Fonction exponentielle et asymptotes

Fonction exponentielle et asymptotes
f est la fonction définie sur ℝ par
fx=x1−2ex
ex1
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Déterminer la limite de f en -∞ .
b) Démontrer que pour tout réel x,
fx=x1−2
1e−x
et en déduire la limite de f en +∞ ?
3. a) Démontrer que pour tout réel x,
fx− x−1= 2
ex1
.
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ .
c) Préciser la position de C par rapport à .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ .
4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .

Fonction exponentielle et asymptotes
f est la fonction définie sur ℝ par
fx=x1−2ex
ex1
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
donc . On a donc bien f (-x) = -f (x).
Comme f est impaire, la courbe C admet le point O comme centre de symétrie.
2. a) Déterminer la limite de f en -∞ .
Si x tend vers -∞, alors x + 1 tend vers -∞ et ex tend vers 0, donc f (x) tend vers -∞ et
lim
x−∞
fx=−∞
.
b) Démontrer que pour tout réel x,
fx=x1−2
1e−x
et en déduire la limite de f en +∞ ?
En +∞, e-x tend vers 0, donc
2
1e−x
tend vers 2 et
fx=x1−2
1e−x
tend vers +∞.
3. a) Démontrer que pour tout réel x,
fx− x−1= 2
ex1
.
b) En déduire que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ .
En +∞, ex tend vers +∞, donc
fx− x−1= 2
ex1
tend vers 0.
Comme
lim
x∞
fx− x−1=0
, la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞.
c) Préciser la position de C par rapport à .
Comme ex est toujours positif,
fx− x−1= 2
ex1
est toujours positif; la courbe C se
trouve donc au dessus de l'asymptote .
d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ .
On a
fx− x1=−2ex
ex1
. En -∞, ex tend vers 0 donc f (x) – (x + 1) tend 0. Cela montre
que la droite ' d'équation y = x + 1 est asymptote à C en -∞.

D'autre part, comme
fx− x1=−2ex
ex1
est négatif, la courbe C se trouve en dessous de
l'asymptote '.
4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.
Comme ex est toujours positif, on a f '(x) > 0 pour tout réel x; la fonction f est donc
croissante sur ℝ.
5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0.
L'équation réduite de T est donnée par y = f '(0)(x – 0) + f (0).
Comme f '(0) = ½ et f (0) = 0, on a finalement
y=1
2x
.
6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes  et ' .