(2x – 5)
x∈[0;3]
Pour (x – 1)(2x – 5), nous pouvons utiliser la dérivée d’un produit, (uv) ’ = u’v + u v’.
h ’(x) = 2x + [1(2x – 5) + (x – 1)(2)]
(la dérivée de (−1) est 0 ; celle de x2 est 2x)
h ’(x) = 2x + 2x – 5 + 2x – 2
h ’(x) = 6x – 7 x∈
∈[0;3].
(Vérification en développant, h(x) = 3x2 – 7x + 4 donc h ’(x) = 6x – 7)
Pour les variations, cherchons d’abord x∈[0 ;3] tel que h ’(x) = 0 soit :
7
6x – 7 = 0 et donc 6x = 7 et x = .
6
Tableau de variations :
x
7
6
0
−
h ’(x)
3
0
+
4
10
h(x)
−
1
12
7
[, alors h ’(x) < 0, h
6
sera décroissante sur cet
intervalle.
7
Si x∈] ; 3], alors h ’(x) > 0 ; h
6
sera croissante sur cet
intervalle.
Si x∈[0 ;
7
1
(h(0) = 4 ; h(3) = 10 et h( ) = − )
6
12
(La calculette fait bien apparaître un morceau de parabole)
5
x∈[0 ; 8]
x−4
j n’est définie que sur [0 ;4[ ∪ ]4 ;8] et donc dérivable sur cet intervalle.
Nous allons étudier la dérivée d’une somme (u + v) ’ = u’ + v’.
'
'
'


 u' 
1
 5 
5
1



(1) ’ = 0 et 
explications :   = 5  = 5 −
 =5 −
2
 ( x − 4) 
x −4
u
u
 u2 


−5
avec x∈[0 ;4[ ∪ ]4 ;8].
j ’(x) =
( x − 4) 2
j(x) = 1 +
Pour tout x du domaine de définition de f et f’, la fonction dérivée est négative en effet,
(x – 4)2 est toujours positif ou nul et nous avons − 5 au numérateur. La fonction j est donc
toujours décroissante sur [0 ;4[ ∪ ]4 ;8].
5
5
1
x
0
4
8
j(0) = 1 +
= 1 − = − = − 0,25
−4
4
4
−
−
j ’(x)
j(x)
− 0,25
5 9
j(8) = 1 + = = 2,25
4 4
+∞
−∞
2,25
f(x) = 5 – 3x x∈[0 ;20]
f ‘(x) = − 3
x∈[0 ;20]
f est ici une fonction affine décroissante sur [0 ; 20].
Tableau de variations
x 0
20
f(0) = 5 – 3(0) = 5 ; f(20) = 5 – 3(20) = − 55
5
f(x)
(Vérification à la calculette – module graph)
− 55
(Nous avons un segment de droite)
f(x) = 4x2 + x − 5 avec x∈[−2 ; 2]
1
x∈[−2 ; 2]. La fonction dérivée s’annule pour x = − ∈[−2 ; 2].
8
Tableau de variations :
1
−2
2
x
−
8
f ’(x) = 8x + 1
−
f ’(x)
0
+
9
 1
m = f  −  = −5,0625
 8
(Calculette, un morceau
de parabole)
13
f(x)
m
g(x) =
2x − 3
x∈[−5 ; 5]. Il faut en premier poser x ≠ − 1 qui appartient à [−5 ; 5]
x +1
'
 u  u' v − uv'
Puis, nous employons le théorème :   =
v
v2
u(x) = 2x – 3 donc u ’(x) = 2
v(x) = x + 1
donc v ’(x) = 1
(La fonction dérivée de f(x) = ax + b est f ’(x) = a)
2( x + 1) − 1(2 x − 3)
2x + 2 − 2x + 3
5
x∈[−5 ; −1[∪]−1 ;5].
( x + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
Nous avons une dérivée qui sera toujours positive (5 > 0 et (x+1)2 > 0 x∈[−5 ; −1[∪]−1 ;5]).
−1
5
x −5
− 13
g(−5) =
= 3,25 .
g ’(x)
+
+
−4
7
g(5) =
.
7
6
+∞
6
g(x)
3,25
−∞
g ’(x) =
=
=
(Voir calculette, nous avons bien un morceau d’hyperbole)
Enfin, V(t) =
30
t∈[0 ;10]
0,5t + 1
 1 
 avec u(x) = 0,5t + 1
(qui peut s’écrire 30 
 u(x) 


15
0,5
= −
V ’(t) = 30  −
t∈[0 ;10].
2
 (0,5t + 1) 2 
(
0
,
5
t
+
1
)


Nous ne développons jamais au dénominateur car, il y a souvent des carrés qui sont des
quantités positives. Ici, (0,5t + 1)2 > 0 pour tout réel de l’intervalle [0 ; 10].
∀t∈[0 ; 10], V ’(t) < 0 donc la fonction V est décroissante sur [0 ; 10].
(∀ équivaut à « Pour tout réel ») (Un morceau d’hyperbole pour la courbe)
Tableau de variations
t
0
10
V(0) = 30 et V(10) = 5
−
V ’(t)
30
V(t)
5
Exercice 2
C(q) = q2 + 8q + 64
q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30], C(q) en K€.
La fonction C est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx + c avec a = 1.
La fonction C est une fonction croissante sur [1 ; 30] en effet, C ’(q) = 2q + 8 > 0 pour tout
valeur de q de l’intervalle [1 ; 30].
C(q ) q 2 + 8q + 64
64
=
= q+8+
.
q
q
q
Fonction parfaitement définie pour q∈[1 ; 30] (q ≠ 0 sur l’intervalle d’étude)
Calculons-la :
CM(q) =
CM’(q) = 1 −
64
q 2 − 64
=
q2
multiplie par 64.
q
q2
1
=
(q − 8)(q + 8)
q2
8
q −8
−
q+8
+
CM’(q)
−
1
1
en effet la dérivée de   est −
puis on
q2
q
30
0
+
+
0
73
+
≈ 40,13
La dérivée s’annule pour
q = 8 dans l’intervalle
[1 ;30]. Ensuite, nous
faisons le signe de
(q – 8)(q + 8)
pour q ∈ [1 ; 30].
(au dénominateur
q2 > 0)
CM(q)
m
Le coût moyen minimum m sera atteint pour q = 8 . m = 24 K€.
Pour 800 objets fabriqués, le coût sera minimum et égal à 24 K€.
Etude du coût marginal Cm
Cm(q) = C(q+1) – C(q)
Cm(q) = [(q + 1)2 + 8(q + 1) + 64] – [q2 + 8q + 64]
= q2 + 2q + 1 + 8q + 8 + 64 – q2 – 8q – 64
= 2q + 9 q∈[1 ; 30]
or C’(q) = 2q + 8. Nous constatons donc que Cm(q) ≈ C ’(q) ce qui est généralement admis
pour toute fonction évaluant le coût marginal Cm.
a) La recette sera pour q centaine d’objets vendus, R(q) = 31,2q q∈[1 ; 30].
b) Nous pouvons alors représenter les deux fonctions C et R sur un même graphique.
Pour CR, nous aurons un segment de droite (y = ax) ; pour C, un morceau de parabole.
(Cc)
(CR)
Sur ce graphique, lorsque la droite est en dessous de la courbe représentant C, il y a un
bénéfice négatif et donc en fait une perte. Par exemple, au début si q = 1 , on a C(1) = 73 et
la recette est R(1) = 31,2 donc une perte de 31,2 – 73 = – 41,8 K€.
Par contre lorsque la droite est au-dessus de la courbe (Cc) alors il y a un réel bénéfice.
Aux points d’intersection la recette et le coût sont égaux. Ceci permet de comprendre que
le bénéfice sera maximum lorsque la différence entre les deux courbes sera la plus grande,
donc entre 10 et 15 d’après le graphique.
c) B(q) = R (q ) − C(q ) = 31,2q − (q 2 + 8q + 64) = −q 2 + 23,2q − 64 .
Nous avons un polynôme de degré 2, il y aura un maximum pour q = −
b
, c’est-à-dire :
2a
q = 11,6. le bénéfice maximum sera alors de : Bmax = −(11,6) 2 + (23,2 × 11,6) − 64 = 70,56 .
Il est facile d’étudier cette fonction, sa représentation graphique sera :
On peut utiliser la calculette pour avoir un tableau de valeurs et construire la courbe point
par point.
La courbe représentant le bénéfice sera un morceau de parabole car B(q) est de la forme :
B(q) = aq2 + bq + c avec a = − 1.
On pourrait aussi chercher les
valeurs de q pour lesquelles le
bénéfice est positif. Il s’agit de
la partie de la courbe au dessus
de l’axe.
Bmax
Le bénéfice
maximum
sera
donc de 70,56K€.
Exercice 3
1) La fonction coût est donné par : C(x) = x3 – 12x2 + 50x x∈[0 ; 300] (Polynôme de degré 3)
x∈[0 ; 300]
C ’(x) = 3x2 – 24x + 50
2

Montrons que C ’(x) = 3( x − 4) 2 +  en développant :
3

2
50 


C ’(x) = 3 x 2 − 8x + 16 +  = 3 x 2 − 8x +  = 3x 2 − 24 x + 50 .
3
3


2

L’expression C ’(x) = 3( x − 4) 2 +  montre que pour tout x∈[0 ; 300], la fonction
3

dérivée est toujours positive car (x – 4)2 qui est un carré, est toujours positif. La fonction C
sera toujours croissante c’est-à-dire que quand x augmente dans l’intervalle [0 ; 300], C(x)
augmente.
x
0
C ’(x)
300
+
C(x)
C(0) = 0
C(300) = 25 935 000
25 935 000
0
2)
3) L’entreprise vend sa production 50 000 euros la tonne soit 50 milliers d’euros la tonne.
Le prix de vente total est PV(x) = 50x pour x tonnes (PV en milliers d’euros)
Le bénéfice sera B(x) = PV(x) – C(x) = 50x – (x3 – 12x2 + 50x)
B(x) = 50x – x3 + 12x2 – 50x = − x3 + 12x2
avec x∈
∈[0 ; 300].
Pour étudier les variations de B, calculons la fonction dérivée de B :
B ’(x) = − 3x2 + 24x
x∈
∈[0 ; 300] ((x3) ’ = 3x2 et (12x2) ’ ) = 12(2x) = 24x)
Factorisons B ’(x) : B ’(x) = 3x( − x + 8) ce ci permet d’étudier le signe de B ’ :
x
0
3x
0 +
−x+8
B ’(x)
8
300
+
+ 0
−
0 + 0
BM
−
B(300) = − 25 920 000
B(x)
0
− 25 920 000
Le bénéfice maximal sera atteint pour la vente de 8 tonnes d’objets soit :
BM = B(8) = −(8)3 + 12(8)2
= 256 milliers d’euros.
(Faîtes la courbe sur la calculette, attention à la fenêtre graphique !)
Exercice 4
Question 1
y
2
1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
Il faut choisir entre trois fonctions dérivées et donc observons les variations de f d’après la
courbe. f est croissante jusqu’à x = 1 donc f ’(x) > 0 jusqu’à x = 1 ; puis elle est décroissante
sur l’intervalle ]1 ; 3[ et donc f ’(x) < 0 pour x∈]1 ; 3[ ; enfin après x = 3 f est croissante donc
la fonction dérivée f ’(x) > 0 après x = 3. Remarquons que f possède deux extremums pour
x = 1 et pour x = 3, aux points correspondants sur la courbe, les tangentes sont horizontales
et f ’(x) = 0 pour x = 1 et x = 3. Ceci permet d’éliminer la réponse 2 et l’étude du signe de f ’
permet de voir que la bonne réponse est la réponse 1.
y
2
1
0
-1
1
2
3
4
x
-2
-3
Réponse 1
Question 2
3
, x ≠ 0.
x
Pour calculer la fonction dérivée, nous utilisons deux théorèmes :
1
1
Si k∈R, alors (ku(x)) ’ = k u ’(x) et si u(x) = , alors u ’(x) = −
avec x ≠ 0.
x
x2
1
f(x) peut s’écrire f(x) = 3  donc la fonction dérivée de f sera :
x
Soit la fonction f(x) =
 1 
3
 =−
f ’(x) = 3 −
avec x ≠ 0.
2
x2
 x 
La réponse 2 est exacte.
Question 3
L’observation de la courbe de cette
fonction économique montre qu’il
s’agit d’une fonction toujours
croissante.
Pour x = 5, nous avons certainement
une tangente horizontale et la
courbe franchit cette tangente.
Cela s’appelle un point d’inflexion à
tangente horizontale.
f ’(x) = 0 pour x = 5 mais f ’(x) ≥ 0
pour x∈[0 ; 10].
F est donc une fonction toujours
croissante sur [0 ; 10].
Dans un tableau de variations, on ne fait qu’une seule flèche montante quand f est toujours
croissante sur [0 ; 10] donc la réponse 2 est exacte.
Question 4
Soit f(x) = (2 – x)3, x∈R. Pour dériver cette fonction, nous utilisons : (u3) ’ = 3 u2 u’
u(x) = 2 – x donc u ’(x) = − 1.
f ’(x) = 3(2 – x)2(−1)
f ’(x) = −3(2 – x)2 avec x∈R.
La réponse 2 est exacte.
Question 5
x2
avec x positif.
x+2
g est parfaitement définie pour x positif car le dénominateur ne s’annule pas et donc
Soit g(x) =
'
 u  u' v − uv'
dérivable avec le théorème :   =
v
v2
2
u(x) = x donc u ’(x) = 2x
v(x) = x + 2 donc v ’(x) = 1
g ’(x) =
2 x ( x + 2) − 1( x 2 )
( x + 2) 2
La réponse 1 est exacte.
=
2x 2 + 4x − x 2
( x + 2) 2
=
v ≠ 0.
x 2 + 4x
( x + 2) 2
x positif.
Exercice 5
C’est un exercice sous forme de devinette que souvent les élèves n’aiment pas. Il faut bien
lire l’énoncé et traduire en équations les informations qu’il contient.
Premièrement la fonction cherchée est un polynôme de degré 3 de la forme :
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c et d étant des réels et donc a ≠ 0.
Ensuite complétons la courbe :
a)
Plaçons les points A et B puis cherchons les équations des tangentes.
L’équation de la tangente en x0 à la courbe (Cf) a pour équation :
(Tx0) y = f ’(x0)( x – x0) + f(x0).
Donc (T0) y = f ’(0)(x – 0) + f(0) soit y = 2(x – 0) + 3 ; (T0) y = 2x + 3.
De même (T1) y = f ’(1)(x – 1) + f(1) soit y = 3(x – 1) + 5 ; (T1) y = 3x +2.
y
10
(T1)
9
8
(T0)
7
6
5
B
4
A
3
2
1
0
1
2
x
b) Nous pouvons écrire les équations suivantes :
Première information, A(0 ; 3) donc f(0) = 3 ce qui donne a(0)3 + b(0)2 + c(0) + d = 3
soit d = 3.
Deuxième information, B(1 ;5) donc f(1) = 5 ce qui donne a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = 5
soit a + b + c + d = 5.
Troisième information, f ’(0) = 2. Calculons la dérivée de f :
f ’(x) = (ax3)’ + (bx2)’ + (cx)’ + (d)’ soit f ’(x) = 3ax2 + 2bx + c
et donc f ’(0) = 2 donne 3a(0)2 + 2b(0) + c = 2
soit c = 2.
Dernière information, une équation de la tangente à la courbe pour x = 1 est y = 3x + 2.
Le coefficient directeur de (T1) est f ’(1) donc f ’(1) = 3.
Soit 3a(1)2 + 2b(1) + c = 3
soit 3a + 2b + c = 3.
Nous pouvons écrire un système de 4 équations à 4 inconnues.
Nous cherchons donc a,b,c et d tels que :
d=3
a+b+c+d=5
c=2
3a + 2b + c = 3
⇔
d=3
c=2
a+b+2+3=5
3a + 2b + 2 = 3
⇔
d=3
c=2
a+b=0
3a + 2b = 1
Il nous reste à résoudre les deux dernières équations
a+b=0
3a + 2b = 1
Nous avons a = − b et en reportant dans la deuxième équation : − 3b + 2b = 1 ce qui
donne − b = 1 soit b = − 1 et donc a = 1.
Conclusion : a = 1 ; b = −1 ; c = 2 et d = 3.
La fonction f est : f(x) = 1x3 – 1x2 + 2x + 3
soit f(x) = x3 – x2 + 2x + 3.
(Il te reste à vérifier à la calculette qu’il s’agit de la bonne fonction en traçant sa courbe)