Cours de 5ème

Cours de 5ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai
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Chapitre G1 : Triangles
1/ L'inégalité triangulaire
a/ Exemple préliminaire
b/ Existence d’un triangle
c/ Inégalité triangulaire
d/ Caractérisation métrique d'un alignement
2/ Construction d’un triangle à partir d’angle(s) et de longueur(s)
a/ A partir des longueurs de deux côtés et de l’angle défini par ces côtés
b/ A partir de la longueur d’un côté et des deux angles qui lui sont adjacents
3/ Somme des angles d’un triangle
a/ Propriété (justifiée plus tard)
b/ Application
4/ Triangles particuliers
a/ Triangle isocèle
* Définition
* Propriété angulaire
b/ Triangle équilatéral
* Définition
* Propriété angulaire
1/ L'inégalité triangulaire
a/ Exemple préliminaire
Construire un triangle DEF tel que : DE = 6,5 cm, DF = 6 cm et EF = 5,5 cm.
Etapes de la construction :
1- On trace [DE] tel que DE = 6,5 cm.
2- Dire que DF = 6 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C de centre D et
de rayon 6 cm. On trace ce cercle C.
3- Dire que EF = 5,5 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C ’ de centre E
et de rayon 5,5 cm. On trace ce cercle C ’.
4- F est donc l’un des points d’intersection (s’il existe) des cercles C et C ’.
b/ Existence d’un triangle
Propriété :
On peut construire un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés à
condition que la plus grande longueur soit inférieure ou égale à la somme des
deux autres.

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Exemples :
Que dire du triangle ABC dans chacun des cas suivants ?
 AB = 3 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.
 AB = 4 cm, AC = 2 cm et BC = 7 cm.
 AB = 2 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm.
c/ Inégalité triangulaire
 Activité : Etant donnés trois points A, B et C, on peut distinguer deux cas :
 1er cas : C [AB]
On remarque alors que : AB = AC + CB.
 2ème cas : C [AB]
On remarque alors que : AB < AC + CB
 Propriété (admise):
Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme
des longueurs des deux autres côtés.
d/ Caractérisation métrique d’un alignement
Propriété :
 Si C [AB] , alors AB = AC + CB.
 Réciproquement, si AB = AC + CB, alors C [AB].
Exemples : Les points suivants sont-ils alignés ? Si oui, dans quel ordre ?
 A, B et C tels que AB = 4 cm, AC = 6,5 cm et BC = 10,5 cm ;
 D, E et F tels que DE = 6 cm, DF = 5 cm et EF = 10 cm
A
C
B
A
B
C
C
A
B
A
C
B

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2/ Construction d’un triangle à partir d’angle(s) et de longueur(s)
a/ A partir des longueurs de deux côtés et de l’angle défini par ces côtés
b/ A partir de la longueur d’un côté et des deux angles qui lui sont adjacents

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3/ Somme des angles d’un triangle
a/ Propriété (justifiée plus tard)
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
b/ Application
4/ Triangles particuliers
a/ Triangle isocèle
Définition :
On appelle triangle isocèle un triangle qui a deux côtés de la même longueur.
Caractérisation angulaire :
Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux.
Réciproquement :
Si un triangle a deux angles égaux , alors il est isocèle.
b/ Triangle équilatéral
 Définition :
On appelle triangle équilatéral un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur.
 Caractérisation angulaire :
Les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 60°.
 Réciproquement :
Si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est équilatéral.

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Chapitre G2 : La symétrie centrale
1/ A la découverte d’une nouvelle symétrie
a/ En tant que composée de deux symétries axiales d’axes perpendiculaires
b/ En tant que demi-tour
2/ Propriétés de conservation d’une symétrie centrale
a/ Conservation des longueurs et des angles géométriques
b/ Conservation de l’alignement et des milieux
3/ Symétrique d’un point, points symétriques
a/ Définition
b/ Construction de l’image d’un point
4/ Construction de l’image d’une figure
a/ Point par point
b/ Image d’une droite par une symétrie centrale
c/ Image d’un cercle par une symétrie centrale
5/ Centre de symétrie d’une figure
a/ Définition
b/ Quelques exemples
1/ A la découverte d’une nouvelle symétrie
a/ En tant que composée de deux symétries axiales d’axes perpendiculaires
Confer activité 1
b/ En tant que demi-tour
Confer activité 2
F et F’ sont symétriques par rapport au point O.
F’ est l’image de la figure F par la symétrie centrale de centre O.
F
F’
O
demi-tour
+