Racine carrée : partie 2

Racine carrée : partie 2
I. Racine carrée et produit :
A/ Propriété :
𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres positifs.
√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
B/ Démonstration :
2
2
2
(√𝑎 × √𝑏) = (√𝑎) × (√𝑏) = 𝑎 × 𝑏
2
(√𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏
or : si les carrés de deux nombres positif sont égaux, alors ces deux nombres sont égaux.
donc : √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
C/ Exemples:
√2 × √3 = √2 × 3 = √6
√50 × √2 = √50 × 2 = √100 = 10
Cette formule sert également à « simplifier » des racines carrées :
√45 = √9 × 5 = √9 × √5 = 3√5
√32 = √16 × 2 = √16 × √2 = 4√2
II. Racine carrée et quotient :
A/ Propriété :
𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres positifs.
𝑎
√𝑎
=√
𝑏
√𝑏
B/ Démonstration :
√𝑎
2
( ) =
√𝑏
(√𝑎)
(√𝑏)
2
2
𝑎
=𝑏
et
𝑎
2
𝑎
(√𝑏) = 𝑏
or : si les carrés de deux nombres positif sont égaux, alors ces deux nombres sont égaux.
𝑎
𝑎
donc : √√𝑏 = √𝑏
C/ Exemples:
√15
√3
15
= √ 3 = √5
16
25
√
=
√16
√25
4
2
√ =
9
=5
√2
√9
III. Racine carrée et addition et soustraction :
A/ attention:
𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres positifs.
et
√𝑎 + √𝑏 ≠ √𝑎 + 𝑏
B/ Contre-exemple:
√64 + 36 = √100 = 10 } 𝑑𝑜𝑛𝑐 64 + 36 ≠
√64 + √36
√
√64 + √36 = 8 + 6 = 14
√25 − 9 = √16 = 4 } 𝑑𝑜𝑛𝑐
√25 − 9 ≠ √25 − √9
√25 − √9 = 5 − 3 = 2
√𝑎 − √𝑏 ≠ √𝑎 − 𝑏
=
√2
3