Fonction exponentielle et asymptotes

Fonction exponentielle et asymptotes
f est la fonction définie sur  par
fx=x12ex
ex1
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Déterminer la limite de f en - .
b) Démontrer que pour tout réel x,
fx=x12
1ex
et en déduire la limite de f en + ?
3. a) Démontrer que pour tout réel x,
fx x1=2
ex1
.
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en + .
c) Préciser la position de C par rapport à .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en - .
4. Etudier les variations de f sur [0 ; + [.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .

Fonction exponentielle et asymptotes
f est la fonction définie sur  par
fx=x12ex
ex1
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
f(x)+ f(x)=x+12ex
ex+1+x+12ex ex+1=2
2
ex
1
ex+1
2ex
ex+1
donc
f(x)+ f(x)= 2+2ex22ex
ex+1=0
. On a donc bien f (-x) = -f (x).
Comme f est impaire, la courbe C admet le point O comme centre de symétrie.
2. a) Déterminer la limite de f en - .
Si x tend vers -, alors x + 1 tend vers - et ex tend vers 0, donc f (x) tend vers - et
lim
x
fx=
.
b) Démontrer que pour tout réel x,
fx=x12
1e
x
et en déduire la limite de f en + ?
f(x)=x+12ex
ex+1=x+12ex ex(1+ex)=x+12 1+ex
En +, e-x tend vers 0, donc
2
1ex
tend vers 2 et
fx=x12
1ex
tend vers +.
3. a) Démontrer que pour tout réel x,
fx x1=2
ex1
.
f(x)(x1)= x+12ex
ex+1x+1=22ex ex+1=2ex+22ex ex+1=2 ex+1
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en + .
En +, ex tend vers +, donc
fx x1=2
ex1
tend vers 0.
Comme
lim
x
fx x1=0
, la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +.
c) Préciser la position de C par rapport à .
Comme ex est toujours positif,
fx x1=2
ex1
est toujours positif; la courbe C se
trouve donc au dessus de l'asymptote .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en - .
On a
fx x1=2ex
ex1
. En -, ex tend vers 0 donc f (x) – (x + 1) tend 0. Cela montre

que la droite ' d'équation y = x + 1 est asymptote à C en -.
D'autre part, comme
fx x1=2ex
ex1
est négatif, la courbe C se trouve en dessous de
l'asymptote '.
4. Étudier les variations de f sur [0 ; + [.
f ' (x)=12ex(ex+1)2ex×ex
(ex+1)2=(ex+1)22e2x2ex+2e2x (ex+1)2=e2x+1 (ex+1)2
Comme ex est toujours positif, on a f '(x) > 0 pour tout réel x; la fonction f est donc
croissante sur .
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
L'équation réduite de T est donnée par y = f '(0)(x – 0) + f (0).
Comme f '(0) = ½ et f (0) = 0, on a finalement
y=1
2x
.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .