LEÇON N˚12 : Multiples, diviseurs, division

LEÇON N˚ 12 :
Multiples, diviseurs, division euclidienne.
Pré-requis :
–Zest bien ordonné et archimédien ;
–Toute partie non vide et minorée (respectivement majorée) de Zpossède un plus petit (repectivement
grand) élément ;
–Notions de groupes, sous-groupes (les sous-groupes de Zsont les nZ).
12.1 Multiples et diviseurs
Définition 1 : Soient a,b∈Z. S’il existe un entier k∈Ztel que a=kb, alors on dit que :
⋄a est un multiple de b,
⋄b est un diviseur de a,
⋄a est divisible par b,
⋄b divise a, ce qui est noté b|a.
Exemples : Les multiples de 8 sont les nombres de la forme 8kavec k∈Z. Ses diviseurs sont : 1,
−1, 2, −2, 4, −4, 8 et −8 (ce sont d’ailleurs les mêmes multiples et diviseurs pour le nombre −8).
Remarques 1 :
– Si b|aet b6=0, alors le quotient a/bexiste et est entier (relatif).
– Quelque soit l’entier relatif a, on a toujours a|a,a|0 et 1|a.
– Si b|aet a6=0, alors |b|6|a|. Un nombre non nul n’a par conséquent qu’un nombre fini de diviseurs
(mais pas de multiples !).
– Si b|aet a|b, alors nécessairement a=±b.
Proposition 1 : Soient a,b,ctrois entiers relatifs. Alors :
(i) Si c|bet b|a, alors c|a.
(ii) Si c|b, alors ca|ba.
(iii) Si c|aet c|b, alors cdivise a+b,a−bet plus généralement au +bv pour tous entiers
relatifs uet v.
démonstration :
(i) Par hypothèse, c|b et b|a, donc il existe k,k′∈Ztels que b =kc et a =k′b, ce qui donne
a=k′(kc) = (kk′)c. Puisque kk′∈Z, on en déduit que c|a.
(ii) Par hypothèse, c|b donc il existe k ∈Ztel que b =kc. En multipliant les deux membres par le
nombre a, on trouve ba =akc =k(ca), c’est-à-dire ca|ba.

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Multiples, diviseurs, division euclidienne
(iii) Par hypothèse, c|a et c|b, donc il existe k,k′∈Ztels que a =kc et b =k′c. Soient alors u,v∈Z.
Les deux égalités précédentes peuvent s’écrire au = (ku)c et bv = (k′v)c par multiplication
des deux membres. En ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient au +bv =
(ku)c+ (k′v)c= (ku +k′v)c. Puisque ku +k′v∈Z, on en déduit finalement que c|au +bv.
Exercice : Prouver que la somme de :
1. deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
2. trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ;
3. cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ;
4. quatre entiers consécutifs n’est jamais un multiple de 4.
Solution :
1. Soit n∈Z. On note i1=2n+1et i2=2n+3les deux entiers impairs consécutifs. Leur somme Nest alors égale à
N=4n+4=4(n+1). Puisque n+1∈Z, on en déduit que 4|N, c’est-à-dire que Nest un multiple de 4.
2. Pour tout n∈Z, la somme des trois entiers consécutifs n−1,net n+1vaut 3n, qui clairement un multiple de 3.
3. Pour tout n∈Z, la somme des cinq entiers consécutifs n−2,n−1,n,n+1et n+2vaut 5n, qui clairement un multiple
de 5.
4. Pour tout n∈Z, la somme des quatre entiers consécutifs n,n+1,n+2et n+3vaut 4n+6=4(n+1, 5). Or n+1, 5 6∈ Z:
par suite, cette somme ne peut pas être multiple de 4. ♦
Exercice : Montrer que si le nombre n−4 (n∈Z) est multiple de 5, alors n2−1 l’est aussi.
Solution : Puisque n−4est multiple de 5, il existe un entier k∈Ztel que n−4=5k⇔n+1=5k+5⇒(n+1)(n−1) =
5(k+1)(n−1)⇔n2−1=5k′, avec k′= (k+1)(n−1)∈Z. Par définition, n2−1est multiple de 5. ♦
12.2 Division euclidienne dans Z
Théorème 1 (fondamental) : Soient (a,b)∈Z×Z∗. Il existe un unique couple (q,r)∈Z2
tel que a=bq +r, avec 0 6r<|b|.
démonstration :
Unicité : Si a =bq +r=bq′+r′, alors b(q−q′) = r′−r⇒ |b| |q′−q|=|r′−r|<|b| ⇒ 06
|q−q′|<1⇒q=q′car q,q′∈Zet par suite, r =r′.
Existence : Supposons b >0. Soit A ={n∈Z|nb 6a}. A n’est pas vide (en effet, si a 60,
0∈A et si a <0, alors a ∈A), et majoré par max(0, a)(car n 6a/b61
bmax(0, a)6
max(0, a)), donc A admet un plus grand élément que l’on note qA. Soit r =a−qAb. qA∈A
ce qui implique que qAb6a, d’où r >0et qA+1n’appartient pas à A. On en déduit que
(qA+1)b>a⇔qAb+b>a⇔b>a−qAb⇔r<b=|b|, donc 06r<|b|et l’on a
bien a =qAb+r. Si b >0, partir de (a,−b).
Définition 2 : Déterminer qet r, c’est effectuer la division euclidienne de a par b. Dans cette
division, a,b,qet rsont respectivement appelés dividende,diviseur,quotient et reste.

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Multiples, diviseurs, division euclidienne
Remarques 2 :
1. Si r=0, alors bdivise a.
2. bq n’est pas nécessairement le multiple de ble plus proche de a.
Exemple : 14 =2×5+4 (a=14, b=5). Or 15 est un multiple de bplus proche de aque 2b=10.
Corollaire 1 : Soit (a,b)∈N×N∗. Il existe un unique couple (q,r)∈N2tel que a=bq +r,
avec r<b.
démonstration :Si a <b, q =0. Sinon, a −r=bq >0, donc q ∈N.
Descente de Fermat
0ba
u0v0
u1v1
u2v2
··· ···
֒→ ←֓
֒→ ←֓
֒→ ←֓
տ=v0−1×b
(un,vn) = (q,r), où vnest le premier des viconstruits tels que vn<b. L’algorithme se termine
car vn=a−nb ⇔a6(n+1)b, et Zest archimédien (donc ∀a,b∈N,∃c∈N|cb >a).
12.3 Sous-groupes de Zet algorithme d’Euclide
Théorème 2 : Pour tout sous-groupe Gde Z, il existe un unique a∈Ntel que G=aZ.
démonstration :Supposons G 6={0}. Soit P =G∩N∗. P possède un plus petit élément a >0.
Par récurrence, aZ⊂G. Soit alors b ∈G. Par division euclidienne, b =aq +r avec 06r<a. G
étant un groupe, r =b−aq ∈G, et donc r ∈P∪ {0}car r >0. Mais par définition de a, et comme
r<a, r ne peut appartenir à P, donc r =0et par suite, b =aq. Il vient que G ⊂aZ.
Proposition 2 : Soit (a,b)∈Z2.Gab =aZ+bZ={au +bv |(u,v)∈Z2}est un sous-
groupe de Zet il existe un unique d∈Ntel que Gab =dZ.
démonstration :0∈Gab, et x =au +bv,y=au′+bv′⇒x−y=a(u−u′) + b(v−v′)∈
Gab, donc Gab est un sous- groupe de Z. Le théorème précédent assure l’existence de d tel que Gab =dZ.
Proposition 3 : Soit (a,b)∈Z2.dest l’unique entier naturel tel que :
(i) d|aet d|b;
(ii) (c|aet c|b)⇒c|d.

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Multiples, diviseurs, division euclidienne
démonstration :d divise tous les éléments de dZ=Gab, donc en particulier a et b. Si c divise a et
b, alors c divise au +bv, donc c divise d. 
Définition 3 : dest appelé Plus Grand Commun Diviseur de a et b, noté PGCD(a,b)ou a∧b.
Algorithme d’Euclide
Soit (a,b)∈(N∗)2, avec a>b. Si b|a,a∧b=b. Sinon, a=bq1+r1, et a∧b=b∧r11. On réitère
le procédé : r0=bet rk−1=rkqk−1+rk+1(k>1) jusqu’à trouver un dernier reste non nul rn,
diviseur de rn−1(rn+1=0). Le procédé s’arrête parce que r0>r1>r2>··· >0. Au final,
a∧b=rn.
Exemple : Déterminons 145 ∧7.
145 =7×20 +5
7=5×1+2
5=2×2+1←dernier reste non nul
2=1×2+0.
Conclusion : 145 ∧7=1. On dit que 145 et 7 sont premiers entre eux. Cet algorithme peut facile-
ment être implanté dans une calculatrice :
:pgcd(a,b)
:Prgm
:Local t,ta,tb,q
:If b<a Then: b->t: a->b: t->a
:EndIf
:ClrIO
:Disp "Algorithme d’Euclide"
:a->ta: b->tb
:Loop
:Disp string(tb)&" / "&string(ta)&": quo
tient "&string(int(tb/ta))&" reste "&st
ring(tb-ta*int(tb/ta))
:ta->t
:tb-ta*int(tb/ta)->ta
:t->tb
:If ta=0 Then
:Exit
:EndIf
:EndLoop
:Disp "pgcd("string(b)&","&string(a)&")
= "&string(tb)
:EndPrgm
On tape ceci sur l’écran Home, puis on valide :
On obtient ainsi l’écran suivant :
1: Démontrons cette égalité : a=bq1+r1. Soient d=a∧bet d1=b∧r1.d1|r1et d1|b, donc d1|bq1. Il
vient que d1|bq1+r1⇔d1|a, et comme d1|b,d1|d(d’après le point (ii) de la proposition 2). Or d|aet b, donc
d|bq1−a⇔d|r1⇒d|d1. Au final, d=d1.

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Multiples, diviseurs, division euclidienne
12.4 Applications
12.4.1 Congruences dans Z
Définition 4 : Soit n∈N∗. Deux nombres entiers a,b∈Zsont dits congrus modulo n si a−b
est divisible par n. On note alors a≡b[n].
Propriétés : La relation de congruence est réflexive,symétrique et transitive : c’est une relation
d’équivalence.
Par division euclidienne de apar n, on a a=qn +r, donc a≡r[n], avec 0 6r<n.rest le
seul nombre congru à amodulo nvérifiant 0 6r<n. La classe ade apossède donc un élément
unique dans [[0, n−1]].
Réciproquement, pour tout r∈[[0, n−1]],r={r+kn,k∈Z}.
L’ensemble Zquotienté par ≡sera noté Z/nZ, et possède néléments : 0, . . . , n−1. Enfin,
x≡x′[n]
y≡y′[n]⇒x+y≡x′+y′[n] xy ≡x′y′[n],
donc on peut munir canoniquement Z/nZde deux lois de composition interne :
x+y=x+yet x·y=x·y.
Muni de ces deux lois, (Z/nZ,+,·)est l’anneau des classes résiduelles modulo n.
12.4.2 Eléments inversibles de Z/nZ
Proposition 4 : aest inversible (dans Z/nZ) si et seulement si a∧n=1 (dans Z). L’ensemble
des éléments inversibles de Z/nZforme un groupe.
démonstration :a inversible ⇔ ∃ a′|a a′=1⇔aa′−kn =1Bézout ⇔a∧n=1. L’égalité de
Bézout est vue plus en détail dans la leçon n˚ 13. 
Remarque 3 :
Si ab ≡ac [n]et a∧n=1, alors aadmet un inverse a′dans Z/nZ, d’où a′a b =a′a c ⇔b=c⇔b≡c[n].
On peut donc « simplifier » une congruence par tout nombre premier avec n.
Corollaire 2 : Z/nZest un corps si et seulement si nest un nombre premier.
démonstration :Z/nZcorps ⇔1, . . . , n−1sont inversibles ⇔1, . . . , n−1premiers avec n ⇔n
est premier. 