Fonction exponentielle et asymptotes

Fonction exponentielle et asymptotes
x
2e
.
x
e 1
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
f est la fonction définie sur
par f x =x 1
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Déterminer la limite de f en -
.
b) Démontrer que pour tout réel x, f x =x 1
3. a) Démontrer que pour tout réel x, f x
2
1 e
x 1=
x
et en déduire la limite de f en +
2
.
e 1
b) En déduire que la droite d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +
c) Préciser la position de C par rapport à .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en - .
x
4. Etudier les variations de f sur [0 ; + [.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes
et ' .
.
?
Fonction exponentielle et asymptotes
x
2e
f est la fonction définie sur par f x =x 1 x
.
e 1
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2
x
x
2e
2e
ex
2 ex
f ( x)+ f ( x)= x+1
+ x+1 x =2
x
x
1
e +1
e +1
e +1
+1
ex
x
x
2+2 e 2 2 e
=0 . On a donc bien f (-x) = -f (x).
donc f ( x)+ f ( x)=
x
e +1
Comme f est impaire, la courbe C admet le point O comme centre de symétrie.
2. a) Déterminer la limite de f en - .
Si x tend vers - , alors x + 1 tend vers lim f x =
.
x
et ex tend vers 0, donc f (x) tend vers -
b) Démontrer que pour tout réel x, f x = x 1
2
1 e
x
et en déduire la limite de f en +
x
3. a) Démontrer que pour tout réel x, f x
2ex
f ( x) ( x 1)= x+1 x
e +1
?
x
2e
= x+1
x
e +1
2e
2
x
x = x+1
x
e (1+ e )
1+e
2
2
1
En + , e-x tend vers 0, donc
x tend vers 2 et f x =x
1 e
1 e
f ( x)= x+1
et
x 1=
x
tend vers + .
2
.
1
2 e x 2 e x +2 2 e x
2
x+1=2 x =
= x
x
e +1
e +1
e +1
e
x
b) En déduire que la droite
d'équation y = x - 1 est asymptote à C en + .
2
x 1= x
En + , ex tend vers + , donc f x
tend vers 0.
e 1
x 1 =0 , la droite d'équation y = x - 1 est asymptote à C en + .
Comme xlim f x
c) Préciser la position de C par rapport à .
Comme ex est toujours positif, f x
x 1=
trouve donc au dessus de l'asymptote .
2
e
x
1
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en On a f x
est toujours positif; la courbe C se
.
2 ex
x 1= x
. En - , ex tend vers 0 donc f (x) – (x + 1) tend 0. Cela montre
e 1
que la droite ' d'équation y = x + 1 est asymptote à C en - .
D'autre part, comme f x
x 1=
2 ex
est négatif, la courbe C se trouve en dessous de
ex 1
l'asymptote '.
4. Étudier les variations de f sur [0 ; + [.
2 e x (e x +1) 2 e x ×e x (e x +1)2 2 e 2 x 2 e x +2 e 2 x e 2 x +1
f ' ( x)=1
=
= x
x
2
x
2
2
( e +1)
(e +1)
(e +1)
Comme ex est toujours positif, on a f '(x) > 0 pour tout réel x; la fonction f est donc
croissante sur .
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
L'équation réduite de T est donnée par y = f '(0)(x – 0) + f (0).
1
Comme f '(0) = ½ et f (0) = 0, on a finalement y= x .
2
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes
et ' .