LEÇON N˚12 : Multiples, diviseurs, division

LEÇON N˚ 12 :
Multiples, diviseurs, division euclidienne.
Pré-requis :
– Z est bien ordonné et archimédien ;
– Toute partie non vide et minorée (respectivement majorée) de Z possède un plus petit (repectivement
grand) élément ;
– Notions de groupes, sous-groupes (les sous-groupes de Z sont les nZ).
12.1
Multiples et diviseurs
Définition 1 : Soient a, b ∈ Z. S’il existe un entier k ∈ Z tel que a = kb, alors on dit que :
⋄ a est un multiple de b,
⋄ b est un diviseur de a,
⋄ a est divisible par b,
⋄ b divise a, ce qui est noté b| a.
Exemples : Les multiples de 8 sont les nombres de la forme 8k avec k ∈ Z. Ses diviseurs sont : 1,
−1, 2, −2, 4, −4, 8 et −8 (ce sont d’ailleurs les mêmes multiples et diviseurs pour le nombre −8).
Remarques 1 :
– Si b| a et b 6= 0, alors le quotient a/b existe et est entier (relatif).
– Quelque soit l’entier relatif a, on a toujours a| a, a|0 et 1| a.
– Si b| a et a 6= 0, alors |b| 6 | a|. Un nombre non nul n’a par conséquent qu’un nombre fini de diviseurs
(mais pas de multiples !).
– Si b| a et a|b, alors nécessairement a = ±b.
Proposition 1 : Soient a, b, c trois entiers relatifs. Alors :
(i) Si c|b et b| a, alors c| a.
(ii) Si c|b, alors ca|ba.
(iii) Si c| a et c|b, alors c divise a + b, a − b et plus généralement au + bv pour tous entiers
relatifs u et v.
démonstration :
(i) Par hypothèse, c|b et b| a, donc il existe k, k′ ∈ Z tels que b = kc et a = k′ b, ce qui donne
a = k′ (kc) = (kk′ )c. Puisque kk′ ∈ Z, on en déduit que c| a.
(ii) Par hypothèse, c|b donc il existe k ∈ Z tel que b = kc. En multipliant les deux membres par le
nombre a, on trouve ba = akc = k(ca), c’est-à-dire ca|ba.
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Multiples, diviseurs, division euclidienne
(iii) Par hypothèse, c| a et c|b, donc il existe k, k′ ∈ Z tels que a = kc et b = k′ c. Soient alors u, v ∈ Z.
Les deux égalités précédentes peuvent s’écrire au = (ku)c et bv = (k′ v)c par multiplication
des deux membres. En ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient au + bv =
(ku)c + (k′ v)c = (ku + k′ v)c. Puisque ku + k′ v ∈ Z, on en déduit finalement que c| au + bv.
Exercice : Prouver que la somme de :
1. deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
2. trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ;
3. cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ;
4. quatre entiers consécutifs n’est jamais un multiple de 4.
Solution :
1. Soit n ∈ Z. On note i1 = 2n + 1 et i2 = 2n + 3 les deux entiers impairs consécutifs. Leur somme N est alors égale à
N = 4n + 4 = 4(n + 1). Puisque n + 1 ∈ Z, on en déduit que 4| N, c’est-à-dire que N est un multiple de 4.
2. Pour tout n ∈ Z, la somme des trois entiers consécutifs n − 1, n et n + 1 vaut 3n, qui clairement un multiple de 3.
3. Pour tout n ∈ Z, la somme des cinq entiers consécutifs n − 2, n − 1, n, n + 1 et n + 2 vaut 5n, qui clairement un multiple
de 5.
4. Pour tout n ∈ Z, la somme des quatre entiers consécutifs n, n + 1, n + 2 et n + 3 vaut 4n + 6 = 4(n + 1, 5). Or n + 1, 5 6∈ Z :
par suite, cette somme ne peut pas être multiple de 4.
♦
Exercice : Montrer que si le nombre n − 4 (n ∈ Z) est multiple de 5, alors n2 − 1 l’est aussi.
Solution : Puisque n − 4 est multiple de 5, il existe un entier k ∈ Z tel que n − 4 = 5k ⇔ n + 1 = 5k + 5 ⇒ (n + 1)(n − 1) =
5(k + 1)(n − 1) ⇔ n2 − 1 = 5k′ , avec k′ = (k + 1)(n − 1) ∈ Z. Par définition, n2 − 1 est multiple de 5.
12.2
♦
Division euclidienne dans Z
Théorème 1 (fondamental) : Soient ( a, b) ∈ Z × Z ∗ . Il existe un unique couple (q, r ) ∈ Z2
tel que a = bq + r, avec 0 6 r < |b|.
démonstration :
Unicité : Si a = bq + r = bq′ + r ′ , alors b(q − q′ ) = r ′ − r ⇒ |b| |q′ − q| = |r ′ − r | < |b| ⇒ 0 6
|q − q′ | < 1 ⇒ q = q′ car q, q′ ∈ Z et par suite, r = r ′ .
Existence : Supposons b > 0. Soit A = {n ∈ Z | nb 6 a}. A n’est pas vide (en effet, si a 6 0,
0 ∈ A et si a < 0, alors a ∈ A), et majoré par max(0, a) (car n 6 a/b 6 1b max(0, a) 6
max(0, a)), donc A admet un plus grand élément que l’on note q A . Soit r = a − q A b. q A ∈ A
ce qui implique que q A b 6 a, d’où r > 0 et q A + 1 n’appartient pas à A. On en déduit que
(q A + 1)b > a ⇔ q A b + b > a ⇔ b > a − q A b ⇔ r < b = |b|, donc 0 6 r < |b| et l’on a
bien a = q A b + r. Si b > 0, partir de ( a, −b).
Définition 2 : Déterminer q et r, c’est effectuer la division euclidienne de a par b. Dans cette
division, a, b, q et r sont respectivement appelés dividende, diviseur, quotient et reste.
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Multiples, diviseurs, division euclidienne
Remarques 2 :
1. Si r = 0, alors b divise a.
2. bq n’est pas nécessairement le multiple de b le plus proche de a.
Exemple : 14 = 2 × 5 + 4 (a = 14, b = 5). Or 15 est un multiple de b plus proche de a que 2b = 10.
Corollaire 1 : Soit ( a, b) ∈ N × N ∗ . Il existe un unique couple (q, r ) ∈ N2 tel que a = bq + r,
avec r < b.
démonstration : Si a < b, q = 0. Sinon, a − r = bq > 0, donc q ∈ N.
Descente de Fermat
0
a
b
u0
֒→ u1
֒→ u2
֒→ · · ·
···
v2
←֓
v1
←֓
v0
տ
←֓
= v0 − 1 × b
(un , vn ) = (q, r ), où vn est le premier des vi construits tels que vn < b. L’algorithme se termine
car vn = a − nb ⇔ a 6 (n + 1)b, et Z est archimédien (donc ∀ a, b ∈ N, ∃ c ∈ N | cb > a).
12.3
Sous-groupes de Z et algorithme d’Euclide
Théorème 2 : Pour tout sous-groupe G de Z, il existe un unique a ∈ N tel que G = aZ.
démonstration : Supposons G 6= {0}. Soit P = G ∩ N ∗ . P possède un plus petit élément a > 0.
Par récurrence, aZ ⊂ G. Soit alors b ∈ G. Par division euclidienne, b = aq + r avec 0 6 r < a. G
étant un groupe, r = b − aq ∈ G, et donc r ∈ P ∪ {0} car r > 0. Mais par définition de a, et comme
r < a, r ne peut appartenir à P, donc r = 0 et par suite, b = aq. Il vient que G ⊂ aZ.
Proposition 2 : Soit ( a, b) ∈ Z2 . Gab = aZ + bZ = { au + bv | (u, v) ∈ Z2 } est un sousgroupe de Z et il existe un unique d ∈ N tel que Gab = dZ.
démonstration : 0 ∈ Gab , et x = au + bv, y = au′ + bv′ ⇒ x − y = a(u − u′ ) + b(v − v′ ) ∈
Gab , donc Gab est un sous- groupe de Z. Le théorème précédent assure l’existence de d tel que Gab = dZ.
Proposition 3 : Soit ( a, b) ∈ Z2 . d est l’unique entier naturel tel que :
(i) d| a et d|b ;
(ii) (c| a et c|b) ⇒ c|d.
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Multiples, diviseurs, division euclidienne
démonstration : d divise tous les éléments de dZ = Gab , donc en particulier a et b. Si c divise a et
b, alors c divise au + bv, donc c divise d.
Définition 3 : d est appelé Plus Grand Commun Diviseur de a et b, noté PGCD( a, b) ou a ∧ b.
Algorithme d’Euclide
Soit ( a, b) ∈ (N ∗ )2 , avec a > b. Si b| a, a ∧ b = b. Sinon, a = bq1 + r1 , et a ∧ b = b ∧ r1 1 . On réitère
le procédé : r0 = b et rk−1 = rk qk−1 + rk+1 (k > 1) jusqu’à trouver un dernier reste non nul rn ,
diviseur de rn−1 (rn+1 = 0). Le procédé s’arrête parce que r0 > r1 > r2 > · · · > 0. Au final,
a ∧ b = rn .
Exemple : Déterminons 145 ∧ 7.
145
7
5
2
=
=
=
=
7 × 20 + 5
5×1+2
2×2+ 1
1 × 2 + 0.
← dernier reste non nul
Conclusion : 145 ∧ 7 = 1. On dit que 145 et 7 sont premiers entre eux. Cet algorithme peut facilement être implanté dans une calculatrice :
:pgcd(a,b)
:Prgm
:Local t,ta,tb,q
:If b<a Then: b->t: a->b: t->a
:EndIf
:ClrIO
:Disp "Algorithme d’Euclide"
:a->ta: b->tb
:Loop
:Disp string(tb)&" / "&string(ta)&": quo
tient "&string(int(tb/ta))&" reste "&st
ring(tb-ta*int(tb/ta))
:ta->t
:tb-ta*int(tb/ta)->ta
:t->tb
:If ta=0 Then
:Exit
:EndIf
:EndLoop
:Disp "pgcd("string(b)&","&string(a)&")
= "&string(tb)
:EndPrgm
1
On tape ceci sur l’écran Home, puis on valide :
On obtient ainsi l’écran suivant :
: Démontrons cette égalité : a = bq1 + r1 . Soient d = a ∧ b et d1 = b ∧ r1 . d1 |r1 et d1 |b, donc d1 |bq1 . Il
vient que d1 |bq1 + r1 ⇔ d1 | a, et comme d1 |b, d1 |d (d’après le point (ii) de la proposition 2). Or d| a et b, donc
d|bq1 − a ⇔ d|r1 ⇒ d|d1 . Au final, d = d1 .
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Multiples, diviseurs, division euclidienne
12.4
Applications
12.4.1 Congruences dans Z
Définition 4 : Soit n ∈ N ∗ . Deux nombres entiers a, b ∈ Z sont dits congrus modulo n si a − b
est divisible par n. On note alors a ≡ b [n].
Propriétés : La relation de congruence est réflexive, symétrique et transitive : c’est une relation
d’équivalence.
Par division euclidienne de a par n, on a a = qn + r, donc a ≡ r [n], avec 0 6 r < n. r est le
seul nombre congru à a modulo n vérifiant 0 6 r < n. La classe a de a possède donc un élément
unique dans [[0, n − 1]].
Réciproquement, pour tout r ∈ [[0, n − 1]], r = {r + kn, k ∈ Z }.
L’ensemble Z quotienté par ≡ sera noté Z/nZ, et possède n éléments : 0, . . . , n − 1. Enfin,
x ≡ x′ [n]
⇒
y ≡ y′ [n]
x + y ≡ x ′ + y′ [n]
xy ≡ x ′ y′ [n],
donc on peut munir canoniquement Z/nZ de deux lois de composition interne :
x+y = x+y
et
x · y = x · y.
Muni de ces deux lois, (Z/nZ, +, ·) est l’anneau des classes résiduelles modulo n.
12.4.2 Eléments inversibles de Z/nZ
Proposition 4 : a est inversible (dans Z/nZ) si et seulement si a ∧ n = 1 (dans Z). L’ensemble
des éléments inversibles de Z/nZ forme un groupe.
Bézout
démonstration : a inversible ⇔ ∃ a′ | a a′ = 1 ⇔ aa′ − kn = 1 ⇔ a ∧ n = 1. L’égalité de
Bézout est vue plus en détail dans la leçon n˚ 13.
Remarque 3 :
Si ab ≡ ac [n] et a ∧ n = 1, alors a admet un inverse a′ dans Z/nZ, d’où a′ a b = a′ a c ⇔ b = c ⇔ b ≡ c [n].
On peut donc « simplifier » une congruence par tout nombre premier avec n.
Corollaire 2 : Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
démonstration : Z/nZ corps ⇔ 1, . . . , n − 1 sont inversibles ⇔ 1, . . . , n − 1 premiers avec n ⇔ n
est premier.
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Multiples, diviseurs, division euclidienne
12.4.3 Ecriture d’un entier naturel en base b (b ∈ N et b > 2)
Soit a ∈ N. Alors il existe un unique x0 ∈ N tel que a = bq0 + x0 (0 6 x0 < b, q0 < a).
Il existe ensuite un unique x1 ∈ N tel que q0 = bq1 + x1 (0 6 x1 < b, q1 < q0 ), d’où
a = b2 q1 + bx1 + x0 .
En allant plus loin, il existe un unique x2 ∈ N tel que q1 = bq2 + x2 (0 6 x2 < b, q2 < q1 ), d’où
a = b3 q2 + b2 x2 + bx1 + x0 .
Itérant cet algorithme (qui se termine car (qn ) est strictement décroissante), on voit qu’il existe
une unique suite finie x0 , . . . , xn telle que
a = x n b n + x n −1 b n −1 + · · · + x 2 b 2 + x 1 b + x 0 ,
avec xn 6= 0, et où pour tout i, xi ∈ [[0, b − 1]] : c’est l’écriture de a dans la base b.
12.4.4 Critère de divisibilité en base 10
Soit a ∈ N d’écriture a = 10n xn + 10n−1 xn−1 + · · · + 10 x1 + x0 .
⋄ Un entier naturel est divisible par 2 (resp. 5) si et seulement si son chiffre des unités est
divisible par 2 (resp. 5).
démonstration : 2 et 5 divisent 10, donc 10k (pour tout k) : 10k ≡ 0 [2/5], d’où a ≡ x0 [2/5]. ⋄ Un entier naturel est divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est
divisible par 3 (resp. 9).
démonstration : 3 et 9 divisent 10 − 1, donc 10 ≡ 1 [3/9] (pour tout k) : 10k ≡ 1 [3/9], d’où
a ≡ ∑in=0 xi [3/9].
⋄ Un entier naturel est divisible par 11 si et seulement si la différence entre ses chiffres d’indice
pair et la somme de ses chiffres d’indice impair est divisible par 11.
démonstration : 10 ≡ −1 [11] ⇒ 10k ≡ (−1)k [11], et donc a ≡ ∑in=0 (−1)i xi [11].
c 2012 par Martial LENZEN.
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