Fonction exponentielle et asymptotes

Fonction exponentielle et asymptotes
2ex
.
e x 1
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
f est la fonction définie sur ℝ par f  x =x 1−
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Déterminer la limite de f en -∞ .
b) Démontrer que pour tout réel x, f  x =x 1−
2
et en déduire la limite de f en +∞ ?
1e−x
2
.
e 1
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ .
c) Préciser la position de C par rapport à .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ .
3. a) Démontrer que pour tout réel x, f  x − x−1=
x
4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .
Fonction exponentielle et asymptotes
2ex
f est la fonction définie sur ℝ par f  x =x 1− x
.
e 1
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
donc
. On a donc bien f (-x) = -f (x).
Comme f est impaire, la courbe C admet le point O comme centre de symétrie.
2. a) Déterminer la limite de f en -∞ .
Si x tend vers -∞, alors x + 1 tend vers -∞ et ex tend vers 0, donc f (x) tend vers -∞ et
lim f  x =−∞ .
x −∞
b) Démontrer que pour tout réel x, f  x =x 1−
En +∞, e-x tend vers 0, donc
2
et en déduire la limite de f en +∞ ?
1e−x
2
2
f  x =x 1−
tend vers +∞.
− x tend vers 2 et
1e
1e−x
3. a) Démontrer que pour tout réel x, f  x − x−1=
2
.
e 1
x
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ .
2
En +∞, ex tend vers +∞, donc f  x − x−1= x
tend vers 0.
e 1
lim f  x − x−1=0 , la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞.
Comme x
∞
c) Préciser la position de C par rapport à .
Comme ex est toujours positif, f  x − x−1=
2
est toujours positif; la courbe C se
e 1
x
trouve donc au dessus de l'asymptote .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ .
−2 e x
On a f  x − x1= x
. En -∞, ex tend vers 0 donc f (x) – (x + 1) tend 0. Cela montre
e 1
que la droite ' d'équation y = x + 1 est asymptote à C en -∞.
−2 e x
D'autre part, comme f  x − x1= x
est négatif, la courbe C se trouve en dessous de
e 1
l'asymptote '.
4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.
Comme ex est toujours positif, on a f '(x) > 0 pour tout réel x; la fonction f est donc
croissante sur ℝ.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
L'équation réduite de T est donnée par y = f '(0)(x – 0) + f (0).
1
Comme f '(0) = ½ et f (0) = 0, on a finalement y= x .
2
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .