Leçon N° 6 : La fonction dérivée

Leçon N° 6 : La fonction dérivée
En première, tu as appris la fonction dérivée d’une fonction, il faut réapprendre tous les
théorèmes vus mais avant revenant sur la définition du nombre dérivée d’une fonction en
x
0
:
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b], le nombre dérivé de f en chaque point x
0
sera calculé en faisant :
)x('f
h)x(f)hx(f
lim
0
00
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
(h étant un réel petit 0,1 ou – 0,001 par exemple)
h0
par définition, f ’(x
0
) s’appelle le nombre dérivé de f en x
0
.
On peut alors construire la fonction dérivée sur l’intervalle [a ;b] :
Pour tout x
0
∈ [a ;b], x
0
y = f ’(x
0
).
Une chose très importante : la fonction dérivée f ’donne la vitesse instantanée de f en
toute valeur de l’intervalle où elle est définie.
Un exemple : f(x) = x
2
avec x∈[1 ; 3].
Cette fonction est parfaitement définie pour tout x de l’intervalle [1 ; 3], nous pouvons
calculer le nombre dérivé de f en x
0
, x
0
∈[1 ; 3] :
f(x
0
+ h) = (x
0
+ h)
2
; f(x
0
) = x
0
2
; h un réel petit voisin de 0.
lim
h
)x(f)hx(f
00
−+ = lim
h
x)hx(
2
0
2
0
−+ = lim
h
xhhx2x
2
0
2
0
2
0
−++
h0 h0 h0
lim
h
hhx2
2
0
+= lim hx2lim
h
)hx2(h
0
0
+=
+= 2x
0
.
h0 h0 h0
La fonction dérivée de f(x) = x
2
est donc f ’(x) = 2x pour tout x∈
∈∈
∈[a ;b].
La vitesse instantanée de f sera donc donnée par 2x soit si x = 1, f ‘(1) = 2 ; si x = 2, f ‘(2) = 4,
la fonction accélère etc…
Ceci est facile à vérifier :
f(1) = 1
2
= 1 ; f(1,5) = 1,5
2
= 2,25, la fonction a augmenté de 1,25 quand x augmente de 0,5.
f(2) = 2
2
= 4 ; f(2,5) = 2,5
2
= 6,25, la fonction a augmenté de 2,25 quand x augmente de 0,5.
On peut dire que f augmente plus vite en x = 2 quand x =1.
La valeur de la fonction dérivée f’ de f en x
0
peut se voir sur un graphique en traçant en x
0
la
tangente à la courbe (Cf) en effet, l’équation de la tangente en x
0
à la courbe (Cf) a pour
équation : (T
x0
) y = f ‘(x
0
)( x – x
0
) + f(x
0
).
f ‘(x
0
) représente le coefficient directeur de la tangente (T
x0
)
Voyons cela sur la parabole représentant f(x) = x
2
Représentons (T
1
), (T
2
) et (T
3
)
(T
1
) y = 2(x – 1) + 1 soit y = 2x – 1 (f ’(1) = 2(1) = 2 et f(1) = 1
2
= 1)
(T
2
) y = 4(x – 2) + 4 soit y = 4x – 4 (f ‘(2) = 2(2) = 4 et f(2) = 2
2
= 4)
(T
3
) y = 6(x – 3) + 9 soit y = 6x – 9 (f ‘(3) = 2(3) = 6 et f(3) = 3
2
= 9)

Nous voyons bien que les tangentes se redressent et donc que la vitesse de f grandit ;
La fonction dérivée de f sert à étudier le sens de variations de cette fonction f.
Croissance −
−−
− décroissance
En termes simples, une fonction est croissante sur un intervalle I, si, sur tout cet intervalle,
l’image f(x) varie dans le même sens que la variable x c’est-à-dire si x augmente, f(x)
augmente mais si x diminue alors f(x) diminue.
Exemple : en voiture, à la cinquième vitesse, si j’augmente la vitesse, la consommation
augmente, la consommation est alors une fonction croissante de la vitesse.
Une fonction est décroissante sur un intervalle I, si, sur tout cet intervalle, l’image varie en
sens contraire de la variable x.
Exemple : en avion, la température est une fonction décroissante de l’altitude, en effet, si
l’altitude augmente, la température extérieure diminue mais si l’altitude diminue alors la
température extérieure augmente.
En première, nous avons vu que :
Théorème important
Soit une fonction f, définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle :
Si pour tout x ∈ I, f ‘(x) > 0 , alors sera strictement croissante sur I.
Si pour tout x ∈ I, f ‘(x) < 0, alors f sera strictement décroissante sur I.
Si pour tout x ∈ I, f ‘(x) = 0, alors f sera constante sur I.
Il reste les théorèmes suivants à bien connaître :

En terminale pour le BAC, il y a des théorèmes nouveaux :
Théorème 1 : Dérivée d’une somme de fonctions dérivables
(u(x) + v(x)) ‘ = u ‘(x) + v ‘(x) ou plus simplement (u + v) ‘ = u ‘+ v ‘.
Exemple :
Si f(x) = x
2
+
x
1
x ≠ 0 alors f ‘(x) = 2x
2
3
2
x
1x2
x
1−
=−
Théorème 2 : Dérivée d’un produit de deux fonctions dérivables
(u(x) v(x))’ = u ‘(x) v(x) + u(x) v ‘(x) ou plus simplement (uv)’ = u’v + u v’.
Exemple :
Si f(x) = 3x(x
2
+ 1) alors f ‘(x) = 3(x
2
+ 1) + 3x(2x) = 3x
2
+ 3 + 6x
2
= 9x
2
+ 3.
(Vérification, il y a une autre façon de faire f(x) = 3x
3
+ 3x donc f ‘(x) = 9x
2
+ 3.
Théorème 3 : Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables
2
'
)]x(v[
)x('v)x(u)x(v)x('u
)x(v )x(u −
=
 v(x)
≠ 0
ou plus simplement
2
'
v
'uvv'u
v
u−
=
.
Exemple :
Si f(x) =
1
x
x2
2
+
x∈R (Le dénominateur ne s’annule pas, x
2
≥ 0 et donc x
2
+ 1 ≥ 1 > 0)
Nous posons u(x) = 2x donc u ‘(x) = 2
v(x) = x
2
+ 1 donc v ‘(x) = 2X
f ‘(x) =
22
2
22
22
22
2
2
)1x(
x22
)1x(
x42x2
)1x(
)x2(x2)1x(2
v
'uvv'u
+
−
=
+−+
=
+
−+
=
−
=
2222
2
)1x(
)x1)(x1(2
)1x(
)x1(2
++−
=
+
−
valable pour tout réel x.
Remarque : nous devons factoriser à la fin du calcul de la fonction dérivée car n’oublions pas
le théorème important vu ci-dessus, nous devons étudier le signe de f ‘ pour déterminer le
sens de variations de f.
Si f(x) = ax + b alors f ’(x) = a, pour tout x réel.
Si f(x) = ax
2
+ bx + c alors f ’(x) = 2ax + b, pour tout x réel.
Et j’ajoute aussi :
Si f(x) =
x
1
, x ≠ 0, alors f ’(x) =
2
x
1
− , x ≠ 0.
Si f(x) = ku(x), avec k réel, alors f ’(x) = ku ’(x).
Si f(x) =
)x(u 1
, avec u(x) ≠ 0 alors f ’(x) =
2
)]x(u[
)x('u
− avec u(x) ≠ 0.

Théorème 4 : dérivée d’une fonction composée
[v(u(x)] ‘ = v ‘(u(x)) (u ‘(x))
Exemple :
Si f(x) = (3x – 5)
2
, nous avons bien x  3x – 5 puis  (3x – 5)
2
(Fonction composée)
Alors f ‘(x) = 2(3x – 5) (3) car la dérivée de u
2
est 2u et (3x – 5) ‘ = 3
f ‘(x) = 6(3x – 5) = 18x – 30
(Nous pouvons vérifier en dérivant d’une autre manière, f(x) = 9x
2
– 30 x + 25 et donc
f ‘(x) = 18x – 30 )
Ce théorème explique que, si f(x) = )x(u1 u(x) ≠ 0 (fonction composée xu(x))x(u1) alors
f ‘(x) =
22
))x(u(
)x('u
)x('u
))x(u(
1−=×−
Exemple :
Si f(x) =
1
x
2
1+
x ≠
2
1
− alors, f ‘(x) =
2
)1x2(
2
+
− x ≠
2
1
− .
Vous aurez deux nouveaux théorèmes lorsque vous apprendrez les nouvelles fonctions
logarithme népérien f(x) = ln x et la fonction exponentielle g(x) = e
x
.
Passons aux exercices.
Il s’agit souvent d’étudier une fonction économique pour déterminer un maximum ou un
minimum en utilisant le tableau de variations donc calcul de la fonction dérivée, étude du
signe de cette dérivée puis construction du tableau.
Mais il faut en premier lieu s’entraîner à calculer et à utiliser des fonctions dérivées.

TERMINALE STG FICHE DERIVATIONS
Exercice 1
Reprenons les fonctions étudiées dans la leçon précédente et calculons la fonction dérivée
dans chaque cas pour en déduire le tableau de variations.
f(x) = (2x + 5)
2
– (2x – 7)
2
x∈[0 ;3]
g(x) = 4x
2
– (5 – x)
2
x∈[0;7]
h(x) = x
2
− 1 + (x − 1)(2x – 5) x∈[0;3]
j(x) = 1 +
4
x
5
−
x ∈ [0 ;8]
mais il y a aussi une fonction affine toute simple : f(x) = 5 – 3x x ∈ [0 ;20] ou encore :
f(x) = 4x
2
+ x − 5 avec x ∈ [ − 2 ; 2] de l’exercice 2.
g(x) =
1
x
3x2 +
−
x ∈ [ − 5 ; 5] de l’exercice 3.
V(t) 1t5,0 30
+
= x ∈ [0 ;10] de l’exercice 5 de la leçon précédente.
Exercice 2
Dans une entreprise, le coût total en K€, en fonction du nombre q d’objets fabriqués, est
donné par la fonction suivante : C(q)
=
q
2
+ 8q + 64 q en centaines d’objets et q ∈ [1 ; 30]
On veut étudier le coût moyen de fabrication, C
M
(q) q)q(C = . Expliciter cette fonction C
M
.
Etudier C
M
sur l’intervalle [1 ; 30]. Quel le coût moyen minimal ?
On veut étudier aussi le coût marginal (Cm(q) = C(q+1) – C(q)) pour montrer que la fonction
dérivée de C est une approximation de cette fonction.
Enfin, nous voulons étudier le bénéfice réalisé par la vente des objets fabriqués. On suppose
qu’une centaine d’objets est vendue 31,2 K€.
a) Soit R la recette, donner R en fonction de q.
b) Tracer sur un même graphique les courbes représentant R et C.
Comment peut-on analyser ce graphique ?
c) On appelle B le bénéfice, exprimer B en fonction de q et étudier cette fonction.
Déterminer le bénéfice maximum.
Exercice 3
Une entreprise qui fabrique des objets estime que le coût total, en milliers d’euros de
production de x tonnes d’objets est donnée par la fonction C :
C(x) = x
3
– 12x
2
+ 50x x ∈ [0 ;300]
1) Etudier les variations de C sur [0 ; 300] (On montrera que la fonction dérivée de C,
peut se mettre sous la forme C ’(x) =
+− 3
2
)4x(3 2
et on en déduira le signe de C ’)
2) Tracer la représentation graphique de C (En abscisse : 1 unité pour 50 tonnes et en
ordonnée : 1 unité pour 1000 milliers d’euros).
3) L’entreprise vend sa production 50 000 euros la tonne.
Vérifier que le bénéfice B est donné par B(x) = – x
3
+ 12x
2
.